1. 如图,已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24 m,∠BAD=60°,则花坛对角线BD的长等于 ()

A.$6\sqrt{3}$ m
B.6 m
C.$3\sqrt{3}$ m
D.3 m

B

菱形ABCD周长为24m，则边长AB=24÷4=6m。菱形四边相等，故AB=AD=6m，又∠BAD=60°，所以△ABD是等边三角形，因此BD=AB=6m。

2. 如图,在正方形$ABCD$中,$AB=1$,连接$AC$,$∠ACD$的平分线交$AD$于点$E$,在$AB$上截取$AF=DE$.连接$DF$,分别交$CE$,$CA$于点$G$,$H$,且$P$是线段$GC$上的动点,$PQ⊥AC$,垂足为$Q$,连接$PH$.有下列四个结论:① $CE⊥DF$;② $DE+DC=AC$;③ $DF^2 - AH^2=1$;④ $PH+PQ$的最小值是$\frac{\sqrt{2}}{2}$.其中所有正确的结论有 ()

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

C

1. 证明△ADF≌△DCE（SAS），得∠ADF=∠DCE，结合∠DCE+∠DEC=90°，推出∠DGE=90°，故CE⊥DF，①正确；
2. 设DE=x，由CE平分∠ACD，利用角平分线定理得AE/ED=AC/CD，结合AC=√2，解得DE=√2-1，故DE+DC=√2-1+1=√2=AC，②正确；
3. 用坐标法计算DF²和AH²，得DF²=4-2√2，AH²=3-2√2，故DF²-AH²=1，③正确；
4. 分析PH+PQ的最小值，通过几何计算可知其最小值不是√2/2，④错误。
综上，正确结论有3个。

3. 小丽用正方形纸片制作成图①的七巧板，设计拼成图②的“奔跑者”形象。已知图①正方形纸片的边长为12，图②中$FM=2EM$，则“奔跑者”两脚之间的跨度，即$AB$，$CD$之间的距离是。

24

已知图①正方形边长为12，七巧板中AB的长度为6，CD所在平行四边形的边长为6，且FM=2EM，EM+FM=12，因此“奔跑者”两脚之间AB、CD的距离为AB长度加EF总长度，即6+12+6=24。

三、解答题
4. 在正方形ABCD中，E是边CD上一点（点E不与点C，D重合），连接BE.
（1）如图①，过点A作AF⊥BE，交BC于点F.求证：
① ∠DAF=∠BEC；
② CE+FC=AB.
（2）如图②，取BE的中点M，过点M作FG⊥BE交BC于点F，交AD于点G.连接CM，若CM=1，求FG的长.

（1）① 证明成立；② 证明成立；（2）FG的长为2。

（1）① 证明：∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AD//BC，∠C=90°，∴ ∠BEC + ∠EBC=90°。∵ AF⊥BE，∴ ∠AFB + ∠EBC=90°，∴ ∠AFB=∠BEC。又∵ AD//BC，∴ ∠DAF=∠AFB，故∠DAF=∠BEC。
② 证明：∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AB=BC，∠ABF=∠BCE=90°。∵ AF⊥BE，∴ ∠BAF + ∠ABE=90°，又∠CBE + ∠ABE=90°，∴ ∠BAF=∠CBE。∴ △ABF≌△BCE（ASA），∴ BF=CE。∵ BC=BF + FC，且BC=AB，∴ CE + FC=AB。
（2）解：在Rt△BCE中，∠C=90°，M是BE中点，根据直角三角形斜边中线定理，CM=½BE。已知CM=1，∴ BE=2。过G作GH⊥BC于H，∵ 四边形ABCD是正方形，∴ GH=AB=BC，∠GHF=∠C=90°。∵ FG⊥BE，∴ ∠GFH + ∠EBC=90°，又∠BEC + ∠EBC=90°，∴ ∠GFH=∠BEC。∴ △GHF≌△BCE（AAS），∴ FG=BE=2。