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7.小明想要计算一组数据92,90,94,86,99,85的方差$s_0^2$,在计算平均数的过程中,将这组数据中的每一个数都减去90,得到一组新数据2,0,4,−4,9,−5,记这组新数据的方差为$s_1^2$,则下列表述正确的是 (
A.$s_1^2 = s_0^2$
B.$s_1^2 ＜ s_0^2$
C.$s_1^2 ＞ s_0^2$
D.无法确定
A
)A.$s_1^2 = s_0^2$
B.$s_1^2 ＜ s_0^2$
C.$s_1^2 ＞ s_0^2$
D.无法确定
答案
7.A
解析
【分析】
解题思路：首先明确方差是衡量一组数据波动大小的量。我们可以从两个角度思考：一是回忆方差的性质，当一组数据每个数都加上或减去同一个常数时，数据间的差异程度不变，波动大小不变，因此方差不变；二是可以分别计算原数据和新数据的方差，对比结果得出结论。
【解析】
方法一：利用方差性质求解
方差反映的是一组数据的波动程度，将这组数据中的每一个数都减去90，数据之间的差值没有发生变化，整体波动幅度不变，因此方差不变，即$s_1^2 = s_0^2$。
方法二：计算验证
1. 计算原数据的平均数$\overline{x}_0$：
$\overline{x}_0=\frac{92+90+94+86+99+85}{6}=\frac{546}{6}=91$
原方差$s_0^2=\frac{1}{6}×[(92-91)^2+(90-91)^2+(94-91)^2+(86-91)^2+(99-91)^2+(85-91)^2]$
$=\frac{1}{6}×(1+1+9+25+64+36)=\frac{68}{3}$
2. 计算新数据的平均数$\overline{x}_1$：
$\overline{x}_1=\frac{2+0+4-4+9-5}{6}=\frac{6}{6}=1$
新方差$s_1^2=\frac{1}{6}×[(2-1)^2+(0-1)^2+(4-1)^2+(-4-1)^2+(9-1)^2+(-5-1)^2]$
$=\frac{1}{6}×(1+1+9+25+64+36)=\frac{68}{3}$
因此$s_1^2 = s_0^2$，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
方差的性质；方差的计算
【点评】
本题考查方差的相关知识，既可以通过方差的本质意义快速判断，也可以通过计算验证结论，理解方差反映数据波动程度的核心是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先明确方差是衡量一组数据波动大小的量。我们可以从两个角度思考：一是回忆方差的性质，当一组数据每个数都加上或减去同一个常数时，数据间的差异程度不变，波动大小不变，因此方差不变；二是可以分别计算原数据和新数据的方差，对比结果得出结论。
【解析】
方法一：利用方差性质求解
方差反映的是一组数据的波动程度，将这组数据中的每一个数都减去90，数据之间的差值没有发生变化，整体波动幅度不变，因此方差不变，即$s_1^2 = s_0^2$。
方法二：计算验证
1. 计算原数据的平均数$\overline{x}_0$：
$\overline{x}_0=\frac{92+90+94+86+99+85}{6}=\frac{546}{6}=91$
原方差$s_0^2=\frac{1}{6}×[(92-91)^2+(90-91)^2+(94-91)^2+(86-91)^2+(99-91)^2+(85-91)^2]$
$=\frac{1}{6}×(1+1+9+25+64+36)=\frac{68}{3}$
2. 计算新数据的平均数$\overline{x}_1$：
$\overline{x}_1=\frac{2+0+4-4+9-5}{6}=\frac{6}{6}=1$
新方差$s_1^2=\frac{1}{6}×[(2-1)^2+(0-1)^2+(4-1)^2+(-4-1)^2+(9-1)^2+(-5-1)^2]$
$=\frac{1}{6}×(1+1+9+25+64+36)=\frac{68}{3}$
因此$s_1^2 = s_0^2$，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
方差的性质；方差的计算
【点评】
本题考查方差的相关知识，既可以通过方差的本质意义快速判断，也可以通过计算验证结论，理解方差反映数据波动程度的核心是解题的关键。
【难度系数】
0.8
8. 甲、乙、丙、丁四支足球队在世界杯预赛中进球数分别为10,10,x,8. 已知这组数据的众数与平均数相等，那么这组数据的中位数是 （
A.8
B.9
C.10
D.12
C
）A.8
B.9
C.10
D.12
答案
8.C
解析
【分析】
