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1. 下列计算中正确的是 （
A.$\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$
B.$5\sqrt{6} - 2\sqrt{6} = 3$
C.$2(\sqrt{3} + 1) = 2\sqrt{3} + 1$
D.$\sqrt{6} ÷ \sqrt{3} = \sqrt{2}$
D
）A.$\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$
B.$5\sqrt{6} - 2\sqrt{6} = 3$
C.$2(\sqrt{3} + 1) = 2\sqrt{3} + 1$
D.$\sqrt{6} ÷ \sqrt{3} = \sqrt{2}$
答案
1.D
解析
【分析】
本题考查二次根式的四则运算规则，解题时需结合对应运算法则逐一验证选项对错。首先明确运算规则：1.二次根式加减法中，只有被开方数相同的同类二次根式可以合并，合并时仅系数相加减，根式部分不变；2.单项式乘多项式时，需用单项式乘括号内的每一项；3.二次根式除法满足$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0,b＞0$），按照以上规则逐个判断即可。
【解析】
对各选项逐一分析：
A. $\sqrt{2}$和$\sqrt{3}$的被开方数不同，不属于同类二次根式，不能直接相加合并，因此$\sqrt{2}+\sqrt{3}≠\sqrt{5}$，该选项错误。
B. 同类二次根式合并时系数相减、根式部分保留，$5\sqrt{6}-2\sqrt{6}=(5-2)\sqrt{6}=3\sqrt{6}≠3$，该选项错误。
C. 根据乘法分配律，$2(\sqrt{3}+1)=2×\sqrt{3}+2×1=2\sqrt{3}+2≠2\sqrt{3}+1$，该选项错误。
D. 根据二次根式除法法则，$\sqrt{6}÷\sqrt{3}=\sqrt{6÷3}=\sqrt{2}$，计算正确，该选项正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式加减运算、二次根式除法运算、乘法分配律
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查二次根式的基本运算法则，易错点为合并同类二次根式时漏写根式部分、去括号时漏乘常数项，熟练掌握运算规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的四则运算规则，解题时需结合对应运算法则逐一验证选项对错。首先明确运算规则：1.二次根式加减法中，只有被开方数相同的同类二次根式可以合并，合并时仅系数相加减，根式部分不变；2.单项式乘多项式时，需用单项式乘括号内的每一项；3.二次根式除法满足$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0,b＞0$），按照以上规则逐个判断即可。
【解析】
对各选项逐一分析：
A. $\sqrt{2}$和$\sqrt{3}$的被开方数不同，不属于同类二次根式，不能直接相加合并，因此$\sqrt{2}+\sqrt{3}≠\sqrt{5}$，该选项错误。
B. 同类二次根式合并时系数相减、根式部分保留，$5\sqrt{6}-2\sqrt{6}=(5-2)\sqrt{6}=3\sqrt{6}≠3$，该选项错误。
C. 根据乘法分配律，$2(\sqrt{3}+1)=2×\sqrt{3}+2×1=2\sqrt{3}+2≠2\sqrt{3}+1$，该选项错误。
D. 根据二次根式除法法则，$\sqrt{6}÷\sqrt{3}=\sqrt{6÷3}=\sqrt{2}$，计算正确，该选项正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式加减运算、二次根式除法运算、乘法分配律
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查二次根式的基本运算法则，易错点为合并同类二次根式时漏写根式部分、去括号时漏乘常数项，熟练掌握运算规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2. 下列计算中正确的是 （
A.$(m-1)^2 = m^2 -1$
B.$(2m^3)^3 = 8m^9$
C.$\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$
D.$2\sqrt{5} - \sqrt{5} = 2$
B
）A.$(m-1)^2 = m^2 -1$
B.$(2m^3)^3 = 8m^9$
C.$\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$
D.$2\sqrt{5} - \sqrt{5} = 2$
答案
2.B
解析
【分析】
本题为整式运算与二次根式运算的正误判断题，解题时需逐一分析每个选项，结合对应的运算法则验证计算是否正确：首先回忆完全平方公式、幂的运算法则、二次根式加减的运算规则，再逐个代入选项排查即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，可得$(m-1)^2=m^2-2m+1≠ m^2-1$，故A选项错误；
B. 根据积的乘方运算法则：先把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；结合幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，可得$(2m^3)^3=2^3× (m^3)^3=8m^{3×3}=8m^9$，故B选项正确；
