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15.已知$a+b=-2$，$ab=1$，则$\sqrt{\dfrac{a}{b}}+\sqrt{\dfrac{b}{a}}$的值是（
A.$-2$
B.$2$
C.$-1$
D.$1$
B
）A.$-2$
B.$2$
C.$-1$
D.$1$
答案
15.B
解析
【分析】
首先明确二次根式有意义的前提是被开方数非负，因此第一步先判断a、b的符号：由ab=1＞0可知a、b同号，再结合a+b=-2＜0，可确定a、b均为负数，这是解题的关键，能避免后续化简时符号出错。接下来将所求的二次根式变形，利用二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$去根号，再结合a、b的正负性去掉绝对值，最后将式子转化为用$a+b$和$ab$表示的形式，代入已知数值即可算出结果。
【解析】
第一步：判断a、b的符号
$\because ab=1＞0$，$\therefore a$、$b$同号，
又$\because a+b=-2＜0$，$\therefore a＜0$，$b＜0$。
第二步：化简$\sqrt{\dfrac{a}{b}}+\sqrt{\dfrac{b}{a}}$
将根号内的分式分子分母同乘分母，得：
$\sqrt{\dfrac{a}{b}}+\sqrt{\dfrac{b}{a}}=\sqrt{\dfrac{ab}{b^2}}+\sqrt{\dfrac{ab}{a^2}}$
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，进一步变形为：
$=\dfrac{\sqrt{ab}}{|b|}+\dfrac{\sqrt{ab}}{|a|}$
$\because a＜0,b＜0$，$\therefore |a|=-a$，$|b|=-b$，代入得：
$=\dfrac{\sqrt{ab}}{-b}+\dfrac{\sqrt{ab}}{-a}=-\sqrt{ab}·(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b})$
通分合并括号内的式子：$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{a+b}{ab}$，因此原式为：
$=-\sqrt{ab}·\dfrac{a+b}{ab}$
第三步：代入数值计算
将$a+b=-2$，$ab=1$代入上式：
$=-\sqrt{1}×\dfrac{-2}{1}=-1×(-2)=2$
【答案】
B
【知识点】
二次根式的化简；代数式求值；绝对值的性质
【点评】
本题的易错点是忽略二次根式被开方数非负的要求，未先判断a、b的符号就直接化简，得到错误的负值。解题时要先根据已知条件确定字母的正负性，再结合二次根式的性质正确化简计算。
【难度系数】
0.6
首先明确二次根式有意义的前提是被开方数非负，因此第一步先判断a、b的符号：由ab=1＞0可知a、b同号，再结合a+b=-2＜0，可确定a、b均为负数，这是解题的关键，能避免后续化简时符号出错。接下来将所求的二次根式变形，利用二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$去根号，再结合a、b的正负性去掉绝对值，最后将式子转化为用$a+b$和$ab$表示的形式，代入已知数值即可算出结果。
【解析】
第一步：判断a、b的符号
$\because ab=1＞0$，$\therefore a$、$b$同号，
又$\because a+b=-2＜0$，$\therefore a＜0$，$b＜0$。
第二步：化简$\sqrt{\dfrac{a}{b}}+\sqrt{\dfrac{b}{a}}$
将根号内的分式分子分母同乘分母，得：
$\sqrt{\dfrac{a}{b}}+\sqrt{\dfrac{b}{a}}=\sqrt{\dfrac{ab}{b^2}}+\sqrt{\dfrac{ab}{a^2}}$
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，进一步变形为：
$=\dfrac{\sqrt{ab}}{|b|}+\dfrac{\sqrt{ab}}{|a|}$
$\because a＜0,b＜0$，$\therefore |a|=-a$，$|b|=-b$，代入得：
$=\dfrac{\sqrt{ab}}{-b}+\dfrac{\sqrt{ab}}{-a}=-\sqrt{ab}·(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b})$
通分合并括号内的式子：$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{a+b}{ab}$，因此原式为：