解题首先要明确众数、平均数、中位数的定义。第一步先分析众数的可能情况：已知数据中10已经出现2次，8出现1次，若x=8，则众数为8和10两个，无法与唯一的平均数相等，因此可确定众数只能是10；第二步根据众数与平均数相等的条件列方程求出x的值；第三步将所有数据从小到大排序，计算中位数即可。
【解析】
1. 确定众数：这组数据中10出现2次，8出现1次。若x=8，则众数有8和10两个，与“众数和平均数相等（平均数唯一）”矛盾，因此众数只能是10。
2. 计算x的值：由题意得平均数为10，根据平均数公式列方程：
$\frac{10+10+x+8}{4}=10$
解方程可得：
$28+x=40 \implies x=12$
3. 求中位数：将这组数据从小到大排序为8，10，10，12，共4个数据，中位数为中间两个数的平均数：
$\frac{10+10}{2}=10$
【答案】
C
【知识点】
众数；平均数；中位数
【点评】
本题考查统计中三类特征数的综合应用，解题的关键是先结合众数的特性排除不符合题意的情况，求出未知数值后再计算中位数，需注意众数可能存在多个的特殊情况。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确众数、平均数、中位数的定义。第一步先分析众数的可能情况：已知数据中10已经出现2次，8出现1次，若x=8，则众数为8和10两个，无法与唯一的平均数相等，因此可确定众数只能是10；第二步根据众数与平均数相等的条件列方程求出x的值；第三步将所有数据从小到大排序，计算中位数即可。
【解析】
1. 确定众数：这组数据中10出现2次，8出现1次。若x=8，则众数有8和10两个，与“众数和平均数相等（平均数唯一）”矛盾，因此众数只能是10。
2. 计算x的值：由题意得平均数为10，根据平均数公式列方程：
$\frac{10+10+x+8}{4}=10$
解方程可得：
$28+x=40 \implies x=12$
3. 求中位数：将这组数据从小到大排序为8，10，10，12，共4个数据，中位数为中间两个数的平均数：
$\frac{10+10}{2}=10$
【答案】
C
【知识点】
众数；平均数；中位数
【点评】
本题考查统计中三类特征数的综合应用，解题的关键是先结合众数的特性排除不符合题意的情况，求出未知数值后再计算中位数，需注意众数可能存在多个的特殊情况。
【难度系数】
0.7
9.某工厂对一个生产小组生产的零件进行抽查,在10天中,这个生产小组每天生产的次品数(单位:件)如下:0,2,0,2,3,0,1,3,1,2.在这10天该生产小组所生产的零件中,次品数的（
A.平均数是2
B.众数是3
C.中位数是1.5
D.方差是1.25
C
）A.平均数是2
B.众数是3
C.中位数是1.5
D.方差是1.25
答案
9.C
解析
【分析】
本题考查平均数、众数、中位数、方差四个常见统计量的计算，解题时首先将数据从小到大排序，方便后续统计各数据出现次数、计算中位数，再分别按照各统计量的定义逐一计算对应值，和选项对比判断即可。
【解析】
先将10天的次品数从小到大排列为：0,0,0,1,1,2,2,2,3,3，逐一判断选项：
1. 验证A选项：
次品数总和为$0×3+1×2+2×3+3×2=14$，平均数为$14÷10=1.4≠2$，A错误。
2. 验证B选项：
数据中0和2都出现了3次，出现次数最多，因此众数是0和2，不是3，B错误。
3. 验证C选项：
共10个数据，为偶数个，中位数是第5个和第6个数据的平均数，第5个数据是1，第6个数据是2，因此中位数为$\frac{1+2}{2}=1.5$，C正确。
4. 验证D选项：
根据方差公式，方差为：
$\frac{1}{10}×[3×(0-1.4)^2+2×(1-1.4)^2+3×(2-1.4)^2+2×(3-1.4)^2]$
$=\frac{1}{10}×(5.88+0.32+1.08+5.12)=\frac{1}{10}×12.4=1.24≠1.25$，D错误。
【答案】
C
【知识点】
平均数，众数与中位数，方差
【点评】
本题属于基础类统计题，核心考查各统计量的定义和计算方法，解题时需注意先对数据排序，计算过程细心核对即可避免失误。
【难度系数】
0.7
本题考查平均数、众数、中位数、方差四个常见统计量的计算，解题时首先将数据从小到大排序，方便后续统计各数据出现次数、计算中位数，再分别按照各统计量的定义逐一计算对应值，和选项对比判断即可。
【解析】
先将10天的次品数从小到大排列为：0,0,0,1,1,2,2,2,3,3，逐一判断选项：
1. 验证A选项：
次品数总和为$0×3+1×2+2×3+3×2=14$，平均数为$14÷10=1.4≠2$，A错误。
2. 验证B选项：
数据中0和2都出现了3次，出现次数最多，因此众数是0和2，不是3，B错误。
3. 验证C选项：
共10个数据，为偶数个，中位数是第5个和第6个数据的平均数，第5个数据是1，第6个数据是2，因此中位数为$\frac{1+2}{2}=1.5$，C正确。
4. 验证D选项：
根据方差公式，方差为：
