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1. 下列各式中，属于二次根式的是（）
A.$\sqrt{a^2 + 1}$
B.$\sqrt{-7}$
C.$\sqrt{a}$
D.$\sqrt[3]{3}$
A.$\sqrt{a^2 + 1}$
B.$\sqrt{-7}$
C.$\sqrt{a}$
D.$\sqrt[3]{3}$
答案
A
解析
根据二次根式的定义：形如$\sqrt{a}$（$a≥0$，根指数为2）的式子是二次根式。A选项中，$a^2≥0$，故$a^2+1≥1＞0$，$\sqrt{a^2+1}$符合二次根式定义；B选项中，被开方数$-7＜0$，无意义，不是二次根式；C选项中，当$a＜0$时，$\sqrt{a}$无意义，不一定是二次根式；D选项中，根指数是3，属于三次根式，不是二次根式。
2. 实数$x$在数轴上对应点的位置如图所示，则$\sqrt{x^2 - 4x + 4}$可化简为 （）
A.$x+2$
B.$x-2$
C.$-x-2$
D.$2-x$
A.$x+2$
B.$x-2$
C.$-x-2$
D.$2-x$
答案
D
解析
先将根号内的式子因式分解：$x^2 -4x +4=(x-2)^2$，则$\sqrt{x^2 -4x +4}=|x-2|$。由数轴可知$1＜x＜2$，所以$x-2＜0$，根据绝对值的性质，$|x-2|=2-x$。
3. 当代数式$\sqrt{x-2}$有意义时，x应满足的条件是。
答案
$x≥2$
解析
二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，因此对于代数式$\sqrt{x-2}$，需满足被开方数$x-2≥0$，解不等式得$x≥2$。
4. 一个长方形的面积是$2\sqrt{3}$，它的一边长是$\sqrt{6}$，则另一边长是。
答案
$\sqrt{2}$
解析
根据长方形的面积公式，长方形的面积=长×宽，因此另一边长=面积÷已知边长。代入数据计算：$2\sqrt{3} ÷ \sqrt{6} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = 2\sqrt{\frac{3}{6}} = 2\sqrt{\frac{1}{2}} = 2×\frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$。
5. 已知$x=\sqrt{5}+1$，$y=\sqrt{5}-1$，则$x^2+2xy+y^2$的值为。
答案
20
解析
先利用完全平方公式将$x^2+2xy+y^2$变形为$(x+y)^2$，再代入$x=\sqrt{5}+1$，$y=\sqrt{5}-1$计算：
$x+y=(\sqrt{5}+1)+(\sqrt{5}-1)=2\sqrt{5}$，
因此$(x+y)^2=(2\sqrt{5})^2=4×5=20$。
$x+y=(\sqrt{5}+1)+(\sqrt{5}-1)=2\sqrt{5}$，
因此$(x+y)^2=(2\sqrt{5})^2=4×5=20$。
三、解答题
6. 计算：
(1) $\sqrt{48} ÷ \sqrt{3} - \sqrt{\dfrac{1}{2}} × \sqrt{12} + \sqrt{24}$；
(2) 若 $x=\sqrt{5}-1$，求代数式 $x^2 +5x -6$ 的值。
6. 计算：
(1) $\sqrt{48} ÷ \sqrt{3} - \sqrt{\dfrac{1}{2}} × \sqrt{12} + \sqrt{24}$；
(2) 若 $x=\sqrt{5}-1$，求代数式 $x^2 +5x -6$ 的值。
答案
(1) $4+\sqrt{6}$；(2) $3\sqrt{5}-5$
解析
(1) 根据二次根式的乘除法则及化简规则计算：
$\sqrt{48}÷\sqrt{3}=\sqrt{48÷3}=\sqrt{16}=4$；
$\sqrt{\frac{1}{2}}×\sqrt{12}=\sqrt{\frac{1}{2}×12}=\sqrt{6}$；
$\sqrt{24}=2\sqrt{6}$；
合并同类二次根式得：原式$=4 - \sqrt{6} + 2\sqrt{6}=4+\sqrt{6}$。
(2) 将$x=\sqrt{5}-1$代入代数式，先计算$x^2$：
$x^2=(\sqrt{5}-1)^2=(\sqrt{5})^2 - 2×\sqrt{5}×1 +1^2=5 - 2\sqrt{5}+1=6-2\sqrt{5}$；
$5x=5(\sqrt{5}-1)=5\sqrt{5}-5$；
代入原式得：$x^2+5x-6=(6-2\sqrt{5})+(5\sqrt{5}-5)-6=3\sqrt{5}-5$。
$\sqrt{48}÷\sqrt{3}=\sqrt{48÷3}=\sqrt{16}=4$；
$\sqrt{\frac{1}{2}}×\sqrt{12}=\sqrt{\frac{1}{2}×12}=\sqrt{6}$；
$\sqrt{24}=2\sqrt{6}$；
合并同类二次根式得：原式$=4 - \sqrt{6} + 2\sqrt{6}=4+\sqrt{6}$。
