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7.化简$\sqrt{(1-\sqrt{3})^2}$的结果是
$\sqrt{3}-1$
.答案
7.$\sqrt{3}-1$
解析
【分析】化简该式需运用二次根式的核心性质，首先根据$\sqrt{a^2}=|a|$将原式转化为绝对值形式，再判断绝对值内代数式的正负：$\sqrt{3}\approx1.732$，因此$1-\sqrt{3}$为负数，最后根据负数的绝对值是它的相反数去绝对值符号，即可得到化简结果。
【解析】解：根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，得
$\sqrt{(1-\sqrt{3})^2}=|1-\sqrt{3}|$
$\because \sqrt{3}＞1$，即$1-\sqrt{3}＜0$
$\therefore |1-\sqrt{3}|=-(1-\sqrt{3})=\sqrt{3}-1$
【答案】$\sqrt{3}-1$
【知识点】二次根式的性质；绝对值的化简
【点评】本题是二次根式化简的基础题，解题的关键是掌握$\sqrt{a^2}=|a|$的性质，易错点是未判断底数的正负直接开方得到错误结果$1-\sqrt{3}$，养成先判断正负再去绝对值的习惯可有效避免这类错误。
【难度系数】
0.7
【解析】解：根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，得
$\sqrt{(1-\sqrt{3})^2}=|1-\sqrt{3}|$
$\because \sqrt{3}＞1$，即$1-\sqrt{3}＜0$
$\therefore |1-\sqrt{3}|=-(1-\sqrt{3})=\sqrt{3}-1$
【答案】$\sqrt{3}-1$
【知识点】二次根式的性质；绝对值的化简
【点评】本题是二次根式化简的基础题，解题的关键是掌握$\sqrt{a^2}=|a|$的性质，易错点是未判断底数的正负直接开方得到错误结果$1-\sqrt{3}$，养成先判断正负再去绝对值的习惯可有效避免这类错误。
【难度系数】
0.7
8.若实数$a,b$满足$a+b=6$,我们就说$a$与$b$是关于6的“如意数”,则与$3-\sqrt{2}$是关于6的“如意数”的是
$3+\sqrt{2}$
.答案
8.$3+\sqrt{2}$
解析
【分析】
首先读懂题目给出的新定义：两个实数的和为6时，这两个数互为关于6的“如意数”。要求与$3-\sqrt{2}$对应的如意数，我们可以设所求数为$x$，根据新定义列出等量关系$x+(3-\sqrt{2})=6$，再通过移项、去括号、计算就能得到结果，解题核心是把新定义问题转化为我们熟悉的加减运算。
【解析】
设与$3-\sqrt{2}$是关于6的“如意数”的数为$x$，
根据“如意数”的定义可得：
$x + (3 - \sqrt{2}) = 6$
移项得：
$x = 6 - (3 - \sqrt{2})$
去括号（注意括号前是负号，括号内各项要变号）得：
$x = 6 - 3 + \sqrt{2}$
计算得：
$x = 3 + \sqrt{2}$
【答案】
$3+\sqrt{2}$
【知识点】
新定义运算，二次根式加减，去括号法则
【点评】
本题是新定义类基础题，解题关键是准确理解新定义的规则，将陌生问题转化为已学的加减运算求解，计算时注意去括号的符号变化即可，整体逻辑简单。
【难度系数】
0.9
首先读懂题目给出的新定义：两个实数的和为6时，这两个数互为关于6的“如意数”。要求与$3-\sqrt{2}$对应的如意数，我们可以设所求数为$x$，根据新定义列出等量关系$x+(3-\sqrt{2})=6$，再通过移项、去括号、计算就能得到结果，解题核心是把新定义问题转化为我们熟悉的加减运算。
【解析】
设与$3-\sqrt{2}$是关于6的“如意数”的数为$x$，
根据“如意数”的定义可得：
$x + (3 - \sqrt{2}) = 6$
移项得：
$x = 6 - (3 - \sqrt{2})$
去括号（注意括号前是负号，括号内各项要变号）得：
$x = 6 - 3 + \sqrt{2}$
计算得：
$x = 3 + \sqrt{2}$
【答案】
$3+\sqrt{2}$
【知识点】
新定义运算，二次根式加减，去括号法则
【点评】
本题是新定义类基础题，解题关键是准确理解新定义的规则，将陌生问题转化为已学的加减运算求解，计算时注意去括号的符号变化即可，整体逻辑简单。
【难度系数】
0.9
9.计算：$\sqrt{12} - \sqrt{\dfrac{3}{4}} =$
$\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$