$\frac{1}{10}×[3×(0-1.4)^2+2×(1-1.4)^2+3×(2-1.4)^2+2×(3-1.4)^2]$
$=\frac{1}{10}×(5.88+0.32+1.08+5.12)=\frac{1}{10}×12.4=1.24≠1.25$，D错误。
【答案】
C
【知识点】
平均数，众数与中位数，方差
【点评】
本题属于基础类统计题，核心考查各统计量的定义和计算方法，解题时需注意先对数据排序，计算过程细心核对即可避免失误。
【难度系数】
0.7
10.一组数据的方差是2，将这组数据都扩大到原来的3倍，则所得的一组新数据的方差是（
A.2
B.6
C.32
D.18
D
）A.2
B.6
C.32
D.18
答案
10.D
解析
【分析】
解题时可从方差的定义出发推导，也可直接运用方差的变化规律求解：首先回忆方差的计算公式，明确方差反映的是数据与平均数的偏离程度；若一组数据每个数都扩大为原来的a倍，那么新数据的平均数也扩大为原来的a倍，代入方差公式后，平方项会扩大为原来的a²倍，因此方差扩大为原来的a²倍，结合题干给出的原方差即可算出新方差。
【解析】
设原数据为$x_1,x_2,\dots,x_n$，平均数为$\overline{x}$，根据方差公式，原方差为：
$S^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]=2$
将这组数据都扩大到原来的3倍，得到新数据为$3x_1,3x_2,\dots,3x_n$，新数据的平均数为：
$\overline{x}'=\frac{3x_1+3x_2+\dots+3x_n}{n}=3·\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}=3\overline{x}$
代入方差公式计算新方差：
$S'^2=\frac{1}{n}[(3x_1-3\overline{x})^2+(3x_2-3\overline{x})^2+\dots+(3x_n-3\overline{x})^2]$
$=\frac{1}{n}[9(x_1-\overline{x})^2+9(x_2-\overline{x})^2+\dots+9(x_n-\overline{x})^2]$
$=9×\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$
$=9×2=18$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
方差的计算；方差的变化规律
【点评】
本题是基础题型，既可以通过代入方差公式一步步推导得出结果，也可以直接运用方差的变化规律快速作答，核心考查对方差公式的理解和灵活运用能力，容易出错的点是误将方差的变化倍数等同于数据的扩大倍数，选择错误选项B。
【难度系数】
0.7
解题时可从方差的定义出发推导，也可直接运用方差的变化规律求解：首先回忆方差的计算公式，明确方差反映的是数据与平均数的偏离程度；若一组数据每个数都扩大为原来的a倍，那么新数据的平均数也扩大为原来的a倍，代入方差公式后，平方项会扩大为原来的a²倍，因此方差扩大为原来的a²倍，结合题干给出的原方差即可算出新方差。
【解析】
设原数据为$x_1,x_2,\dots,x_n$，平均数为$\overline{x}$，根据方差公式，原方差为：
$S^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]=2$
将这组数据都扩大到原来的3倍，得到新数据为$3x_1,3x_2,\dots,3x_n$，新数据的平均数为：
$\overline{x}'=\frac{3x_1+3x_2+\dots+3x_n}{n}=3·\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}=3\overline{x}$
代入方差公式计算新方差：
$S'^2=\frac{1}{n}[(3x_1-3\overline{x})^2+(3x_2-3\overline{x})^2+\dots+(3x_n-3\overline{x})^2]$
$=\frac{1}{n}[9(x_1-\overline{x})^2+9(x_2-\overline{x})^2+\dots+9(x_n-\overline{x})^2]$
$=9×\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$
$=9×2=18$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
方差的计算；方差的变化规律
【点评】
本题是基础题型，既可以通过代入方差公式一步步推导得出结果，也可以直接运用方差的变化规律快速作答，核心考查对方差公式的理解和灵活运用能力，容易出错的点是误将方差的变化倍数等同于数据的扩大倍数，选择错误选项B。
