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16.为了解八年级某班男生的体能情况，随机抽取7名男生，进行引体向上测试，测试成绩(单位:个)按从小到大排序为5,5,6,m,8,9,10.若这组数据的平均数小于这组数据的中位数，则这组数据的中位数为
8
.答案
16.8
解析
【分析】
解题时首先明确：7个按从小到大排序的数据，奇数个数据的中位数是排序后最中间的第4个数据，也就是m；其次由排序规则可得到隐含条件：$6≤ m≤8$，且引体向上个数为正整数；再根据“平均数小于中位数”的条件列不等式，求解后结合m的取值范围确定m的值，即为中位数。
【解析】
1. 确定中位数：这组数据共7个，按从小到大排序后，中位数是第4个数据，即$m$，根据排序规则可得$6≤ m≤8$，且$m$为正整数。
2. 计算平均数：这组数据的平均数为$\bar{x}=\frac{5+5+6+m+8+9+10}{7}=\frac{43+m}{7}$。
3. 列不等式求解：
由题意得$\frac{43+m}{7}＜m$，
不等式两边同乘7得：$43+m＜7m$，
移项合并得：$6m＞43$，即$m＞\frac{43}{6}\approx7.17$。
结合$6≤ m≤8$且m为整数，可得$m=8$，即中位数为8。
【答案】
8
【知识点】
中位数定义，平均数计算，解一元一次不等式
【点评】
本题综合了统计基础概念与不等式的应用，解题时容易忽略有序数据中参数的隐含取值范围，只要注意到这个条件，结合不等式求解即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确：7个按从小到大排序的数据，奇数个数据的中位数是排序后最中间的第4个数据，也就是m；其次由排序规则可得到隐含条件：$6≤ m≤8$，且引体向上个数为正整数；再根据“平均数小于中位数”的条件列不等式，求解后结合m的取值范围确定m的值，即为中位数。
【解析】
1. 确定中位数：这组数据共7个，按从小到大排序后，中位数是第4个数据，即$m$，根据排序规则可得$6≤ m≤8$，且$m$为正整数。
2. 计算平均数：这组数据的平均数为$\bar{x}=\frac{5+5+6+m+8+9+10}{7}=\frac{43+m}{7}$。
3. 列不等式求解：
由题意得$\frac{43+m}{7}＜m$，
不等式两边同乘7得：$43+m＜7m$，
移项合并得：$6m＞43$，即$m＞\frac{43}{6}\approx7.17$。
结合$6≤ m≤8$且m为整数，可得$m=8$，即中位数为8。
【答案】
8
【知识点】
中位数定义，平均数计算，解一元一次不等式
【点评】
本题综合了统计基础概念与不等式的应用，解题时容易忽略有序数据中参数的隐含取值范围，只要注意到这个条件，结合不等式求解即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
17.在从小到大排列的数据$x,3,6,8,12$中再加入一个数,若这6个数的中位数、平均数与原来5个数的中位数、平均数分别相等,则$x$的值为
1
.答案
17.1
解析
【分析】
解题思路如下：首先，原5个数据是从小到大排列的，5个数的中位数是排序后第3个数据，可直接得出原中位数为6；加入1个数据后共6个数，中位数是第3位和第4位数据的平均数，结合新中位数与原中位数相等的条件，可推出加入的数为6。接下来根据前后平均数相等的关系列一元一次方程，求解后验证x符合排序要求即可得到结果。
【解析】
1. 求原5个数的中位数：
已知数据$x,3,6,8,12$从小到大排列，共5个数据，中位数为第3个数据，即原中位数为$6$。
2. 确定加入的数：