C. $\sqrt{2}$和$\sqrt{3}$不是同类二次根式，不能直接合并相加，$\sqrt{2}+\sqrt{3}≠\sqrt{5}$，故C选项错误；
D. 合并同类二次根式时，系数相加减，根式部分不变，可得$2\sqrt{5}-\sqrt{5}=(2-1)\sqrt{5}=\sqrt{5}≠2$，故D选项错误。
综上，正确答案为B。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式，幂的乘方与积的乘方，二次根式的加减
【点评】
本题是基础运算类题目，主要考查对整式、二次根式基本运算法则的掌握情况，解题的关键是熟练记忆各类运算的公式和规则，做题时要注意避免完全平方公式漏项、二次根式合并时忽略根式部分等常见错误。
【难度系数】
0.7
本题为整式运算与二次根式运算的正误判断题，解题时需逐一分析每个选项，结合对应的运算法则验证计算是否正确：首先回忆完全平方公式、幂的运算法则、二次根式加减的运算规则，再逐个代入选项排查即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，可得$(m-1)^2=m^2-2m+1≠ m^2-1$，故A选项错误；
B. 根据积的乘方运算法则：先把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；结合幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，可得$(2m^3)^3=2^3× (m^3)^3=8m^{3×3}=8m^9$，故B选项正确；
C. $\sqrt{2}$和$\sqrt{3}$不是同类二次根式，不能直接合并相加，$\sqrt{2}+\sqrt{3}≠\sqrt{5}$，故C选项错误；
D. 合并同类二次根式时，系数相加减，根式部分不变，可得$2\sqrt{5}-\sqrt{5}=(2-1)\sqrt{5}=\sqrt{5}≠2$，故D选项错误。
综上，正确答案为B。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式，幂的乘方与积的乘方，二次根式的加减
【点评】
本题是基础运算类题目，主要考查对整式、二次根式基本运算法则的掌握情况，解题的关键是熟练记忆各类运算的公式和规则，做题时要注意避免完全平方公式漏项、二次根式合并时忽略根式部分等常见错误。
【难度系数】
0.7
3. 下列等式中一定成立的是 （
A.$\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{a+b}$
B.$\sqrt{a} - \sqrt{b} = \sqrt{a - b}$
C.$\sqrt{a^2 - b^2} = a - b\ (a ＞ b)$
D.$\frac{1}{\sqrt{a}} · \frac{1}{\sqrt{b}} = \frac{1}{\sqrt{ab}}$
D
）A.$\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{a+b}$
B.$\sqrt{a} - \sqrt{b} = \sqrt{a - b}$
C.$\sqrt{a^2 - b^2} = a - b\ (a ＞ b)$
D.$\frac{1}{\sqrt{a}} · \frac{1}{\sqrt{b}} = \frac{1}{\sqrt{ab}}$
答案
3.D
解析
【分析】
这是一道判断二次根式相关等式是否恒成立的题目，解题时可以采用“反例排除法”结合二次根式的运算法则来逐一验证选项：首先对错误选项举符合条件的特殊值，计算左右两边验证是否相等，排除错误选项；再对剩下的选项用二次根式的运算规则推导，确认是否一定成立。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：取特殊值$a=1$，$b=4$，左边$\sqrt{1}+\sqrt{4}=1+2=3$，右边$\sqrt{1+4}=\sqrt{5}\approx2.24$，左右两边不相等，故A不成立。
2. 选项B：取特殊值$a=9$，$b=4$，左边$\sqrt{9}-\sqrt{4}=3-2=1$，右边$\sqrt{9-4}=\sqrt{5}\approx2.24$，左右两边不相等，故B不成立。
3. 选项C：取特殊值$a=3$，$b=1$（满足$a＞b$），左边$\sqrt{3^2-1^2}=\sqrt{9-1}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\approx2.83$，右边$3-1=2$，左右两边不相等，故C不成立。
4. 选项D：要使等式中的二次根式有意义，需满足$a＞0$，$b＞0$，根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$，可得$\frac{1}{\sqrt{a}}·\frac{1}{\sqrt{b}}=\frac{1}{\sqrt{a}·\sqrt{b}}=\frac{1}{\sqrt{ab}}$，等式一定成立。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的乘除运算；二次根式的性质；二次根式的加减运算
【点评】
本题考查二次根式的运算规则，采用举反例的排除法可以快速锁定正确答案，解题时需注意二次根式的加减运算不能直接合并根号内的被开方数，要严格遵循运算法则计算。
【难度系数】
0.8
这是一道判断二次根式相关等式是否恒成立的题目，解题时可以采用“反例排除法”结合二次根式的运算法则来逐一验证选项：首先对错误选项举符合条件的特殊值，计算左右两边验证是否相等，排除错误选项；再对剩下的选项用二次根式的运算规则推导，确认是否一定成立。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：取特殊值$a=1$，$b=4$，左边$\sqrt{1}+\sqrt{4}=1+2=3$，右边$\sqrt{1+4}=\sqrt{5}\approx2.24$，左右两边不相等，故A不成立。