【难度系数】
0.7
11.数据11,9,7,10,14,7,6,5的中位数是
8
，众数是7
。答案
11.8 7
解析
【分析】
要解决这道题，需先明确中位数和众数的定义。计算中位数时，首先要将所有数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，若数据总个数为奇数，中位数是最中间的那个数；若为偶数，中位数是最中间两个数的平均数。众数是一组数据中出现次数最多的数。按照定义先对数据排序，再分别计算中位数、找出众数即可。
【解析】
1. 对数据从小到大排序：5，6，7，7，9，10，11，14。
2. 计算中位数：本组数据共8个，为偶数个，取排序后第4个和第5个数的平均数，即$\frac{7+9}{2}=8$。
3. 确定众数：统计各数出现次数，7共出现2次，其余数均只出现1次，因此众数为7。
【答案】
8；7
【知识点】
中位数的计算；众数的识别
【点评】
本题是统计模块的基础题型，解题的核心注意点是计算中位数前必须先对数据排序，避免直接对原数据取中间值导致出错；众数仅由出现次数决定，一组数据的众数可能有多个，也可能不存在。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，需先明确中位数和众数的定义。计算中位数时，首先要将所有数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，若数据总个数为奇数，中位数是最中间的那个数；若为偶数，中位数是最中间两个数的平均数。众数是一组数据中出现次数最多的数。按照定义先对数据排序，再分别计算中位数、找出众数即可。
【解析】
1. 对数据从小到大排序：5，6，7，7，9，10，11，14。
2. 计算中位数：本组数据共8个，为偶数个，取排序后第4个和第5个数的平均数，即$\frac{7+9}{2}=8$。
3. 确定众数：统计各数出现次数，7共出现2次，其余数均只出现1次，因此众数为7。
【答案】
8；7
【知识点】
中位数的计算；众数的识别
【点评】
本题是统计模块的基础题型，解题的核心注意点是计算中位数前必须先对数据排序，避免直接对原数据取中间值导致出错；众数仅由出现次数决定，一组数据的众数可能有多个，也可能不存在。
【难度系数】
0.9
12.某青年足球队队员年龄(单位:岁)如下表,则队员的平均年龄是
20
岁.答案
12.20
解析
【分析】
本题要求队员的平均年龄，因不同年龄对应人数不同，属于加权平均数计算问题。解题思路为：先计算所有队员的年龄总和，即每个年龄乘对应人数的乘积之和，再计算队员总人数，最后用年龄总和除以总人数即可得到平均年龄。
【解析】
首先计算所有队员的年龄总和：
$18×1 + 19×4 + 20×3 + 21×2 + 22×2$
$=18 + 76 + 60 + 42 + 44$
$=240$（岁）
再计算队员总人数：
$1+4+3+2+2=12$（人）
根据平均年龄计算公式：平均年龄 = 年龄总和÷总人数，代入得：
$240÷12=20$（岁）
【答案】
20
【知识点】
加权平均数计算
【点评】
本题是统计类基础题，核心考查加权平均数的实际应用，解题时要明确每个数据对应的权重，计算过程中注意仔细运算，避免出现乘积或求和的计算错误。
【难度系数】
0.85
本题要求队员的平均年龄，因不同年龄对应人数不同，属于加权平均数计算问题。解题思路为：先计算所有队员的年龄总和，即每个年龄乘对应人数的乘积之和，再计算队员总人数，最后用年龄总和除以总人数即可得到平均年龄。
【解析】
首先计算所有队员的年龄总和：
$18×1 + 19×4 + 20×3 + 21×2 + 22×2$
$=18 + 76 + 60 + 42 + 44$
$=240$（岁）
再计算队员总人数：
$1+4+3+2+2=12$（人）
根据平均年龄计算公式：平均年龄 = 年龄总和÷总人数，代入得：
$240÷12=20$（岁）
【答案】
20
【知识点】
加权平均数计算
【点评】
本题是统计类基础题，核心考查加权平均数的实际应用，解题时要明确每个数据对应的权重，计算过程中注意仔细运算，避免出现乘积或求和的计算错误。
【难度系数】
0.85
13. 若 $ s^2 = \frac{1}{4} × [(3.2 - \overline{x})^2 + (5.7 - \overline{x})^2 + (4.3 - \overline{x})^2 + (6.8 - \overline{x})^2] $ 是小华同学在求一组数据的方差时写出的计算过程，则其中的 $ \overline{x} = $
5
。答案
13.5
14.某中学规定学生的体育成绩满分为100分，其中早操及体育课外活动占20%，期中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%.小惠的三项成绩依次是95分、90分、85分，则小惠这学期的体育成绩为
88.5
分.答案
14.88.5