加入1个数后共6个数据，中位数为排序后第3、4个数据的平均数，由题意新中位数等于原中位数$6$，因此第3、4个数据的和为$6×2=12$。结合原有数据的大小关系（$x≤3＜6＜8＜12$），可推出加入的数只能是$6$，才能满足中位数为$6$的要求。
3. 利用平均数相等列方程求解：
原5个数的平均数为$\frac{x+3+6+8+12}{5}=\frac{x+29}{5}$
加入数字$6$后，6个数的平均数为$\frac{x+3+6+8+12+6}{6}=\frac{x+35}{6}$
由两个平均数相等，列方程：
$\frac{x+29}{5}=\frac{x+35}{6}$
交叉相乘得：$6(x+29)=5(x+35)$
展开计算：$6x+174=5x+175$
解得：$x=1$，符合$x≤3$的排序要求。
【答案】
1
【知识点】
中位数的计算，平均数的计算，一元一次方程的应用
【点评】
本题综合考查了统计中中位数、平均数的概念以及一元一次方程的应用，解题的关键是先通过中位数相等的条件确定加入的数值，再利用平均数关系列方程求解，需要注意题干中数据已按从小到大排列的隐含前提。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：首先，原5个数据是从小到大排列的，5个数的中位数是排序后第3个数据，可直接得出原中位数为6；加入1个数据后共6个数，中位数是第3位和第4位数据的平均数，结合新中位数与原中位数相等的条件，可推出加入的数为6。接下来根据前后平均数相等的关系列一元一次方程，求解后验证x符合排序要求即可得到结果。
【解析】
1. 求原5个数的中位数：
已知数据$x,3,6,8,12$从小到大排列，共5个数据，中位数为第3个数据，即原中位数为$6$。
2. 确定加入的数：
加入1个数后共6个数据，中位数为排序后第3、4个数据的平均数，由题意新中位数等于原中位数$6$，因此第3、4个数据的和为$6×2=12$。结合原有数据的大小关系（$x≤3＜6＜8＜12$），可推出加入的数只能是$6$，才能满足中位数为$6$的要求。
3. 利用平均数相等列方程求解：
原5个数的平均数为$\frac{x+3+6+8+12}{5}=\frac{x+29}{5}$
加入数字$6$后，6个数的平均数为$\frac{x+3+6+8+12+6}{6}=\frac{x+35}{6}$
由两个平均数相等，列方程：
$\frac{x+29}{5}=\frac{x+35}{6}$
交叉相乘得：$6(x+29)=5(x+35)$
展开计算：$6x+174=5x+175$
解得：$x=1$，符合$x≤3$的排序要求。
【答案】
1
【知识点】
中位数的计算，平均数的计算，一元一次方程的应用
【点评】
本题综合考查了统计中中位数、平均数的概念以及一元一次方程的应用，解题的关键是先通过中位数相等的条件确定加入的数值，再利用平均数关系列方程求解，需要注意题干中数据已按从小到大排列的隐含前提。
【难度系数】
0.6
18.某中学的学生对本校学生的每周零花钱使用情况进行抽样调查,得到了一组学生平均一周用的零花钱的数据.如图是根据这组数据绘制的统计图,图中从左到右各长方形的高度之比为$3:4:5:8:6$;又知此次调查中平均一周用的零花钱是25元和30元的学生一共有42人.这组数据的众数是
25
,中位数是25
.答案
18.25 25
解析
【分析】
首先，条形统计图中长方形的高度比对应各组的人数比，我们可以先设每份的人数为$ k $，用含$ k $的式子表示出各零花钱数额对应的人数；再根据“25元和30元的学生一共有42人”列方程求出$ k $的值，得到各组人数和总人数。众数是一组数据中出现次数最多的数，对应人数最多的零花钱数额即可；中位数是将数据从小到大排列后位于中间位置的数（总人数为偶数时是中间两个数的平均数），根据总人数确定中间位置对应的零花钱数额即可。
