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1. 如图，点E,F分别在$□ ABCD$的边AB，BC上，$AE=CF$，增加下列其中一个条件：① $∠1=∠2$；② $∠3=∠4$；③ $DE=DF$. 能使四边形ABCD是菱形的条件个数为 （）
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
答案
C
解析
在平行四边形ABCD中，∠A=∠C，AD=BC，AB=CD。
条件①：∠1=∠2，结合AE=CF，∠A=∠C，可证△ADE≌△CDF（ASA），得AD=CD，故平行四边形ABCD是菱形；
条件②：∠3=∠4，结合AE=CF，∠A=∠C，可证△ADE≌△CDF（AAS），得AD=CD，故平行四边形ABCD是菱形；
条件③：DE=DF，仅AE=CF、∠A=∠C、DE=DF，无法判定△ADE≌△CDF，不能推出AD=CD，无法使ABCD为菱形。
综上，能使ABCD为菱形的条件有2个。
条件①：∠1=∠2，结合AE=CF，∠A=∠C，可证△ADE≌△CDF（ASA），得AD=CD，故平行四边形ABCD是菱形；
条件②：∠3=∠4，结合AE=CF，∠A=∠C，可证△ADE≌△CDF（AAS），得AD=CD，故平行四边形ABCD是菱形；
条件③：DE=DF，仅AE=CF、∠A=∠C、DE=DF，无法判定△ADE≌△CDF，不能推出AD=CD，无法使ABCD为菱形。
综上，能使ABCD为菱形的条件有2个。
2. 在一个多边形中,小于$108°$的内角最多有 （）
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
C
解析
多边形外角和为360°，若内角小于108°，则对应外角大于180°-108°=72°。设这样的内角有x个，则对应的外角和大于72x°，结合外角和为360°，得72x＜360，解得x＜5，故x最大为4，即小于108°的内角最多有4个。
3. 如图，小明在操场上从点A出发，沿直线前进10 m后向左转$x°$，再沿直线前进10 m后又向左转$x°$……照这样走下去，他第一次回到出发地点A时，一共走了90 m，则$x=$。
（第3题） （第4题）
（第3题） （第4题）答案
40
解析
小明走的路线构成正多边形，总路程为90m，每段前进10m，因此边数为$90÷10=9$。因为任意多边形的外角和为$360°$，正多边形的每个外角相等，所以$x=360°÷9=40°$。
4. 如图,在矩形 ABCD 中,E 是 AD 的中点,将△ABE 沿 BE 折叠后得到△GBE,且点 G 在矩形 ABCD 的内部,延长 BG 交 DC 于点 F.若 DC=5DF,则 $\frac{BC}{AB}=$ .
答案
$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
解析
设$DF = x$，因为$DC = 5DF$，所以$DC = AB = 5x$，$FC = DC - DF = 4x$。
由折叠性质可知：$AE = EG$，$AB = BG = 5x$，$∠ BGE = ∠ A = 90°$，故$∠ EGF = 90°$。
因为$E$是$AD$中点，所以$AE = ED$，则$EG = ED$。
在$Rt△ EGF$和$Rt△ EDF$中：$\begin{cases}EG = ED \\ EF = EF\end{cases}$，所以$Rt△ EGF ≌ Rt△ EDF(HL)$，得$GF = DF = x$，因此$BF = BG + GF = 5x + x = 6x$。
在$Rt△ BCF$中，根据勾股定理：$BC^2 + FC^2 = BF^2$，代入$FC = 4x$，$BF = 6x$，得$BC^2 + (4x)^2 = (6x)^2$，解得$BC^2 = 20x^2$，即$BC = 2\sqrt{5}x$。
所以$\frac{BC}{AB} = \frac{2\sqrt{5}x}{5x} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$。
由折叠性质可知：$AE = EG$，$AB = BG = 5x$，$∠ BGE = ∠ A = 90°$，故$∠ EGF = 90°$。
因为$E$是$AD$中点，所以$AE = ED$，则$EG = ED$。
在$Rt△ EGF$和$Rt△ EDF$中：$\begin{cases}EG = ED \\ EF = EF\end{cases}$，所以$Rt△ EGF ≌ Rt△ EDF(HL)$，得$GF = DF = x$，因此$BF = BG + GF = 5x + x = 6x$。
在$Rt△ BCF$中，根据勾股定理：$BC^2 + FC^2 = BF^2$，代入$FC = 4x$，$BF = 6x$，得$BC^2 + (4x)^2 = (6x)^2$，解得$BC^2 = 20x^2$，即$BC = 2\sqrt{5}x$。
所以$\frac{BC}{AB} = \frac{2\sqrt{5}x}{5x} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$。
三、解答题
5. 如图，在$△ ABC$中，$CE⊥ BA$的延长线于点$E$，$BF⊥ CA$的延长线于点$F$，$M$为$BC$的中点，分别连接$ME$，$MF$，$EF$.
（1）若$EF＝3$，$BC＝8$，求$△ EFM$的周长；
（2）若$∠ ABC＝28°$，$∠ ACB＝48°$，求$∠ EMF$的度数.
5. 如图，在$△ ABC$中，$CE⊥ BA$的延长线于点$E$，$BF⊥ CA$的延长线于点$F$，$M$为$BC$的中点，分别连接$ME$，$MF$，$EF$.
（1）若$EF＝3$，$BC＝8$，求$△ EFM$的周长；
（2）若$∠ ABC＝28°$，$∠ ACB＝48°$，求$∠ EMF$的度数.
答案
（1）11；（2）76°
解析
（1）因为$CE⊥BA$的延长线，所以$△ BCE$是直角三角形，又$M$为$BC$中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得$ME=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×8=4$；同理，$BF⊥CA$的延长线，$△ BCF$是直角三角形，$M$为$BC$中点，故$MF=\frac{1}{2}BC=4$。则$△ EFM$的周长$=ME+MF+EF=4+4+3=11$。（2）在$△ ABC$中，$∠ BAC=180°-∠ ABC-∠ ACB=180°-28°-48°=104°$，所以$∠ EAF=∠ BAC=104°$。因为$CE⊥BA$延长线，$BF⊥CA$延长线，所以$∠ AEM=90°$，$∠ AFM=90°$。在四边形$AEMF$中，内角和为$360°$，故$∠ EMF=360°-∠ EAF-∠ AEM-∠ AFM=360°-104°-90°-90°=76°$。