.答案
9.$\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$
解析
【分析】
本题是二次根式的减法运算，解题思路分为两步：第一步先将算式中的两个二次根式分别化为最简二次根式（满足被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数或因式的要求）；第二步判断化简后的二次根式为同类二次根式，按照合并同类二次根式的规则，将系数相减、被开方数保留即可得到结果。
【解析】
首先分别化简两个二次根式：
1. 化简$\sqrt{12}$：$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=\sqrt{4}×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$
2. 化简$\sqrt{\dfrac{3}{4}}$：$\sqrt{\dfrac{3}{4}}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
再合并同类二次根式：
$\sqrt{12} - \sqrt{\dfrac{3}{4}}=2\sqrt{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{4\sqrt{3}}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$
【答案】
$\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
二次根式化简，二次根式加减运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查二次根式加减的运算规则，解题的关键是熟练掌握最简二次根式的化简方法，合并同类二次根式时注意系数的运算不要出错。
【难度系数】
0.8
本题是二次根式的减法运算，解题思路分为两步：第一步先将算式中的两个二次根式分别化为最简二次根式（满足被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数或因式的要求）；第二步判断化简后的二次根式为同类二次根式，按照合并同类二次根式的规则，将系数相减、被开方数保留即可得到结果。
【解析】
首先分别化简两个二次根式：
1. 化简$\sqrt{12}$：$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=\sqrt{4}×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$
2. 化简$\sqrt{\dfrac{3}{4}}$：$\sqrt{\dfrac{3}{4}}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
再合并同类二次根式：
$\sqrt{12} - \sqrt{\dfrac{3}{4}}=2\sqrt{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{4\sqrt{3}}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$
【答案】
$\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
二次根式化简，二次根式加减运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查二次根式加减的运算规则，解题的关键是熟练掌握最简二次根式的化简方法，合并同类二次根式时注意系数的运算不要出错。
【难度系数】
0.8
10.若$\sqrt{3a - 4}$是最简二次根式，则整数$a$的最小值为
2
。答案
10.2
解析
【分析】
解题需分两步思考：第一步先根据二次根式有意义的条件，确定a的取值范围，找到整数a的最小候选值；第二步再根据最简二次根式的定义，验证候选值是否符合要求，最终确定答案。
【解析】
1. 根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，可得不等式：
$3a - 4 ≥ 0$
解不等式得：$a ≥ \frac{4}{3} \approx 1.33$
因为a是整数，所以a的最小候选值为2。
2. 验证a=2是否符合最简二次根式要求：
将a=2代入被开方数，得$3×2 - 4 = 2$，2不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的定义。
