21.如果一个三角形的三边长分别为$a,b,c$，记$p=\dfrac{a+b+c}{2}$，那么这个三角形的面积为$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$。这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式。
如图，在$△ ABC$中，$a=8,b=7,c=9$。
(1)求$p$的值；
(2)求$△ ABC$的面积；
(3)过点$A$作$AD⊥ BC$，垂足为$D$，求线段$CD$的长。

21.解:(1)$\because a=8,b=7,c=9$,
$\therefore p=\dfrac{8+7+9}{2}=12$.
(2)$S_{△ ABC}=\sqrt{12×(12-8)×(12-7)×(12-9)}$
$=\sqrt{12×4×5×3}$
$=12\sqrt{5}$.
(3)$\because S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}BC· AD$
$\therefore \dfrac{1}{2}×8× AD=12\sqrt{5}$.
$\therefore AD=3\sqrt{5}$.
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中,$AC=7$,$AD=3\sqrt{5}$,
$\therefore CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{49-45}=2$.

【分析】
(1)第一问属于直接代入求值问题，根据题目给出的半周长$p$的定义，将三边长$a=8、b=7、c=9$代入公式$p=\dfrac{a+b+c}{2}$计算即可。
(2)第二问利用第一问求出的$p$值，直接代入海伦公式计算，先分别算出$p-a、p-b、p-c$的值，计算乘积后再化简二次根式即可得到三角形面积。
(3)第三问求$CD$的长，观察可知$CD$在$\mathrm{Rt}△ACD$中，已知斜边$AC=7$，只需要先求出直角边$AD$的长度，就可以用勾股定理计算$CD$；$AD$是$BC$边上的高，可通过三角形面积的两种计算方法（海伦公式求出的面积和底乘高求面积的公式）列等式求出$AD$，最后代入勾股定理计算即可。
【解析】
(1)已知$a=8,b=7,c=9$，代入半周长公式：
$p=\dfrac{a+b+c}{2}=\dfrac{8+7+9}{2}=12$
(2)将$p=12$和三边长代入海伦公式：
$S_{△ABC}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{12×(12-8)×(12-7)×(12-9)}$
$=\sqrt{12×4×5×3}=\sqrt{720}=12\sqrt{5}$
(3)设高$AD$的长为$h$，根据三角形面积公式$S_{△ABC}=\dfrac{1}{2}·BC·h$，$BC=a=8$，代入面积得：
$\dfrac{1}{2}×8×h=12\sqrt{5}$
解得$h=3\sqrt{5}$，即$AD=3\sqrt{5}$
在$\mathrm{Rt}△ACD$中，$AC=7$，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{7^2-(3\sqrt{5})^2}=\sqrt{49-45}=\sqrt{4}=2$
【答案】
(1)$p=12$；(2)$△ABC$的面积为$12\sqrt{5}$；(3)$CD$的长为$2$
【知识点】
海伦公式应用，三角形面积计算，勾股定理
【点评】
本题属于基础综合题，先通过新定义公式代入求值得到半周长和三角形面积，再借助面积法求高，最后用勾股定理求线段长度，解题时注意二次根式的化简，避免运算错误。
【难度系数】
0.8