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1. 要使二次根式$\sqrt{x-2027}$在实数范围内有意义，那么$x$的取值范围是 （
A.$x＞2027$
B.$x≥2027$
C.$x≤2027$
D.$x＜2027$
B
）A.$x＞2027$
B.$x≥2027$
C.$x≤2027$
D.$x＜2027$
答案
1.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确二次根式在实数范围内有意义的核心要求：被开方数必须是非负数（即大于等于0）。解题思路分为三步：第一步找到该二次根式的被开方数，第二步根据有意义的条件列出不等式，第三步解不等式得到x的取值范围，再匹配对应选项即可。
【解析】
根据二次根式有意义的条件：被开方数≥0，
本题中二次根式$\sqrt{x-2027}$的被开方数为$x-2027$，因此列不等式：
$x - 2027 ≥ 0$
移项解得：$x ≥ 2027$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础概念题，考察对二次根式有意义条件的掌握，只需牢记被开方数为非负数的要求，准确解简单不等式即可得分，没有易错陷阱。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需明确二次根式在实数范围内有意义的核心要求：被开方数必须是非负数（即大于等于0）。解题思路分为三步：第一步找到该二次根式的被开方数，第二步根据有意义的条件列出不等式，第三步解不等式得到x的取值范围，再匹配对应选项即可。
【解析】
根据二次根式有意义的条件：被开方数≥0，
本题中二次根式$\sqrt{x-2027}$的被开方数为$x-2027$，因此列不等式：
$x - 2027 ≥ 0$
移项解得：$x ≥ 2027$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础概念题，考察对二次根式有意义条件的掌握，只需牢记被开方数为非负数的要求，准确解简单不等式即可得分，没有易错陷阱。
【难度系数】
0.9
2. 以下是最简二次根式的是 （
A.$\sqrt{4}$
B.$\sqrt{8}$
C.$\sqrt{2}$
D.$\sqrt[3]{8}$
C
）A.$\sqrt{4}$
B.$\sqrt{8}$
C.$\sqrt{2}$
D.$\sqrt[3]{8}$
答案
2.C
解析
【分析】
要判断哪个是最简二次根式，首先要明确最简二次根式的两个核心判断标准：第一，必须是根指数为2的二次根式；第二，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，也不含分母。解题时我们可以先排除不是二次根式的选项，再逐一验证剩余选项是否满足被开方数的要求，最终选出正确答案。
【解析】
首先明确最简二次根式的判定条件：
1. 属于二次根式（根指数为2）；
2. 被开方数不含能开得尽方的因数或因式，且不含分母。
逐一分析选项：
A选项：$\sqrt{4}$的被开方数4是能开得尽方的数（$4=2^2$），化简得$\sqrt{4}=2$，不是最简二次根式，排除；
B选项：$\sqrt{8}$的被开方数$8=2^2×2$，含有能开得尽方的因数4，化简得$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，不是最简二次根式，排除；
C选项：$\sqrt{2}$是二次根式，且被开方数2没有能开得尽方的因数，满足最简二次根式的所有条件，符合要求；
D选项：$\sqrt[3]{8}$的根指数是3，属于三次根式，不是二次根式，直接排除。
【答案】
C
【知识点】
最简二次根式判定，二次根式化简
【点评】
本题考查最简二次根式的相关概念，解题的关键是熟记最简二次根式的判断标准，先从根指数判断是否为二次根式，再验证被开方数的特征即可，属于概念类基础题。
【难度系数】
0.8
要判断哪个是最简二次根式，首先要明确最简二次根式的两个核心判断标准：第一，必须是根指数为2的二次根式；第二，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，也不含分母。解题时我们可以先排除不是二次根式的选项，再逐一验证剩余选项是否满足被开方数的要求，最终选出正确答案。
【解析】
首先明确最简二次根式的判定条件：
1. 属于二次根式（根指数为2）；
2. 被开方数不含能开得尽方的因数或因式，且不含分母。
逐一分析选项：