因此整数a的最小值为2。
【答案】
2
【知识点】
1. 最简二次根式定义
2. 二次根式有意义的条件
3. 一元一次不等式求解
【点评】
本题是二次根式相关的基础题型，解题时需同时满足二次根式有意义和最简两个要求，易错点是遗漏验证最简性，或者直接取a=1忽略被开方数不能为负的要求。
【难度系数】
0.8
解题需分两步思考：第一步先根据二次根式有意义的条件，确定a的取值范围，找到整数a的最小候选值；第二步再根据最简二次根式的定义，验证候选值是否符合要求，最终确定答案。
【解析】
1. 根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，可得不等式：
$3a - 4 ≥ 0$
解不等式得：$a ≥ \frac{4}{3} \approx 1.33$
因为a是整数，所以a的最小候选值为2。
2. 验证a=2是否符合最简二次根式要求：
将a=2代入被开方数，得$3×2 - 4 = 2$，2不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的定义。
因此整数a的最小值为2。
【答案】
2
【知识点】
1. 最简二次根式定义
2. 二次根式有意义的条件
3. 一元一次不等式求解
【点评】
本题是二次根式相关的基础题型，解题时需同时满足二次根式有意义和最简两个要求，易错点是遗漏验证最简性，或者直接取a=1忽略被开方数不能为负的要求。
【难度系数】
0.8
11. 计算：
(1) $\sqrt{18} - \sqrt{2}$；(2) $2a(a^2 - b^2)$；(3) $(2x - 3y)(3y + 2x)$；(4) $\frac{m^2}{m - n} + \frac{n^2}{m - n} + \frac{2mn}{-m + n}$。
(1) $\sqrt{18} - \sqrt{2}$；(2) $2a(a^2 - b^2)$；(3) $(2x - 3y)(3y + 2x)$；(4) $\frac{m^2}{m - n} + \frac{n^2}{m - n} + \frac{2mn}{-m + n}$。
答案
11.解:(1)原式$=3\sqrt{2}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}$.
(2)原式$=2a^3-2ab^2$.
(3)原式$=4x^2-9y^2$.
(4)原式$=\dfrac{m^2}{m-n}+\dfrac{n^2}{m-n}-\dfrac{2mn}{m-n}=$$\dfrac{m^2+n^2-2mn}{m-n}=\dfrac{(m-n)^2}{m-n}=m-n$.
(2)原式$=2a^3-2ab^2$.
(3)原式$=4x^2-9y^2$.
(4)原式$=\dfrac{m^2}{m-n}+\dfrac{n^2}{m-n}-\dfrac{2mn}{m-n}=$$\dfrac{m^2+n^2-2mn}{m-n}=\dfrac{(m-n)^2}{m-n}=m-n$.
解析
【分析】
本题是基础代数运算题，分4小问分别考察不同运算规则，解题思路如下：
（1）二次根式加减运算：先将非最简二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）单项式乘多项式运算：遵循单项式乘多项式法则，用单项式依次乘多项式的每一项，再把所得的积相加，注意系数和符号的计算；
（3）多项式乘多项式运算：观察式子特征，符合平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$的结构，直接套用公式计算可简化步骤；
（4）同分母分式加减运算：先将第三个分式的分母变形为与前两个一致的形式，注意分子符号同步变化，再将分子合并后因式分解，最后约分化简得到结果。
【解析】
(1) 先化简$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，再合并同类二次根式：
原式$=3\sqrt{2}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}$
(2) 利用单项式乘多项式法则展开：
原式$=2a· a^2 - 2a· b^2=2a^3-2ab^2$
(3) 原式变形为$(2x-3y)(2x+3y)$，符合平方差公式，代入公式计算：
原式$=(2x)^2-(3y)^2=4x^2-9y^2$
(4) 先将第三个分式的分母化为$m-n$，即$\frac{2mn}{-m+n}=-\frac{2mn}{m-n}$，再合并分子，因式分解后约分：
原式$=\dfrac{m^2}{m-n}+\dfrac{n^2}{m-n}-\dfrac{2mn}{m-n}$