$=-\sqrt{ab}·\dfrac{a+b}{ab}$
第三步：代入数值计算
将$a+b=-2$，$ab=1$代入上式：
$=-\sqrt{1}×\dfrac{-2}{1}=-1×(-2)=2$
【答案】
B
【知识点】
二次根式的化简；代数式求值；绝对值的性质
【点评】
本题的易错点是忽略二次根式被开方数非负的要求，未先判断a、b的符号就直接化简，得到错误的负值。解题时要先根据已知条件确定字母的正负性，再结合二次根式的性质正确化简计算。
【难度系数】
0.6
16.已知$x=\sqrt{7}+\sqrt{5},y=\sqrt{7}-\sqrt{5}$,则代数式$x^2 - 2xy + y^2$的值为（
A.28
B.20
C.$4\sqrt{7}$
D.$4\sqrt{55}$
B
）A.28
B.20
C.$4\sqrt{7}$
D.$4\sqrt{55}$
答案
16.B
解析
【分析】
首先观察所求代数式$x^2 - 2xy + y^2$的结构，它符合完全平方差公式的展开形式，因此可以先利用完全平方公式将其因式分解为$(x-y)^2$，相比直接分别计算$x^2$、$2xy$、$y^2$再相加减，这种变形能大幅简化运算，减少二次根式的运算量，降低出错概率。接下来先计算$x-y$的值，再对结果进行平方运算即可得到答案。
【解析】
第一步：对代数式因式分解，根据完全平方差公式可得：
$x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2$
第二步：代入$x=\sqrt{7}+\sqrt{5}$，$y=\sqrt{7}-\sqrt{5}$计算$x-y$的值：
$x-y = (\sqrt{7}+\sqrt{5}) - (\sqrt{7}-\sqrt{5}) = \sqrt{7}+\sqrt{5}-\sqrt{7}+\sqrt{5} = 2\sqrt{5}$
第三步：计算$(x-y)^2$的值：
$(x-y)^2 = (2\sqrt{5})^2 = 2^2 × (\sqrt{5})^2 = 4 × 5 = 20$
因此代数式的值为20，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式、二次根式的运算
【点评】
本题是整式乘法公式与二次根式运算的结合题型，解题的关键是先对所求代数式进行变形化简，再代入数值计算，这种处理方式能避免直接代入计算的繁琐，是二次根式求值类题目的常用技巧，需要熟练掌握常见乘法公式的结构特征。
【难度系数】
0.75
首先观察所求代数式$x^2 - 2xy + y^2$的结构，它符合完全平方差公式的展开形式，因此可以先利用完全平方公式将其因式分解为$(x-y)^2$，相比直接分别计算$x^2$、$2xy$、$y^2$再相加减，这种变形能大幅简化运算，减少二次根式的运算量，降低出错概率。接下来先计算$x-y$的值，再对结果进行平方运算即可得到答案。
【解析】
第一步：对代数式因式分解，根据完全平方差公式可得：
$x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2$
第二步：代入$x=\sqrt{7}+\sqrt{5}$，$y=\sqrt{7}-\sqrt{5}$计算$x-y$的值：
$x-y = (\sqrt{7}+\sqrt{5}) - (\sqrt{7}-\sqrt{5}) = \sqrt{7}+\sqrt{5}-\sqrt{7}+\sqrt{5} = 2\sqrt{5}$
第三步：计算$(x-y)^2$的值：
$(x-y)^2 = (2\sqrt{5})^2 = 2^2 × (\sqrt{5})^2 = 4 × 5 = 20$
因此代数式的值为20，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式、二次根式的运算
【点评】
本题是整式乘法公式与二次根式运算的结合题型，解题的关键是先对所求代数式进行变形化简，再代入数值计算，这种处理方式能避免直接代入计算的繁琐，是二次根式求值类题目的常用技巧，需要熟练掌握常见乘法公式的结构特征。
【难度系数】
0.75
17. 现定义一种新运算◎:对于任意正有理数$x,y$,都有$x◎y=\sqrt{3x}-2\sqrt{y}$.例如:$9◎3=\sqrt{3×9}-2\sqrt{3}=3\sqrt{3}-2\sqrt{3}=\sqrt{3}$.则$6◎8=$
$-\sqrt{2}$
.答案
17.$-\sqrt{2}$
解析
【分析】
这是一道新定义运算类题目，解题思路如下：第一步先明确新运算◎的运算规则：x◎y等于√(3x)减去2√y；第二步找到待求式中对应x和y的值，本题中x=6，y=8，把数值代入运算公式；第三步按照二次根式的化简规则化简每一项，最后合并同类二次根式即可得到结果。
【解析】