2. 选项B：取特殊值$a=9$，$b=4$，左边$\sqrt{9}-\sqrt{4}=3-2=1$，右边$\sqrt{9-4}=\sqrt{5}\approx2.24$，左右两边不相等，故B不成立。
3. 选项C：取特殊值$a=3$，$b=1$（满足$a＞b$），左边$\sqrt{3^2-1^2}=\sqrt{9-1}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\approx2.83$，右边$3-1=2$，左右两边不相等，故C不成立。
4. 选项D：要使等式中的二次根式有意义，需满足$a＞0$，$b＞0$，根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$，可得$\frac{1}{\sqrt{a}}·\frac{1}{\sqrt{b}}=\frac{1}{\sqrt{a}·\sqrt{b}}=\frac{1}{\sqrt{ab}}$，等式一定成立。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的乘除运算；二次根式的性质；二次根式的加减运算
【点评】
本题考查二次根式的运算规则，采用举反例的排除法可以快速锁定正确答案，解题时需注意二次根式的加减运算不能直接合并根号内的被开方数，要严格遵循运算法则计算。
【难度系数】
0.8
4. 下列二次根式中是最简二次根式的是（
A.$\sqrt{a^3}$
B.$\sqrt{a^2 + 2a + 1}$
C.$\sqrt{\frac{a}{2}}$
D.$\sqrt{a^2 - 1}$
D
）A.$\sqrt{a^3}$
B.$\sqrt{a^2 + 2a + 1}$
C.$\sqrt{\frac{a}{2}}$
D.$\sqrt{a^2 - 1}$
答案
4.D
解析
【分析】
要判断最简二次根式，首先明确最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。我们只需根据这两个条件逐一排查每个选项，排除不符合要求的选项，剩下的就是正确答案。
【解析】
首先回忆最简二次根式的判定规则：被开方数不含分母，且不含开得尽方的因式/因数。
选项A：$\sqrt{a^3}=\sqrt{a^2· a}$，其中$a^2$是可以开方的因式，化简得$a\sqrt{a}$，不是最简二次根式；
选项B：$\sqrt{a^2+2a+1}=\sqrt{(a+1)^2}$，被开方数是完全平方式，开方得$|a+1|$，不是最简二次根式；
选项C：$\sqrt{\frac{a}{2}}$的被开方数含有分母，化简得$\frac{\sqrt{2a}}{2}$，不是最简二次根式；
选项D：$\sqrt{a^2-1}=\sqrt{(a+1)(a-1)}$，被开方数不含分母，也没有能开得尽方的因式，符合最简二次根式的要求。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
最简二次根式判定、二次根式化简、因式分解
【点评】
本题是二次根式部分的基础常考题，核心是对最简二次根式判定规则的应用，只要牢记两个判定条件，逐一验证选项即可快速得出答案，做题时注意要先对能因式分解的被开方数先分解再判断。
【难度系数】
0.8
要判断最简二次根式，首先明确最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。我们只需根据这两个条件逐一排查每个选项，排除不符合要求的选项，剩下的就是正确答案。
【解析】
首先回忆最简二次根式的判定规则：被开方数不含分母，且不含开得尽方的因式/因数。
选项A：$\sqrt{a^3}=\sqrt{a^2· a}$，其中$a^2$是可以开方的因式，化简得$a\sqrt{a}$，不是最简二次根式；
选项B：$\sqrt{a^2+2a+1}=\sqrt{(a+1)^2}$，被开方数是完全平方式，开方得$|a+1|$，不是最简二次根式；
选项C：$\sqrt{\frac{a}{2}}$的被开方数含有分母，化简得$\frac{\sqrt{2a}}{2}$，不是最简二次根式；
选项D：$\sqrt{a^2-1}=\sqrt{(a+1)(a-1)}$，被开方数不含分母，也没有能开得尽方的因式，符合最简二次根式的要求。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
最简二次根式判定、二次根式化简、因式分解
【点评】
本题是二次根式部分的基础常考题，核心是对最简二次根式判定规则的应用，只要牢记两个判定条件，逐一验证选项即可快速得出答案，做题时注意要先对能因式分解的被开方数先分解再判断。
【难度系数】
0.8
5. 下列计算中正确的是 （
A.$3\sqrt{2}-\sqrt{2}=3$
B.$\sqrt{5}+\sqrt{2}=\sqrt{7}$
C.$(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)=2$
D.$\sqrt{(-5)^2}=\pm5$
C
）A.$3\sqrt{2}-\sqrt{2}=3$
B.$\sqrt{5}+\sqrt{2}=\sqrt{7}$
C.$(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)=2$
D.$\sqrt{(-5)^2}=\pm5$
答案
5.C
解析
【分析】
本题考查二次根式的相关运算与性质，解题思路是逐个分析每个选项，结合对应的运算法则或性质计算验证，判断正误即可。首先回忆二次根式加减法则、乘法公式、算术平方根的性质这些核心知识点，依次对四个选项进行排查。
