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13.如图,在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为16 cm²和12 cm²的两张正方形纸片,求图中空白部分的面积.
答案
13.解:$\because$两张正方形纸片的面积分别为$16\ \mathrm{cm}^2$和$12\ \mathrm{cm}^2$,
$\therefore$它们的边长分别为$\sqrt{16}=4(\mathrm{cm})$,$\sqrt{12}=2\sqrt{3}(\mathrm{cm})$,
$\therefore AB=4\ \mathrm{cm},BC=(2\sqrt{3}+4)\ \mathrm{cm}$,
$\therefore$空白部分的面积$=(2\sqrt{3}+4)×4-12-16=8\sqrt{3}+16-12-16=(-12+8\sqrt{3})\ \mathrm{cm}^2$.
故图中空白部分的面积为$(-12+8\sqrt{3})\ \mathrm{cm}^2$.
$\therefore$它们的边长分别为$\sqrt{16}=4(\mathrm{cm})$,$\sqrt{12}=2\sqrt{3}(\mathrm{cm})$,
$\therefore AB=4\ \mathrm{cm},BC=(2\sqrt{3}+4)\ \mathrm{cm}$,
$\therefore$空白部分的面积$=(2\sqrt{3}+4)×4-12-16=8\sqrt{3}+16-12-16=(-12+8\sqrt{3})\ \mathrm{cm}^2$.
故图中空白部分的面积为$(-12+8\sqrt{3})\ \mathrm{cm}^2$.
解析
【分析】
要求空白部分的面积，可采用“整体减部分”的思路：先求大长方形ABCD的总面积，再减去两个阴影正方形的面积即可。解题步骤可分为三步：第一步，根据正方形面积与边长的关系，由两个正方形的面积分别求出它们的边长；第二步，结合图形判断长方形的宽等于面积为16cm²的正方形的边长，长方形的长等于两个正方形的边长之和，进而求出长方形的面积；第三步，用长方形面积减去两个正方形的面积，化简计算得到空白部分面积。
【解析】
解：
∵两张正方形纸片的面积分别为$16\ \mathrm{cm}^2$和$12\ \mathrm{cm}^2$，
∴它们的边长分别为$\sqrt{16}=4(\mathrm{cm})$，$\sqrt{12}=2\sqrt{3}(\mathrm{cm})$，
由图可知：$AB=4\ \mathrm{cm}$，$BC=(2\sqrt{3}+4)\ \mathrm{cm}$，
∴空白部分的面积$=$长方形$ABCD$的面积$-$两个正方形的面积
$=4×(2\sqrt{3}+4)-12-16$
$=8\sqrt{3}+16-12-16$
$=8\sqrt{3}-12\ (\mathrm{cm}^2)$
【答案】
$(8\sqrt{3}-12)\ \mathrm{cm}^2$（或$(-12+8\sqrt{3})\ \mathrm{cm}^2$）
【知识点】
正方形面积计算、二次根式运算、矩形面积计算
【点评】
本题是基础的几何面积计算题型，解题关键是通过正方形面积推导得到边长，进一步确定大长方形的长宽，再用面积作差的思路求解，计算过程中要注意二次根式化简的准确性。
【难度系数】
0.7
要求空白部分的面积，可采用“整体减部分”的思路：先求大长方形ABCD的总面积，再减去两个阴影正方形的面积即可。解题步骤可分为三步：第一步，根据正方形面积与边长的关系，由两个正方形的面积分别求出它们的边长；第二步，结合图形判断长方形的宽等于面积为16cm²的正方形的边长，长方形的长等于两个正方形的边长之和，进而求出长方形的面积；第三步，用长方形面积减去两个正方形的面积，化简计算得到空白部分面积。
【解析】
解：
∵两张正方形纸片的面积分别为$16\ \mathrm{cm}^2$和$12\ \mathrm{cm}^2$，
∴它们的边长分别为$\sqrt{16}=4(\mathrm{cm})$，$\sqrt{12}=2\sqrt{3}(\mathrm{cm})$，
由图可知：$AB=4\ \mathrm{cm}$，$BC=(2\sqrt{3}+4)\ \mathrm{cm}$，
∴空白部分的面积$=$长方形$ABCD$的面积$-$两个正方形的面积
$=4×(2\sqrt{3}+4)-12-16$
$=8\sqrt{3}+16-12-16$
$=8\sqrt{3}-12\ (\mathrm{cm}^2)$
【答案】
$(8\sqrt{3}-12)\ \mathrm{cm}^2$（或$(-12+8\sqrt{3})\ \mathrm{cm}^2$）
【知识点】
正方形面积计算、二次根式运算、矩形面积计算
【点评】
本题是基础的几何面积计算题型，解题关键是通过正方形面积推导得到边长，进一步确定大长方形的长宽，再用面积作差的思路求解，计算过程中要注意二次根式化简的准确性。
【难度系数】
0.7
14. 阅读与思考：
$\because \sqrt{1}＜\sqrt{3}＜\sqrt{4}$，即$1＜\sqrt{3}＜2$，
$\therefore \sqrt{3}$的整数部分为1.