根据新运算的定义，将x=6，y=8代入$x◎y=\sqrt{3x}-2\sqrt{y}$得：
$6◎8=\sqrt{3×6}-2\sqrt{8}$
先化简各项二次根式：
$\sqrt{3×6}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，$2\sqrt{8}=2×2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$
再计算加减：
$3\sqrt{2}-4\sqrt{2}=-\sqrt{2}$
【答案】
$-\sqrt{2}$
【知识点】
新定义运算，二次根式化简，二次根式的加减
【点评】
本题核心是准确理解新运算的规则，正确代入数值，重点考查二次根式的化简和加减运算能力，属于基础类题型，只要掌握二次根式的化简方法即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
这是一道新定义运算类题目，解题思路如下：第一步先明确新运算◎的运算规则：x◎y等于√(3x)减去2√y；第二步找到待求式中对应x和y的值，本题中x=6，y=8，把数值代入运算公式；第三步按照二次根式的化简规则化简每一项，最后合并同类二次根式即可得到结果。
【解析】
根据新运算的定义，将x=6，y=8代入$x◎y=\sqrt{3x}-2\sqrt{y}$得：
$6◎8=\sqrt{3×6}-2\sqrt{8}$
先化简各项二次根式：
$\sqrt{3×6}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，$2\sqrt{8}=2×2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$
再计算加减：
$3\sqrt{2}-4\sqrt{2}=-\sqrt{2}$
【答案】
$-\sqrt{2}$
【知识点】
新定义运算，二次根式化简，二次根式的加减
【点评】
本题核心是准确理解新运算的规则，正确代入数值，重点考查二次根式的化简和加减运算能力，属于基础类题型，只要掌握二次根式的化简方法即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
18.设$a=\sqrt{7}+\sqrt{6}$，$b=\sqrt{7}-\sqrt{6}$，则$a^{2025}b^{2026}$的值是
$\sqrt{7}-\sqrt{6}$
。答案
18.$\sqrt{7}-\sqrt{6}$
解析
【分析】
观察所求式子为两个高次幂的乘积，且底数a、b是互为共轭的二次根式，二者乘积可通过平方差公式快速算出。因此我们可以逆用积的乘方的运算性质，将高次幂合并简化计算：首先计算a与b的乘积，再将b的2026次幂拆分为b的2025次幂乘b，把a的2025次幂和b的2025次幂合并为$(ab)$的2025次幂，最后代入数值计算即可。
【解析】
解：首先计算$ab$的值，利用平方差公式：
$ab=(\sqrt{7}+\sqrt{6})(\sqrt{7}-\sqrt{6})=(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{6})^2=7-6=1$
再对所求式子变形，逆用积的乘方公式$a^n b^n=(ab)^n$：
$a^{2025}b^{2026}=a^{2025} × b^{2025} × b=(ab)^{2025} × b$
将$ab=1$，$b=\sqrt{7}-\sqrt{6}$代入上式：
原式$=1^{2025} × (\sqrt{7}-\sqrt{6})=1 × (\sqrt{7}-\sqrt{6})=\sqrt{7}-\sqrt{6}$
【答案】
$\sqrt{7}-\sqrt{6}$
【知识点】
积的乘方逆运算，平方差公式，二次根式乘法
【点评】
本题考查幂的运算性质与整式乘法公式在二次根式运算中的综合应用，解题的核心是通过合理拆分高次幂，将复杂的高次运算转化为简便的乘积运算，避开了直接计算高次幂的繁琐过程，是根式运算中典型的简便计算题型。
【难度系数】
0.7
观察所求式子为两个高次幂的乘积，且底数a、b是互为共轭的二次根式，二者乘积可通过平方差公式快速算出。因此我们可以逆用积的乘方的运算性质，将高次幂合并简化计算：首先计算a与b的乘积，再将b的2026次幂拆分为b的2025次幂乘b，把a的2025次幂和b的2025次幂合并为$(ab)$的2025次幂，最后代入数值计算即可。
【解析】
解：首先计算$ab$的值，利用平方差公式：
$ab=(\sqrt{7}+\sqrt{6})(\sqrt{7}-\sqrt{6})=(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{6})^2=7-6=1$
再对所求式子变形，逆用积的乘方公式$a^n b^n=(ab)^n$：
