登录
1. 下列式子中正确的是（）
A.$(\sqrt{-3})^2=3$
B.$(\sqrt{-3})^2=-3$
C.$(-\sqrt{3})^2=3$
D.$(-\sqrt{3})^2=-3$
A.$(\sqrt{-3})^2=3$
B.$(\sqrt{-3})^2=-3$
C.$(-\sqrt{3})^2=3$
D.$(-\sqrt{3})^2=-3$
答案
C
解析
二次根式的被开方数必须是非负数，因此$\sqrt{-3}$无意义，A、B错误；计算$(-\sqrt{3})^2$，根据乘方运算规则，$(-\sqrt{3})^2=(\sqrt{3})^2=3$，故C正确，D错误。
2. 计算$\sqrt{18}+\sqrt{32}$的结果是 （）
A.14
B.$5\sqrt{2}$
C.$7\sqrt{2}$
D.$12\sqrt{2}$
A.14
B.$5\sqrt{2}$
C.$7\sqrt{2}$
D.$12\sqrt{2}$
答案
C
解析
先将二次根式化为最简：$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，$\sqrt{32}=4\sqrt{2}$；再合并同类二次根式：$3\sqrt{2}+4\sqrt{2}=7\sqrt{2}$。
3. 已知$ m=(3\sqrt{3}-\sqrt{18})×\sqrt{2} $，则实数$ m $的取值范围是（）
A.$ 0＜m＜1 $
B.$ 1＜m＜2 $
C.$ 2＜m＜3 $
D.$ 3＜m＜4 $
A.$ 0＜m＜1 $
B.$ 1＜m＜2 $
C.$ 2＜m＜3 $
D.$ 3＜m＜4 $
答案
B
解析
先化简式子：$m=(3\sqrt{3}-\sqrt{18})×\sqrt{2}=(3\sqrt{3}-3\sqrt{2})×\sqrt{2}=3\sqrt{6}-6$。因为$\sqrt{6}\approx2.449$，所以$3\sqrt{6}\approx7.347$，则$m\approx7.347-6=1.347$，故$1＜m＜2$。
4. 计算：$(\sqrt{2})^2 =$ ；$\sqrt{(-2)^2} =$ 。
答案
2；2
解析
1. 根据二次根式的性质：$(\sqrt{a})^2 = a$（$a≥0$），可得$(\sqrt{2})^2 = 2$；2. 根据二次根式的性质：$\sqrt{a^2} = |a|$，先计算$(-2)^2=4$，再求4的算术平方根，即$\sqrt{4}=2$，所以$\sqrt{(-2)^2}=2$。
5. 已知 $ y = \sqrt{x - 2} + \sqrt{2 - x} + 1 $，则 $ \sqrt[3]{5x - 2y} = $ 。
答案
2
解析
根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，可得$\begin{cases}x-2≥0 \\ 2-x≥0\end{cases}$，解得$x=2$。将$x=2$代入$y=\sqrt{x-2}+\sqrt{2-x}+1$，得$y=\sqrt{0}+\sqrt{0}+1=1$。再计算$5x-2y=5×2 -2×1=8$，因此$\sqrt[3]{5x-2y}=\sqrt[3]{8}=2$。
6. 若$\sqrt{a-2}+\sqrt{3-b}=0$，则$\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{b}}$的值为
答案
$\frac{3\sqrt{2}}{2}$
解析
根据算术平方根的非负性，可知$\sqrt{a-2} ≥ 0$，$\sqrt{3-b} ≥ 0$，又因为$\sqrt{a-2}+\sqrt{3-b}=0$，所以$\sqrt{a-2}=0$，$\sqrt{3-b}=0$，解得$a=2$，$b=3$。将$a=2$，$b=3$代入$\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{b}}$，得：$\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$。
三、解答题
7. 计算：
(1) $(-1)^{2023}+\sqrt{9}-2022^{0}$；
(2) $(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)+\sqrt{8}$。
7. 计算：
(1) $(-1)^{2023}+\sqrt{9}-2022^{0}$；
(2) $(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)+\sqrt{8}$。
答案
（1）1；（2）$2+2\sqrt{2}$
解析
（1）分别计算各项：①因为2023是奇数，所以(-1)的奇数次幂为-1，即$(-1)^{2023}=-1$；②$\sqrt{9}$是9的算术平方根，结果为3；③任何非零数的0次幂都为1，故$2022^0=1$；因此原式$=-1+3-1=1$。（2）利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，计算$(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)=(\sqrt{3})^2-1^2=3-1=2$；再化简$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$；因此原式$=2+2\sqrt{2}$。
8. 数学教材中有如下问题:现有一块长为7.5 dm、宽为5 dm的木板,能否采用如图所示的方式,在这块木板上截出两个面积分别是8 dm²和18 dm²的正方形木板?请先判断,再写出理由.