$=\dfrac{m^2+n^2-2mn}{m-n}$
$=\dfrac{(m-n)^2}{m-n}=m-n$
【答案】
(1) $2\sqrt{2}$；(2) $2a^3-2ab^2$；(3) $4x^2-9y^2$；(4) $m-n$
【知识点】
二次根式的加减运算；整式的乘法运算；分式的加减运算
【点评】
本题属于代数运算基础题型，全面覆盖了初中阶段三类常见代数运算的核心考点，侧重考察运算规则、乘法公式的熟练运用以及符号处理、约分等运算细节，对提升基础运算能力有很好的训练价值。
【难度系数】
0.8
本题是基础代数运算题，分4小问分别考察不同运算规则，解题思路如下：
（1）二次根式加减运算：先将非最简二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）单项式乘多项式运算：遵循单项式乘多项式法则，用单项式依次乘多项式的每一项，再把所得的积相加，注意系数和符号的计算；
（3）多项式乘多项式运算：观察式子特征，符合平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$的结构，直接套用公式计算可简化步骤；
（4）同分母分式加减运算：先将第三个分式的分母变形为与前两个一致的形式，注意分子符号同步变化，再将分子合并后因式分解，最后约分化简得到结果。
【解析】
(1) 先化简$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，再合并同类二次根式：
原式$=3\sqrt{2}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}$
(2) 利用单项式乘多项式法则展开：
原式$=2a· a^2 - 2a· b^2=2a^3-2ab^2$
(3) 原式变形为$(2x-3y)(2x+3y)$，符合平方差公式，代入公式计算：
原式$=(2x)^2-(3y)^2=4x^2-9y^2$
(4) 先将第三个分式的分母化为$m-n$，即$\frac{2mn}{-m+n}=-\frac{2mn}{m-n}$，再合并分子，因式分解后约分：
原式$=\dfrac{m^2}{m-n}+\dfrac{n^2}{m-n}-\dfrac{2mn}{m-n}$
$=\dfrac{m^2+n^2-2mn}{m-n}$
$=\dfrac{(m-n)^2}{m-n}=m-n$
【答案】
(1) $2\sqrt{2}$；(2) $2a^3-2ab^2$；(3) $4x^2-9y^2$；(4) $m-n$
【知识点】
二次根式的加减运算；整式的乘法运算；分式的加减运算
【点评】
本题属于代数运算基础题型，全面覆盖了初中阶段三类常见代数运算的核心考点，侧重考察运算规则、乘法公式的熟练运用以及符号处理、约分等运算细节，对提升基础运算能力有很好的训练价值。
【难度系数】
0.8
12. 已知 $ a\sqrt{2} + \sqrt{b} - \sqrt{18} = \sqrt{2} + 2\sqrt{3} $，且 $ a,b $ 均为正整数。
(1)分别求 $ a $ 和 $ b $ 的值；
(2)若 $ a,b $ 分别是一个直角三角形的直角边长和斜边长，求该直角三角形的面积。
(1)分别求 $ a $ 和 $ b $ 的值；
(2)若 $ a,b $ 分别是一个直角三角形的直角边长和斜边长，求该直角三角形的面积。
答案
12.解:(1)由题意得，
$\because a\sqrt{2}+\sqrt{b}-\sqrt{18}=\sqrt{2}+2\sqrt{3}$,
$\therefore a\sqrt{2}+\sqrt{b}-3\sqrt{2}=\sqrt{2}+2\sqrt{3}$,
$\therefore (a-3)\sqrt{2}+\sqrt{b}=\sqrt{2}+\sqrt{12}$.
又$\because a,b$均为正整数，
$\therefore a-3=1,b=12$,即$a=4,b=12$.
(2)由题意得,$b$是斜边长,则另一直角边长为$\sqrt{12^2-4^2}=8\sqrt{2}$,
$\therefore$该直角三角形的面积为
$\dfrac{1}{2}×4×8\sqrt{2}=16\sqrt{2}$.
$\because a\sqrt{2}+\sqrt{b}-\sqrt{18}=\sqrt{2}+2\sqrt{3}$,
$\therefore a\sqrt{2}+\sqrt{b}-3\sqrt{2}=\sqrt{2}+2\sqrt{3}$,
$\therefore (a-3)\sqrt{2}+\sqrt{b}=\sqrt{2}+\sqrt{12}$.