$a^{2025}b^{2026}=a^{2025} × b^{2025} × b=(ab)^{2025} × b$
将$ab=1$，$b=\sqrt{7}-\sqrt{6}$代入上式：
原式$=1^{2025} × (\sqrt{7}-\sqrt{6})=1 × (\sqrt{7}-\sqrt{6})=\sqrt{7}-\sqrt{6}$
【答案】
$\sqrt{7}-\sqrt{6}$
【知识点】
积的乘方逆运算，平方差公式，二次根式乘法
【点评】
本题考查幂的运算性质与整式乘法公式在二次根式运算中的综合应用，解题的核心是通过合理拆分高次幂，将复杂的高次运算转化为简便的乘积运算，避开了直接计算高次幂的繁琐过程，是根式运算中典型的简便计算题型。
【难度系数】
0.7
19. 当$a≥ 0$且$b≥ 0$时，化简：$\sqrt{4a^3b} - a\sqrt{ab} = \_\_\_\_\_\_$
答案
19.$a\sqrt{ab}$
解析
【分析】
本题考查二次根式的化简与运算，解题思路如下：第一步，根据题目给出的$a≥0$、$b≥0$的条件，确定二次根式有意义，可利用二次根式的性质将非最简二次根式化为最简形式；第二步，判断化简后的两个二次根式是否为同类二次根式，若是则合并同类二次根式，即把系数相加减、根式部分不变，即可得到结果。
【解析】
解：$\because a≥0$，$b≥0$
$\therefore \sqrt{4a^3b}=\sqrt{4· a^2· ab}=\sqrt{4}·\sqrt{a^2}·\sqrt{ab}=2a\sqrt{ab}$
$\therefore \sqrt{4a^3b} - a\sqrt{ab}=2a\sqrt{ab}-a\sqrt{ab}=(2a - a)\sqrt{ab}=a\sqrt{ab}$
【答案】
$a\sqrt{ab}$
【知识点】
二次根式的性质；二次根式化简；同类二次根式合并
【点评】
本题属于基础运算题，核心是熟练运用二次根式的性质化简，注意题目给出的字母非负的条件是正确化简的前提，合并同类二次根式时只需对系数做加减运算，根式部分保持不变。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的化简与运算，解题思路如下：第一步，根据题目给出的$a≥0$、$b≥0$的条件，确定二次根式有意义，可利用二次根式的性质将非最简二次根式化为最简形式；第二步，判断化简后的两个二次根式是否为同类二次根式，若是则合并同类二次根式，即把系数相加减、根式部分不变，即可得到结果。
【解析】
解：$\because a≥0$，$b≥0$
$\therefore \sqrt{4a^3b}=\sqrt{4· a^2· ab}=\sqrt{4}·\sqrt{a^2}·\sqrt{ab}=2a\sqrt{ab}$
$\therefore \sqrt{4a^3b} - a\sqrt{ab}=2a\sqrt{ab}-a\sqrt{ab}=(2a - a)\sqrt{ab}=a\sqrt{ab}$
【答案】
$a\sqrt{ab}$
【知识点】
二次根式的性质；二次根式化简；同类二次根式合并
【点评】
本题属于基础运算题，核心是熟练运用二次根式的性质化简，注意题目给出的字母非负的条件是正确化简的前提，合并同类二次根式时只需对系数做加减运算，根式部分保持不变。
【难度系数】
0.8
20. 某居民小区有一块形状为长方形 ABCD 的绿地,绿地的长 BC 为$\sqrt{162}$ m,宽 AB 为$\sqrt{128}$ m,现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛(图中阴影部分),长方形花坛的长为$(\sqrt{13}+1)$ m,宽为$(\sqrt{13}-1)$ m.
(1)长方形 ABCD 的周长是多少?
(2)除去修建花坛的地方,其他地方全修建成通道,通道上要铺上造价为 8 元/$m^2$ 的地砖.要铺完整个通道,购买地砖需要花费多少元?
(1)长方形 ABCD 的周长是多少?
(2)除去修建花坛的地方,其他地方全修建成通道,通道上要铺上造价为 8 元/$m^2$ 的地砖.要铺完整个通道,购买地砖需要花费多少元?
答案
20.解:(1)$\because$长方形的长$BC$为$\sqrt{162}\ \mathrm{m}$,宽$AB$为$\sqrt{128}\ \mathrm{m}$,
$\therefore$长方形$ABCD$的周长为$2(\sqrt{162}+\sqrt{128})=2(9\sqrt{2}+8\sqrt{2})=34\sqrt{2}(\mathrm{m})$.
(2)$[\sqrt{162}×\sqrt{128}-(\sqrt{13}+1)×(\sqrt{13}-1)]×8=(144-12)×8=1056(\mathrm{元})$.