(2) 将$x=\sqrt{5}-1$代入代数式，先计算$x^2$：
$x^2=(\sqrt{5}-1)^2=(\sqrt{5})^2 - 2×\sqrt{5}×1 +1^2=5 - 2\sqrt{5}+1=6-2\sqrt{5}$；
$5x=5(\sqrt{5}-1)=5\sqrt{5}-5$；
代入原式得：$x^2+5x-6=(6-2\sqrt{5})+(5\sqrt{5}-5)-6=3\sqrt{5}-5$。
7. 发生交通事故后，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是$v=16\sqrt{df}$，其中v表示车速(单位:km/h)，d表示刹车后车轮滑过的距离(单位:m)，f表示摩擦因数. 在某次交通事故调查中，测得$d=20\ \mathrm{m}$，$f=1.2$，则肇事汽车的车速大约是多少？($\sqrt{6}\approx2.45$，结果精确到1 km/h)
答案
$78\ \mathrm{km/h}$
解析
将$d=20$，$f=1.2$代入经验公式$v=16\sqrt{df}$，先计算$df=20×1.2=24$，再化简$\sqrt{24}=2\sqrt{6}$，已知$\sqrt{6}\approx2.45$，则$\sqrt{24}\approx2×2.45=4.9$，因此$v=16×4.9=78.4$，结果精确到$1\ \mathrm{km/h}$，得$v\approx78\ \mathrm{km/h}$。
8. 阅读材料,解答下列问题.
材料: 已知 $\sqrt{15-x} - \sqrt{8-x} = 1$, 求 $\sqrt{15-x} + \sqrt{8-x}$ 的值.
李聪同学是这样解答的:
$\because (\sqrt{15-x} - \sqrt{8-x})(\sqrt{15-x} + \sqrt{8-x}) = (\sqrt{15-x})^2 - (\sqrt{8-x})^2 = 15 - x - 8 + x =7$,
$\therefore \sqrt{15-x} + \sqrt{8-x}=7$. 这种方法称为“构造乘积对偶法”.
问题: 已知 $\sqrt{50-x} + \sqrt{10-x}=10$.
(1) 求 $\sqrt{50-x} - \sqrt{10-x}$ 的值;
(2) 求 $x$ 的值.
材料: 已知 $\sqrt{15-x} - \sqrt{8-x} = 1$, 求 $\sqrt{15-x} + \sqrt{8-x}$ 的值.
李聪同学是这样解答的:
$\because (\sqrt{15-x} - \sqrt{8-x})(\sqrt{15-x} + \sqrt{8-x}) = (\sqrt{15-x})^2 - (\sqrt{8-x})^2 = 15 - x - 8 + x =7$,
$\therefore \sqrt{15-x} + \sqrt{8-x}=7$. 这种方法称为“构造乘积对偶法”.
问题: 已知 $\sqrt{50-x} + \sqrt{10-x}=10$.
(1) 求 $\sqrt{50-x} - \sqrt{10-x}$ 的值;
(2) 求 $x$ 的值.
答案
（1）$\sqrt{50-x} - \sqrt{10-x}$的值为4；
（2）$x$的值为1。
（2）$x$的值为1。
解析
（1）根据平方差公式，计算$(\sqrt{50-x} + \sqrt{10-x})(\sqrt{50-x} - \sqrt{10-x})$：
$(\sqrt{50-x})^2 - (\sqrt{10-x})^2 = (50 - x) - (10 - x) = 50 - x -10 + x = 40$。
已知$\sqrt{50-x} + \sqrt{10-x}=10$，因此$\sqrt{50-x} - \sqrt{10-x} = 40÷10 = 4$。
（2）联立$\begin{cases}\sqrt{50-x} + \sqrt{10-x}=10 \\ \sqrt{50-x} - \sqrt{10-x}=4 \end{cases}$，两式相加得：$2\sqrt{50-x}=14$，即$\sqrt{50-x}=7$，两边平方得$50 - x = 49$，解得$x=1$。经检验，$x=1$符合原方程，故$x=1$。
$(\sqrt{50-x})^2 - (\sqrt{10-x})^2 = (50 - x) - (10 - x) = 50 - x -10 + x = 40$。
已知$\sqrt{50-x} + \sqrt{10-x}=10$，因此$\sqrt{50-x} - \sqrt{10-x} = 40÷10 = 4$。
（2）联立$\begin{cases}\sqrt{50-x} + \sqrt{10-x}=10 \\ \sqrt{50-x} - \sqrt{10-x}=4 \end{cases}$，两式相加得：$2\sqrt{50-x}=14$，即$\sqrt{50-x}=7$，两边平方得$50 - x = 49$，解得$x=1$。经检验，$x=1$符合原方程，故$x=1$。
