登录
7. 如图，在$□ ABCD$中，$∠ BCD$的平分线交AB于点E，若AD=2，则BE=。
答案
$\boldsymbol{2}$
解析
解：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，BC=AD=2。
∵ CE平分∠BCD，
∴ ∠BCE=∠DCE。
∵ AB//CD，
∴ ∠DCE=∠BEC，
∴ ∠BCE=∠BEC，
∴ BE=BC=2。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，BC=AD=2。
∵ CE平分∠BCD，
∴ ∠BCE=∠DCE。
∵ AB//CD，
∴ ∠DCE=∠BEC，
∴ ∠BCE=∠BEC，
∴ BE=BC=2。
8. 如图，在$□ ABCD$中，点E，F分别在BC和AD上，且$AF = CE$。
求证：$∠ AEB = ∠ CFD$。
求证：$∠ AEB = ∠ CFD$。
答案
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB = CD，∠B = ∠D，AD = BC。
∵ AF = CE，
∴ AD - AF = BC - CE，即 DF = BE。
在△ABE和△CDF中，
$\{\begin{array}{l}BE = DF, \\∠B = ∠D, \\AB = CD,\end{array} $
∴ △ABE ≌ △CDF（SAS），
∴ ∠AEB = ∠CFD。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB = CD，∠B = ∠D，AD = BC。
∵ AF = CE，
∴ AD - AF = BC - CE，即 DF = BE。
在△ABE和△CDF中，
$\{\begin{array}{l}BE = DF, \\∠B = ∠D, \\AB = CD,\end{array} $
∴ △ABE ≌ △CDF（SAS），
∴ ∠AEB = ∠CFD。
9. 如图，在$□ ABCD$中，点$E$，$F$分别在边$AB$，$CD$上，$EF$交$AC$于点$O$，且$BE=DF$.
求证：点$O$是线段$EF$的中点.
求证：点$O$是线段$EF$的中点.
答案
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AB // CD$，$AB = CD$，
∴ $∠ OAE = ∠ OCF$。
又∵ $BE = DF$，
∴ $AB - BE = CD - DF$，
即 $AE = CF$。
在$△ AOE$和$△ COF$中，
$\{\begin{array}{l}∠ AOE = ∠ COF \\∠ OAE = ∠ OCF \\AE = CF\end{array} $
∴ $△ AOE ≌ △ COF$（AAS），
∴ $OE = OF$，
即点$O$是线段$EF$的中点。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AB // CD$，$AB = CD$，
∴ $∠ OAE = ∠ OCF$。
又∵ $BE = DF$，
∴ $AB - BE = CD - DF$，
即 $AE = CF$。
在$△ AOE$和$△ COF$中，
$\{\begin{array}{l}∠ AOE = ∠ COF \\∠ OAE = ∠ OCF \\AE = CF\end{array} $
∴ $△ AOE ≌ △ COF$（AAS），
∴ $OE = OF$，
即点$O$是线段$EF$的中点。
10. 如图，点E，F在$\boldsymbol{□ ABCD}$的对角线AC上. 若，则四边形BEDF是平行四边形. 请从①$BE = DF$；②$AE = CF$；③$BE // DF$这3个选项中选择一个作为条件(写序号)，使结论成立，并说明理由.
答案
解：选择②作为条件，理由如下：
连接BD，交AC于点O。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OB=OD，OA=OC。
又∵ AE=CF，
∴ OA - AE = OC - CF，
即 OE = OF。
又∵ OB = OD，
∴ 四边形BEDF的对角线互相平分，
∴ 四边形BEDF是平行四边形。
连接BD，交AC于点O。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OB=OD，OA=OC。
又∵ AE=CF，
∴ OA - AE = OC - CF，
即 OE = OF。
又∵ OB = OD，
∴ 四边形BEDF的对角线互相平分，
∴ 四边形BEDF是平行四边形。