$\therefore$长方形$ABCD$的周长为$2(\sqrt{162}+\sqrt{128})=2(9\sqrt{2}+8\sqrt{2})=34\sqrt{2}(\mathrm{m})$.
(2)$[\sqrt{162}×\sqrt{128}-(\sqrt{13}+1)×(\sqrt{13}-1)]×8=(144-12)×8=1056(\mathrm{元})$.
解析
【分析】
(1) 求长方形ABCD的周长，首先回忆长方形周长公式：周长=2×(长+宽)。已知长和宽均为二次根式形式，先将两个二次根式化简为最简二次根式，再代入公式计算即可。
(2) 求购买地砖的总花费，首先需要计算通道的面积，通道面积=大长方形ABCD的面积-阴影花坛的面积。其中大长方形面积用“长×宽”计算，二次根式相乘可先计算被开方数的乘积再开方；花坛的长和宽符合平方差公式的形式，用平方差公式计算更简便。最后用通道面积乘每平方米地砖的造价，即可得到总花费。
【解析】
(1) 已知长方形$ABCD$的长$BC=\sqrt{162}\ \mathrm{m}$，宽$AB=\sqrt{128}\ \mathrm{m}$，代入长方形周长公式：
$\begin{aligned}\mathrm{周长}&=2×(\sqrt{162}+\sqrt{128})\\&=2×(9\sqrt{2}+8\sqrt{2})\\&=2×17\sqrt{2}\\&=34\sqrt{2}\ (\mathrm{m})\end{aligned}$
(2) 先计算通道的面积：
$\begin{aligned}\mathrm{通道面积}&=\sqrt{162}×\sqrt{128} - (\sqrt{13}+1)(\sqrt{13}-1)\\&=\sqrt{162×128} - [(\sqrt{13})^2 - 1^2]\\&=144 - (13-1)\\&=132\ (\mathrm{m^2})\end{aligned}$
购买地砖的总花费为：$132×8=1056$（元）
【答案】
(1) 长方形$ABCD$的周长是$34\sqrt{2}\ \mathrm{m}$；
(2) 购买地砖需要花费1056元。
【知识点】
二次根式运算，长方形周长与面积计算，平方差公式
【点评】
本题结合生活场景考查代数运算，解题的核心是熟练掌握二次根式的化简、运算法则以及平方差公式，将实际问题转化为常规代数计算即可解决。
【难度系数】
0.75
(1) 求长方形ABCD的周长，首先回忆长方形周长公式：周长=2×(长+宽)。已知长和宽均为二次根式形式，先将两个二次根式化简为最简二次根式，再代入公式计算即可。
(2) 求购买地砖的总花费，首先需要计算通道的面积，通道面积=大长方形ABCD的面积-阴影花坛的面积。其中大长方形面积用“长×宽”计算，二次根式相乘可先计算被开方数的乘积再开方；花坛的长和宽符合平方差公式的形式，用平方差公式计算更简便。最后用通道面积乘每平方米地砖的造价，即可得到总花费。
【解析】
(1) 已知长方形$ABCD$的长$BC=\sqrt{162}\ \mathrm{m}$，宽$AB=\sqrt{128}\ \mathrm{m}$，代入长方形周长公式：
$\begin{aligned}\mathrm{周长}&=2×(\sqrt{162}+\sqrt{128})\\&=2×(9\sqrt{2}+8\sqrt{2})\\&=2×17\sqrt{2}\\&=34\sqrt{2}\ (\mathrm{m})\end{aligned}$
(2) 先计算通道的面积：
$\begin{aligned}\mathrm{通道面积}&=\sqrt{162}×\sqrt{128} - (\sqrt{13}+1)(\sqrt{13}-1)\\&=\sqrt{162×128} - [(\sqrt{13})^2 - 1^2]\\&=144 - (13-1)\\&=132\ (\mathrm{m^2})\end{aligned}$
购买地砖的总花费为：$132×8=1056$（元）
【答案】
(1) 长方形$ABCD$的周长是$34\sqrt{2}\ \mathrm{m}$；
(2) 购买地砖需要花费1056元。
【知识点】
二次根式运算，长方形周长与面积计算，平方差公式
【点评】
本题结合生活场景考查代数运算，解题的核心是熟练掌握二次根式的化简、运算法则以及平方差公式，将实际问题转化为常规代数计算即可解决。
【难度系数】
0.75