【解析】
解：设每份人数为$ k $，则平均一周零花钱为10元、15元、20元、25元、30元的人数分别为$ 3k、4k、5k、8k、6k $。
根据题意列方程：
$ 8k+6k=42 $
解得$ k=3 $。
因此各组人数分别为：$ 3×3=9 $人，$ 4×3=12 $人，$ 5×3=15 $人，$ 8×3=24 $人，$ 6×3=18 $人，总人数为$ 9+12+15+24+18=78 $人。
1. 求众数：25元对应的人数为24人，是所有组中人数最多的，因此众数为25。
2. 求中位数：将78个数据从小到大排列，中位数是第39和第40个数据的平均数。前3组人数总和为$ 9+12+15=36 $人，说明第37~60个数据均为25元，因此第39、40个数据都是25，中位数为$ \frac{25+25}{2}=25 $。
【答案】
25；25
【知识点】
条形统计图，众数，中位数
【点评】
本题结合统计图表考查统计量的求解，解题关键是理解条形图高度比和人数的对应关系，再结合众数、中位数的定义计算，重点考查对基础统计概念的掌握，计算量较小。
【难度系数】
0.7
首先，条形统计图中长方形的高度比对应各组的人数比，我们可以先设每份的人数为$ k $，用含$ k $的式子表示出各零花钱数额对应的人数；再根据“25元和30元的学生一共有42人”列方程求出$ k $的值，得到各组人数和总人数。众数是一组数据中出现次数最多的数，对应人数最多的零花钱数额即可；中位数是将数据从小到大排列后位于中间位置的数（总人数为偶数时是中间两个数的平均数），根据总人数确定中间位置对应的零花钱数额即可。
【解析】
解：设每份人数为$ k $，则平均一周零花钱为10元、15元、20元、25元、30元的人数分别为$ 3k、4k、5k、8k、6k $。
根据题意列方程：
$ 8k+6k=42 $
解得$ k=3 $。
因此各组人数分别为：$ 3×3=9 $人，$ 4×3=12 $人，$ 5×3=15 $人，$ 8×3=24 $人，$ 6×3=18 $人，总人数为$ 9+12+15+24+18=78 $人。
1. 求众数：25元对应的人数为24人，是所有组中人数最多的，因此众数为25。
2. 求中位数：将78个数据从小到大排列，中位数是第39和第40个数据的平均数。前3组人数总和为$ 9+12+15=36 $人，说明第37~60个数据均为25元，因此第39、40个数据都是25，中位数为$ \frac{25+25}{2}=25 $。
【答案】
25；25
【知识点】
条形统计图，众数，中位数
【点评】
本题结合统计图表考查统计量的求解，解题关键是理解条形图高度比和人数的对应关系，再结合众数、中位数的定义计算，重点考查对基础统计概念的掌握，计算量较小。
【难度系数】
0.7
三、解答题
19.某市举办青少年书法比赛,各年龄组的参赛人数如下表所示.
(1)求全体参赛选手年龄的众数和四分位数$Q_1,Q_2,Q_3$.
(2)小明说,他所在年龄组的参赛人数占全体参赛人数的28%.你认为小明是哪个年龄组的选手?请说明理由.
19.某市举办青少年书法比赛,各年龄组的参赛人数如下表所示.
(1)求全体参赛选手年龄的众数和四分位数$Q_1,Q_2,Q_3$.
(2)小明说,他所在年龄组的参赛人数占全体参赛人数的28%.你认为小明是哪个年龄组的选手?请说明理由.
答案
19.解:(1)众数是 14,$Q_1=14$,$Q_2=15$.$Q_3=16$.
(2)
∵全体参赛选手的人数为 5+19+12+14=50(人),$50×28\%=14$(人),
∴小明是 16 岁年龄组的选手.
(2)
∵全体参赛选手的人数为 5+19+12+14=50(人),$50×28\%=14$(人),
∴小明是 16 岁年龄组的选手.
