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11. 如图，在腰长为8的等腰三角形ABC中，AB=AC，E，M，F分别是AB，BC，AC上的点，且$ME// AC$，$MF// AB$，则四边形MEAF的周长是 （）
A.8
B.10
C.12
D.16
A.8
B.10
C.12
D.16
答案
D
解析
1. 由AB=AC，可得∠B=∠C。
2. 因为ME//AC，所以∠EMB=∠C=∠B，推出EB=EM；同理，MF//AB，得∠FMC=∠B=∠C，推出FM=FC。
3. 由ME//AC、MF//AB，可知四边形MEAF是平行四边形，因此AE=MF，AF=ME。
4. 四边形MEAF的周长=AE+EM+MF+AF = AE+EB+FC+AF = AB+AC。
5. 已知AB=AC=8，因此周长=8+8=16。
2. 因为ME//AC，所以∠EMB=∠C=∠B，推出EB=EM；同理，MF//AB，得∠FMC=∠B=∠C，推出FM=FC。
3. 由ME//AC、MF//AB，可知四边形MEAF是平行四边形，因此AE=MF，AF=ME。
4. 四边形MEAF的周长=AE+EM+MF+AF = AE+EB+FC+AF = AB+AC。
5. 已知AB=AC=8，因此周长=8+8=16。
12. 如图，将$□ ABCD$沿对角线$BD$折叠，使点$A$落在$E$处. 若$∠ 1=58°$，$∠ 2=42°$，则$∠ A$的度数为（）
A.$108°$
B.$109°$
C.$110°$
D.$111°$
A.$108°$
B.$109°$
C.$110°$
D.$111°$
答案
B
解析
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，可得∠ABD=∠CDB。
由折叠的性质得：∠ABD=∠EBD，因此∠EBD=∠CDB。
∵∠1是对应三角形的外角，∴∠1=∠EBD+∠CDB=2∠CDB，
已知∠1=58°，解得∠CDB=29°，即∠ABD=29°。
由图可知∠2=∠ADB=42°，在△ABD中，根据三角形内角和为180°：
∠A=180°-∠ABD-∠ADB=180°-29°-42°=109°。
∴AB//CD，可得∠ABD=∠CDB。
由折叠的性质得：∠ABD=∠EBD，因此∠EBD=∠CDB。
∵∠1是对应三角形的外角，∴∠1=∠EBD+∠CDB=2∠CDB，
已知∠1=58°，解得∠CDB=29°，即∠ABD=29°。
由图可知∠2=∠ADB=42°，在△ABD中，根据三角形内角和为180°：
∠A=180°-∠ABD-∠ADB=180°-29°-42°=109°。
13. 如图1，点E是□ABCD的边AD上一点(不包含点A，D)，如图2，连接CE. 用尺规作AF//CE，F是边BC上一点.
小明：以C为圆心，AE长为半径作弧，交BC于点F，连接AF，则AF//CE.
小丽：以点A为圆心，CE长为半径作弧，交BC于点F，连接AF，则AF//CE.
小明：小丽，你的作法有问题.
小丽：哦……我明白了！
(1)利用小明的作法证明：AF//CE；
(2)指出小丽作法中存在的问题.
小明：以C为圆心，AE长为半径作弧，交BC于点F，连接AF，则AF//CE.
小丽：以点A为圆心，CE长为半径作弧，交BC于点F，连接AF，则AF//CE.
小明：小丽，你的作法有问题.
小丽：哦……我明白了！
(1)利用小明的作法证明：AF//CE；
(2)指出小丽作法中存在的问题.
答案
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AD// BC$，即 $AE// CF$。
由小明的作法可知：$CF = AE$，
∴ 四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∴ $AF// CE$。
(2) 小丽作法的问题：
以点A为圆心、CE长为半径作弧，与BC所在直线会产生两个交点，无法保证得到的点F满足$AF// CE$，存在作出的线段AF不与CE平行的情况，也可能交点落在BC的延长线上，不符合“F是边BC上一点”的要求。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AD// BC$，即 $AE// CF$。
由小明的作法可知：$CF = AE$，
∴ 四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∴ $AF// CE$。
(2) 小丽作法的问题：
以点A为圆心、CE长为半径作弧，与BC所在直线会产生两个交点，无法保证得到的点F满足$AF// CE$，存在作出的线段AF不与CE平行的情况，也可能交点落在BC的延长线上，不符合“F是边BC上一点”的要求。
14. 在综合与实践课上，老师让同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动，活动方式为将一张平行四边形纸片ABCD进行折叠变换后，发现结论并解决问题.
(1)“爱心”小组：如图1，将$□ ABCD$沿EF折叠，使点B与点D重合，折痕与AD，BC边分别交于点E，F，发现$DE = DF$，请证明他们发现的结论.
(2)“希望”小组：如图2，E，F分别是AD，BC边上的动点，且$AE = CF$，连接EF，将$□ ABCD$沿EF折叠，点A落在点$A_1$处，点B落在点$B_1$处，$FB_1$交CD于点G，$A_1B_1$分别交CD，DE于点H，K，发现$EK = FG$，请证明他们发现的结论.