又$\because a,b$均为正整数，
$\therefore a-3=1,b=12$,即$a=4,b=12$.
(2)由题意得,$b$是斜边长,则另一直角边长为$\sqrt{12^2-4^2}=8\sqrt{2}$,
$\therefore$该直角三角形的面积为
$\dfrac{1}{2}×4×8\sqrt{2}=16\sqrt{2}$.
解析
【分析】
(1) 解题时先将等式中可化简的二次根式（如$\sqrt{18}$）化简，再将含$\sqrt{2}$的项合并，把等式右侧的$2\sqrt{3}$转化为$\sqrt{12}$的形式，由于a、b均为正整数，等式左右两边同类二次根式的系数、被开方数需分别对应相等，即可求出a、b的值。
(2) 已知直角三角形的一条直角边和斜边，先根据勾股定理求出另一条直角边的长度，再代入直角三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 由题意得：
∵ $a\sqrt{2}+\sqrt{b}-\sqrt{18}=\sqrt{2}+2\sqrt{3}$
∴ $a\sqrt{2}+\sqrt{b}-3\sqrt{2}=\sqrt{2}+2\sqrt{3}$
整理得：$(a-3)\sqrt{2}+\sqrt{b}=\sqrt{2}+\sqrt{12}$
又
∵a、b均为正整数，同类二次根式对应项相等
∴ $a-3=1$，$b=12$
解得：$a=4$，$b=12$
(2) 由题意得，b为直角三角形的斜边长，a为直角边长
根据勾股定理，另一条直角边长为：$\sqrt{12^2-4^2}=\sqrt{144-16}=\sqrt{128}=8\sqrt{2}$
∴ 该直角三角形的面积为：$\dfrac{1}{2}×4×8\sqrt{2}=16\sqrt{2}$
【答案】
(1) $a=4$，$b=12$；(2) $16\sqrt{2}$
【知识点】
同类二次根式、勾股定理、二次根式化简
【点评】
本题属于基础综合题，将二次根式运算和几何知识结合考查，解题的关键是正确化简二次根式，利用同类二次根式的对应关系求出a、b的值，应用勾股定理时注意区分直角边和斜边，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
(1) 解题时先将等式中可化简的二次根式（如$\sqrt{18}$）化简，再将含$\sqrt{2}$的项合并，把等式右侧的$2\sqrt{3}$转化为$\sqrt{12}$的形式，由于a、b均为正整数，等式左右两边同类二次根式的系数、被开方数需分别对应相等，即可求出a、b的值。
(2) 已知直角三角形的一条直角边和斜边，先根据勾股定理求出另一条直角边的长度，再代入直角三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 由题意得：
∵ $a\sqrt{2}+\sqrt{b}-\sqrt{18}=\sqrt{2}+2\sqrt{3}$
∴ $a\sqrt{2}+\sqrt{b}-3\sqrt{2}=\sqrt{2}+2\sqrt{3}$
整理得：$(a-3)\sqrt{2}+\sqrt{b}=\sqrt{2}+\sqrt{12}$
又
∵a、b均为正整数，同类二次根式对应项相等
∴ $a-3=1$，$b=12$
解得：$a=4$，$b=12$
(2) 由题意得，b为直角三角形的斜边长，a为直角边长
根据勾股定理，另一条直角边长为：$\sqrt{12^2-4^2}=\sqrt{144-16}=\sqrt{128}=8\sqrt{2}$
∴ 该直角三角形的面积为：$\dfrac{1}{2}×4×8\sqrt{2}=16\sqrt{2}$
【答案】
(1) $a=4$，$b=12$；(2) $16\sqrt{2}$
【知识点】
同类二次根式、勾股定理、二次根式化简
【点评】
本题属于基础综合题，将二次根式运算和几何知识结合考查，解题的关键是正确化简二次根式，利用同类二次根式的对应关系求出a、b的值，应用勾股定理时注意区分直角边和斜边，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