解析
【分析】
本题是加权平均数的实际应用问题，解题思路如下：首先明确三项成绩各自对应的权重（即占总成绩的百分比），加权平均数的计算规则是每个数据乘它对应的权重后相加，所得的和就是最终的总评成绩，我们只需将小惠的三项成绩分别乘对应的占比，再求和就能得到她的体育总成绩。
【解析】
根据加权平均数的计算方法，总成绩=各项成绩×对应权重的和，代入对应数据计算：
早操及课外活动得分：$95 × 20\% = 19$（分）
期中考试得分：$90 × 30\% = 27$（分）
期末考试得分：$85 × 50\% = 42.5$（分）
总体育成绩：$19 + 27 + 42.5 = 88.5$（分）
【答案】
88.5
【知识点】
加权平均数计算；百分数的应用
【点评】
本题属于基础应用题，结合校园成绩评定的场景考查统计相关知识，只要明确各部分成绩的权重，掌握加权平均数的计算步骤就能轻松解答。
【难度系数】
0.9
本题是加权平均数的实际应用问题，解题思路如下：首先明确三项成绩各自对应的权重（即占总成绩的百分比），加权平均数的计算规则是每个数据乘它对应的权重后相加，所得的和就是最终的总评成绩，我们只需将小惠的三项成绩分别乘对应的占比，再求和就能得到她的体育总成绩。
【解析】
根据加权平均数的计算方法，总成绩=各项成绩×对应权重的和，代入对应数据计算：
早操及课外活动得分：$95 × 20\% = 19$（分）
期中考试得分：$90 × 30\% = 27$（分）
期末考试得分：$85 × 50\% = 42.5$（分）
总体育成绩：$19 + 27 + 42.5 = 88.5$（分）
【答案】
88.5
【知识点】
加权平均数计算；百分数的应用
【点评】
本题属于基础应用题，结合校园成绩评定的场景考查统计相关知识，只要明确各部分成绩的权重，掌握加权平均数的计算步骤就能轻松解答。
【难度系数】
0.9
15.已知一组数据2，x，4，6，7的众数是6，那么这组数据的方差是
3.2
。答案
15.3.2
解析
【分析】
解题思路分为三步：第一步，根据众数的定义确定x的值，众数是一组数据中出现次数最多的数，已知这组数据的众数是6，说明6的出现次数最多，现有数据中2、4、6、7各出现1次，因此x必须为6，才能让6的出现次数最多；第二步，计算这组数据的平均数，方差计算需要先求平均数；第三步，代入方差公式计算最终结果。
【解析】
1. 确定x的值：
∵ 数据2，x，4，6，7的众数是6，众数是一组数据中出现次数最多的数
∴ x = 6，此时这组数据为：2，6，4，6，7
2. 计算这组数据的平均数$\overline{x}$：
$\overline{x}$ = $\frac{2+6+4+6+7}{5}$ = $\frac{25}{5}$ = 5
3. 计算方差$s^2$：
根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，代入数据得：
$s^2$ = $\frac{1}{5}×[(2-5)^2+(6-5)^2+(4-5)^2+(6-5)^2+(7-5)^2]$
= $\frac{1}{5}×(9+1+1+1+4)$
= $\frac{1}{5}×16$
= 3.2
【答案】
3.2
【知识点】
众数的概念；方差的计算
【点评】
本题是基础计算题，解题的核心是先利用众数的定义求出未知数据x，再严格按照方差的计算步骤求解即可，掌握基础统计概念和公式是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题思路分为三步：第一步，根据众数的定义确定x的值，众数是一组数据中出现次数最多的数，已知这组数据的众数是6，说明6的出现次数最多，现有数据中2、4、6、7各出现1次，因此x必须为6，才能让6的出现次数最多；第二步，计算这组数据的平均数，方差计算需要先求平均数；第三步，代入方差公式计算最终结果。
【解析】
1. 确定x的值：
∵ 数据2，x，4，6，7的众数是6，众数是一组数据中出现次数最多的数
∴ x = 6，此时这组数据为：2，6，4，6，7
2. 计算这组数据的平均数$\overline{x}$：
$\overline{x}$ = $\frac{2+6+4+6+7}{5}$ = $\frac{25}{5}$ = 5
3. 计算方差$s^2$：
根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，代入数据得：
$s^2$ = $\frac{1}{5}×[(2-5)^2+(6-5)^2+(4-5)^2+(6-5)^2+(7-5)^2]$
= $\frac{1}{5}×(9+1+1+1+4)$
= $\frac{1}{5}×16$
= 3.2
【答案】
3.2
【知识点】
众数的概念；方差的计算
【点评】
本题是基础计算题，解题的核心是先利用众数的定义求出未知数据x，再严格按照方差的计算步骤求解即可，掌握基础统计概念和公式是解题的关键。
【难度系数】
0.7