设$\sqrt{3}$的小数部分为$x$，则$1+x=\sqrt{3}$，
$\therefore x=\sqrt{3}-1$，即$\sqrt{3}$的小数部分为$\sqrt{3}-1$.
解答下列问题：
(1)$\sqrt{26}$的整数部分是
(2)若$\sqrt{6}$的小数部分为$m$，$\sqrt{40}$的整数部分为$n$，求$m-\sqrt{n}+2$的值.
$\because \sqrt{1}＜\sqrt{3}＜\sqrt{4}$，即$1＜\sqrt{3}＜2$，
$\therefore \sqrt{3}$的整数部分为1.
设$\sqrt{3}$的小数部分为$x$，则$1+x=\sqrt{3}$，
$\therefore x=\sqrt{3}-1$，即$\sqrt{3}$的小数部分为$\sqrt{3}-1$.
解答下列问题：
(1)$\sqrt{26}$的整数部分是
5
，小数部分是$\sqrt{26}-5$
；(2)若$\sqrt{6}$的小数部分为$m$，$\sqrt{40}$的整数部分为$n$，求$m-\sqrt{n}+2$的值.
答案
14.解:(1)$5\quad \sqrt{26}-5$
(2)$\because 2＜\sqrt{6}＜3,6＜\sqrt{40}＜7$,
$\therefore m=\sqrt{6}-2,n=6$,
原式$=\sqrt{6}-2-\sqrt{6}+2=0$.
(2)$\because 2＜\sqrt{6}＜3,6＜\sqrt{40}＜7$,
$\therefore m=\sqrt{6}-2,n=6$,
原式$=\sqrt{6}-2-\sqrt{6}+2=0$.
解析
【分析】
解决这类问题的核心是先估算出无理数介于哪两个连续正整数之间：整数部分就是较小的那个正整数，小数部分等于无理数减去它的整数部分。对于(1)，先找到和26相邻的两个完全平方数，确定√26的取值范围，即可求出它的整数部分和小数部分；对于(2)，先分别估算出√6和√40的取值范围，求出m、n的值，再代入代数式计算即可得到结果。
【解析】
(1)
∵ √25＜√26＜√36，即5＜√26＜6，
∴ √26的整数部分是5，
小数部分为√26减去整数部分，即√26 - 5。
(2) 先求m的值：
∵ √4＜√6＜√9，即2＜√6＜3，
∴ √6的小数部分m = √6 - 2；
再求n的值：
∵ √36＜√40＜√49，即6＜√40＜7，
∴ √40的整数部分n = 6；
将m=√6-2，n=6代入m - √n + 2得：
原式 = √6 - 2 - √6 + 2 = 0。
【答案】
(1) 5，√26 - 5；(2) 0
【知识点】
1. 无理数的估算 2. 代数式求值
【点评】
本题考查无理数整数部分、小数部分的求解及代数式求值，解题的关键是熟练掌握用相邻完全平方数估算无理数范围的方法，整体难度不高，掌握方法后可快速解答。
【难度系数】
0.8
解决这类问题的核心是先估算出无理数介于哪两个连续正整数之间：整数部分就是较小的那个正整数，小数部分等于无理数减去它的整数部分。对于(1)，先找到和26相邻的两个完全平方数，确定√26的取值范围，即可求出它的整数部分和小数部分；对于(2)，先分别估算出√6和√40的取值范围，求出m、n的值，再代入代数式计算即可得到结果。
【解析】
(1)
∵ √25＜√26＜√36，即5＜√26＜6，
∴ √26的整数部分是5，
小数部分为√26减去整数部分，即√26 - 5。
(2) 先求m的值：
∵ √4＜√6＜√9，即2＜√6＜3，
∴ √6的小数部分m = √6 - 2；
再求n的值：
∵ √36＜√40＜√49，即6＜√40＜7，
∴ √40的整数部分n = 6；
将m=√6-2，n=6代入m - √n + 2得：
原式 = √6 - 2 - √6 + 2 = 0。
【答案】
(1) 5，√26 - 5；(2) 0
【知识点】
1. 无理数的估算 2. 代数式求值
【点评】
本题考查无理数整数部分、小数部分的求解及代数式求值，解题的关键是熟练掌握用相邻完全平方数估算无理数范围的方法，整体难度不高，掌握方法后可快速解答。
【难度系数】
0.8