解析
【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：
(1)求众数和四分位数：首先计算全体参赛总人数，众数是出现次数最多的年龄，直接观察参赛人数最多的年龄组即可；求四分位数时，先将所有年龄从小到大排序，根据总人数计算各四分位数对应的位置，结合排序后的年龄分布确定对应四分位数的数值。
(2)判断小明所在年龄组：先计算全体参赛人数，用总人数乘28%得到对应年龄组的参赛人数，和表格中各年龄组人数比对即可得出结论。
【解析】
(1)首先计算全体参赛选手总人数：$5+19+12+14=50$（人）
①求众数：14岁年龄组的参赛人数最多，共19人，因此全体参赛选手年龄的众数是14。
②求四分位数：将所有参赛选手的年龄从小到大排列：前5个数据为13岁，第6~24个数据为14岁，第25~36个数据为15岁，第37~50个数据为16岁。
计算$Q_1$（第25百分位数）：位置$i=50×25\%=12.5$，向上取整为第13个数据，第13个数据属于14岁区间，故$Q_1=14$；
计算$Q_2$（第50百分位数，即中位数）：位置$i=50×50\%=25$，取第25和第26个数据的平均数，这两个数据都属于15岁区间，故$Q_2=15$；
计算$Q_3$（第75百分位数）：位置$i=50×75\%=37.5$，向上取整为第38个数据，第38个数据属于16岁区间，故$Q_3=16$。
(2)判断小明所在年龄组：
全体参赛总人数为50人，小明所在年龄组人数为$50×28\%=14$（人），表格中16岁年龄组的参赛人数为14人，因此小明是16岁年龄组的选手。
【答案】
(1)众数是14，$Q_1=14$，$Q_2=15$，$Q_3=16$；
(2)小明是16岁年龄组的选手。
【知识点】
众数，四分位数，百分数应用
【点评】
本题属于统计基础题，结合生活场景考查统计量的计算与应用，解题关键是先准确统计总人数，再根据各统计量的定义分步计算，计算四分位数时要注意数据位置的确定方法，避免因排序或位置判断错误失分。
【难度系数】
0.7
本题分为两小问，解题思路如下：
(1)求众数和四分位数：首先计算全体参赛总人数，众数是出现次数最多的年龄，直接观察参赛人数最多的年龄组即可；求四分位数时，先将所有年龄从小到大排序，根据总人数计算各四分位数对应的位置，结合排序后的年龄分布确定对应四分位数的数值。
(2)判断小明所在年龄组：先计算全体参赛人数，用总人数乘28%得到对应年龄组的参赛人数，和表格中各年龄组人数比对即可得出结论。
【解析】
(1)首先计算全体参赛选手总人数：$5+19+12+14=50$（人）
①求众数：14岁年龄组的参赛人数最多，共19人，因此全体参赛选手年龄的众数是14。
②求四分位数：将所有参赛选手的年龄从小到大排列：前5个数据为13岁，第6~24个数据为14岁，第25~36个数据为15岁，第37~50个数据为16岁。
计算$Q_1$（第25百分位数）：位置$i=50×25\%=12.5$，向上取整为第13个数据，第13个数据属于14岁区间，故$Q_1=14$；
计算$Q_2$（第50百分位数，即中位数）：位置$i=50×50\%=25$，取第25和第26个数据的平均数，这两个数据都属于15岁区间，故$Q_2=15$；
计算$Q_3$（第75百分位数）：位置$i=50×75\%=37.5$，向上取整为第38个数据，第38个数据属于16岁区间，故$Q_3=16$。
(2)判断小明所在年龄组：
全体参赛总人数为50人，小明所在年龄组人数为$50×28\%=14$（人），表格中16岁年龄组的参赛人数为14人，因此小明是16岁年龄组的选手。
【答案】
(1)众数是14，$Q_1=14$，$Q_2=15$，$Q_3=16$；
(2)小明是16岁年龄组的选手。
【知识点】
众数，四分位数，百分数应用
【点评】
本题属于统计基础题，结合生活场景考查统计量的计算与应用，解题关键是先准确统计总人数，再根据各统计量的定义分步计算，计算四分位数时要注意数据位置的确定方法，避免因排序或位置判断错误失分。
【难度系数】
0.7