(3)老师提问：在图1的基础上，若$AB = 4$，$BC = 6$，$∠ ABC = 60°$，求AE的长.
(1)“爱心”小组：如图1，将$□ ABCD$沿EF折叠，使点B与点D重合，折痕与AD，BC边分别交于点E，F，发现$DE = DF$，请证明他们发现的结论.
(2)“希望”小组：如图2，E，F分别是AD，BC边上的动点，且$AE = CF$，连接EF，将$□ ABCD$沿EF折叠，点A落在点$A_1$处，点B落在点$B_1$处，$FB_1$交CD于点G，$A_1B_1$分别交CD，DE于点H，K，发现$EK = FG$，请证明他们发现的结论.
(3)老师提问：在图1的基础上，若$AB = 4$，$BC = 6$，$∠ ABC = 60°$，求AE的长.
答案
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AD// BC$，
∴ $∠ DEF = ∠ BFE$。
由折叠的性质可知：$∠ BFE = ∠ DFE$，
∴ $∠ DEF = ∠ DFE$，
∴ $DE = DF$。
---
(2) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AD// BC$，$∠ A = ∠ C$，$AD = BC$。
∵ $AE = CF$，
∴ $AD - AE = BC - CF$，即 $ED = BF$。
由折叠的性质得：$A_1E = AE$，$∠ A_1 = ∠ A$，$∠ A_1EF = ∠ AEF$，$∠ B_1FE = ∠ BFE$。
∵ $AD// BC$，
∴ $∠ AEF = ∠ CFE$，
∴ $∠ A_1EF - ∠ DEF = ∠ CFE - ∠ B_1FE$，即 $∠ A_1EK = ∠ CFG$。
又∵ $A_1E = CF$，$∠ A_1 = ∠ C$，
∴ $△ A_1EK ≌ △ CFG$（ASA），
∴ $EK = FG$。
---
(3) 解：
设 $AE = x$，
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AD = BC = 6$，$AD// BC$，$∠ A = 180° - ∠ ABC = 120°$。
由折叠的性质得：$DE = BE$，
∴ $BE = DE = AD - AE = 6 - x$。
过点B作$BM⊥ AD$，交DA的延长线于点M，
∵ $∠ MAB = 180° - ∠ A = 60°$，$AB = 4$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ ABM$中，$AM = AB·\cos60° = 2$，$BM = AB·\sin60° = 2\sqrt{3}$。
在$\mathrm{Rt}△ BEM$中，由勾股定理得：
$BE^2 = BM^2 + ME^2$
其中$ME = AM + AE = 2 + x$，代入得：
$(6 - x)^2 = (2\sqrt{3})^2 + (x + 2)^2$
展开整理：
$36 - 12x + x^2 = 16 + 4x + x^2$
$16x = 20$
解得：$x = \frac{5}{2}$。
答：$AE$的长为$\frac{5}{2}$。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AD// BC$，
∴ $∠ DEF = ∠ BFE$。
由折叠的性质可知：$∠ BFE = ∠ DFE$，
∴ $∠ DEF = ∠ DFE$，
∴ $DE = DF$。
---
(2) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AD// BC$，$∠ A = ∠ C$，$AD = BC$。
∵ $AE = CF$，
∴ $AD - AE = BC - CF$，即 $ED = BF$。
由折叠的性质得：$A_1E = AE$，$∠ A_1 = ∠ A$，$∠ A_1EF = ∠ AEF$，$∠ B_1FE = ∠ BFE$。
∵ $AD// BC$，
∴ $∠ AEF = ∠ CFE$，
∴ $∠ A_1EF - ∠ DEF = ∠ CFE - ∠ B_1FE$，即 $∠ A_1EK = ∠ CFG$。
又∵ $A_1E = CF$，$∠ A_1 = ∠ C$，
∴ $△ A_1EK ≌ △ CFG$（ASA），
∴ $EK = FG$。
---
(3) 解：
设 $AE = x$，
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AD = BC = 6$，$AD// BC$，$∠ A = 180° - ∠ ABC = 120°$。
由折叠的性质得：$DE = BE$，
∴ $BE = DE = AD - AE = 6 - x$。
过点B作$BM⊥ AD$，交DA的延长线于点M，
∵ $∠ MAB = 180° - ∠ A = 60°$，$AB = 4$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ ABM$中，$AM = AB·\cos60° = 2$，$BM = AB·\sin60° = 2\sqrt{3}$。
在$\mathrm{Rt}△ BEM$中，由勾股定理得：
$BE^2 = BM^2 + ME^2$
其中$ME = AM + AE = 2 + x$，代入得：
$(6 - x)^2 = (2\sqrt{3})^2 + (x + 2)^2$
展开整理：
$36 - 12x + x^2 = 16 + 4x + x^2$
$16x = 20$
解得：$x = \frac{5}{2}$。
答：$AE$的长为$\frac{5}{2}$。