答案
能截出两个面积分别是8dm²和18dm²的正方形木板。
解析
先计算两个正方形的边长：面积为8dm²的正方形边长为$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ dm，面积为18dm²的正方形边长为$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$ dm。两个正方形边长之和为$2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=5\sqrt{2}$ dm，因为$5\sqrt{2}\approx7.07$ dm，$7.07$ dm＜$7.5$ dm，且较大正方形的边长$3\sqrt{2}\approx4.24$ dm＜$5$ dm，所以可以在木板上截出这两个正方形。
9. 小华在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：
$5+2\sqrt{6}=(2+3)+2\sqrt{2×3}=(\sqrt{2})^2+(\sqrt{3})^2+2×\sqrt{2}×\sqrt{3}=(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2$；
$7-4\sqrt{3}=(4+3)-2×2×\sqrt{3}=2^2+(\sqrt{3})^2-2×2×\sqrt{3}=(2-\sqrt{3})^2$。
（1）请仿照上面的方法，将 $7-2\sqrt{10}$ 化成另一个式子的平方；
（2）若 $a+2\sqrt{15}=(\sqrt{m}+\sqrt{n})^2$，其中 $m＞n$，且 $a,m,n$ 均为正整数，求 $a+m+n$ 的值。
$5+2\sqrt{6}=(2+3)+2\sqrt{2×3}=(\sqrt{2})^2+(\sqrt{3})^2+2×\sqrt{2}×\sqrt{3}=(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2$；
$7-4\sqrt{3}=(4+3)-2×2×\sqrt{3}=2^2+(\sqrt{3})^2-2×2×\sqrt{3}=(2-\sqrt{3})^2$。
（1）请仿照上面的方法，将 $7-2\sqrt{10}$ 化成另一个式子的平方；
（2）若 $a+2\sqrt{15}=(\sqrt{m}+\sqrt{n})^2$，其中 $m＞n$，且 $a,m,n$ 均为正整数，求 $a+m+n$ 的值。
答案
（1）$(\sqrt{5}-\sqrt{2})^2$；
（2）$32$或$16$。
（2）$32$或$16$。
解析
（1）将$7-2\sqrt{10}$拆分为两个数的平方和减去这两个数乘积的2倍：
因为$7=5+2$，且$5×2=10$，所以：
$7-2\sqrt{10}=(\sqrt{5})^2+(\sqrt{2})^2-2×\sqrt{5}×\sqrt{2}=(\sqrt{5}-\sqrt{2})^2$。
（2）展开等式右边：$(\sqrt{m}+\sqrt{n})^2=m+n+2\sqrt{mn}$，对比$a+2\sqrt{15}=(\sqrt{m}+\sqrt{n})^2$，得：
$\begin{cases}a=m+n \\ mn=15\end{cases}$，
已知$m＞n$，且$a,m,n$为正整数，对15正整数因数分解（$m＞n$）得两组：$(15,1)$和$(5,3)$：
①当$m=15,n=1$时，$a=16$，则$a+m+n=16+15+1=32$；
②当$m=5,n=3$时，$a=8$，则$a+m+n=8+5+3=16$。
因为$7=5+2$，且$5×2=10$，所以：
$7-2\sqrt{10}=(\sqrt{5})^2+(\sqrt{2})^2-2×\sqrt{5}×\sqrt{2}=(\sqrt{5}-\sqrt{2})^2$。
（2）展开等式右边：$(\sqrt{m}+\sqrt{n})^2=m+n+2\sqrt{mn}$，对比$a+2\sqrt{15}=(\sqrt{m}+\sqrt{n})^2$，得：
$\begin{cases}a=m+n \\ mn=15\end{cases}$，
已知$m＞n$，且$a,m,n$为正整数，对15正整数因数分解（$m＞n$）得两组：$(15,1)$和$(5,3)$：
①当$m=15,n=1$时，$a=16$，则$a+m+n=16+15+1=32$；
②当$m=5,n=3$时，$a=8$，则$a+m+n=8+5+3=16$。