【解析】
我们逐个判断选项：
A选项：二次根式加减时，同类二次根式（被开方数相同的最简二次根式）合并时仅系数相加减，根号部分不变。$3\sqrt{2}-\sqrt{2}=(3-1)\sqrt{2}=2\sqrt{2}≠3$，故A错误。
B选项：$\sqrt{5}$和$\sqrt{2}$的被开方数不同，不是同类二次根式，不能直接合并相加，$\sqrt{5}+\sqrt{2}$无法化简为$\sqrt{7}$，故B错误。
C选项：符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，代入计算得$(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)=(\sqrt{3})^2-1^2=3-1=2$，故C正确。
D选项：$\sqrt{a^2}$表示$a^2$的算术平方根，结果为非负数，即$\sqrt{a^2}=|a|$，因此$\sqrt{(-5)^2}=|-5|=5≠\pm5$，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的运算；平方差公式；二次根式的性质
【点评】
本题属于基础运算类题型，易错点在于混淆同类二次根式的合并规则、忽略算术平方根的非负性，熟练掌握二次根式的各类运算法则和性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的相关运算与性质，解题思路是逐个分析每个选项，结合对应的运算法则或性质计算验证，判断正误即可。首先回忆二次根式加减法则、乘法公式、算术平方根的性质这些核心知识点，依次对四个选项进行排查。
【解析】
我们逐个判断选项：
A选项：二次根式加减时，同类二次根式（被开方数相同的最简二次根式）合并时仅系数相加减，根号部分不变。$3\sqrt{2}-\sqrt{2}=(3-1)\sqrt{2}=2\sqrt{2}≠3$，故A错误。
B选项：$\sqrt{5}$和$\sqrt{2}$的被开方数不同，不是同类二次根式，不能直接合并相加，$\sqrt{5}+\sqrt{2}$无法化简为$\sqrt{7}$，故B错误。
C选项：符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，代入计算得$(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)=(\sqrt{3})^2-1^2=3-1=2$，故C正确。
D选项：$\sqrt{a^2}$表示$a^2$的算术平方根，结果为非负数，即$\sqrt{a^2}=|a|$，因此$\sqrt{(-5)^2}=|-5|=5≠\pm5$，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的运算；平方差公式；二次根式的性质
【点评】
本题属于基础运算类题型，易错点在于混淆同类二次根式的合并规则、忽略算术平方根的非负性，熟练掌握二次根式的各类运算法则和性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
6. 已知一个长方形的面积是$\sqrt{24}$，宽是$\sqrt{2}$，则它的长是（
A.$2\sqrt{3}$
B.$4\sqrt{2}$
C.$3\sqrt{2}$
D.$4\sqrt{3}$
A
）A.$2\sqrt{3}$
B.$4\sqrt{2}$
C.$3\sqrt{2}$
D.$4\sqrt{3}$
答案
6.A
解析
【分析】
解题时首先回忆长方形的面积公式，由“面积=长×宽”可推导出“长=面积÷宽”，接下来将题目给出的面积和宽代入公式，再按照二次根式的除法运算法则计算并化简结果，最后匹配选项即可得到答案。
【解析】
解：根据长方形的面积公式$S=长×宽$，可得：
$长=面积÷宽$
代入题中已知的面积$\sqrt{24}$、宽$\sqrt{2}$得：
$长=\sqrt{24}÷\sqrt{2}$
根据二次根式的除法法则$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\ (a≥0,b＞0)$计算：
$长=\sqrt{\frac{24}{2}}=\sqrt{12}$
将$\sqrt{12}$化简为最简二次根式：
$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
长方形面积计算、二次根式除法运算、二次根式化简
【点评】
本题是基础题，结合几何图形的面积公式考察二次根式的运算，难度较低，掌握二次根式的运算法则就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆长方形的面积公式，由“面积=长×宽”可推导出“长=面积÷宽”，接下来将题目给出的面积和宽代入公式，再按照二次根式的除法运算法则计算并化简结果，最后匹配选项即可得到答案。
【解析】
解：根据长方形的面积公式$S=长×宽$，可得：
$长=面积÷宽$
代入题中已知的面积$\sqrt{24}$、宽$\sqrt{2}$得：
$长=\sqrt{24}÷\sqrt{2}$
根据二次根式的除法法则$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\ (a≥0,b＞0)$计算：
$长=\sqrt{\frac{24}{2}}=\sqrt{12}$
将$\sqrt{12}$化简为最简二次根式：
$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
长方形面积计算、二次根式除法运算、二次根式化简
【点评】
本题是基础题，结合几何图形的面积公式考察二次根式的运算，难度较低，掌握二次根式的运算法则就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