A选项：$\sqrt{4}$的被开方数4是能开得尽方的数（$4=2^2$），化简得$\sqrt{4}=2$，不是最简二次根式，排除；
B选项：$\sqrt{8}$的被开方数$8=2^2×2$，含有能开得尽方的因数4，化简得$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，不是最简二次根式，排除；
C选项：$\sqrt{2}$是二次根式，且被开方数2没有能开得尽方的因数，满足最简二次根式的所有条件，符合要求；
D选项：$\sqrt[3]{8}$的根指数是3，属于三次根式，不是二次根式，直接排除。
【答案】
C
【知识点】
最简二次根式判定，二次根式化简
【点评】
本题考查最简二次根式的相关概念，解题的关键是熟记最简二次根式的判断标准，先从根指数判断是否为二次根式，再验证被开方数的特征即可，属于概念类基础题。
【难度系数】
0.8
3. 下列计算中正确的是 （
A.$\pm\sqrt{36}=\pm6$
B.$4\sqrt{3}-3\sqrt{3}=1$
C.$\sqrt{12}÷\sqrt{3}=4$
D.$\sqrt{\frac{1}{2}}×\sqrt{14}=7$
A
）A.$\pm\sqrt{36}=\pm6$
B.$4\sqrt{3}-3\sqrt{3}=1$
C.$\sqrt{12}÷\sqrt{3}=4$
D.$\sqrt{\frac{1}{2}}×\sqrt{14}=7$
答案
3.A
解析
【分析】
本题考查二次根式相关运算及平方根的概念，解题时需逐一验证每个选项的计算是否符合运算法则：首先回忆平方根的定义、二次根式加减乘除的运算规则，再对每个选项分别计算，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：根据平方根的定义，若$x^2=a$，则$x$叫做$a$的平方根，记作$\pm\sqrt{a}$。因为$6^2=36$，所以$\pm\sqrt{36}=\pm6$，该选项计算正确。
选项B：二次根式加减时，同类二次根式（被开方数相同的最简二次根式）合并只需将系数相加减，根式部分不变，因此$4\sqrt{3}-3\sqrt{3}=(4-3)\sqrt{3}=\sqrt{3}≠1$，该选项错误。
选项C：二次根式除法法则为$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{a÷ b}\ (a≥0,b＞0)$，因此$\sqrt{12}÷\sqrt{3}=\sqrt{12÷3}=\sqrt{4}=2≠4$，该选项错误。
选项D：二次根式乘法法则为$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{a× b}\ (a≥0,b≥0)$，因此$\sqrt{\frac{1}{2}}×\sqrt{14}=\sqrt{\frac{1}{2}×14}=\sqrt{7}≠7$，该选项错误。
综上，只有A选项计算正确。
【答案】
A
【知识点】
平方根的概念，二次根式乘除运算，二次根式加减运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查二次根式的四则运算法则和平方根的基本概念，解题时要注意区分平方根和算术平方根的差异，二次根式运算时先遵循运算规则化简再判断结果，避免系数或根式化简出错。
【难度系数】
0.85
本题考查二次根式相关运算及平方根的概念，解题时需逐一验证每个选项的计算是否符合运算法则：首先回忆平方根的定义、二次根式加减乘除的运算规则，再对每个选项分别计算，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：根据平方根的定义，若$x^2=a$，则$x$叫做$a$的平方根，记作$\pm\sqrt{a}$。因为$6^2=36$，所以$\pm\sqrt{36}=\pm6$，该选项计算正确。
选项B：二次根式加减时，同类二次根式（被开方数相同的最简二次根式）合并只需将系数相加减，根式部分不变，因此$4\sqrt{3}-3\sqrt{3}=(4-3)\sqrt{3}=\sqrt{3}≠1$，该选项错误。
选项C：二次根式除法法则为$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{a÷ b}\ (a≥0,b＞0)$，因此$\sqrt{12}÷\sqrt{3}=\sqrt{12÷3}=\sqrt{4}=2≠4$，该选项错误。
选项D：二次根式乘法法则为$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{a× b}\ (a≥0,b≥0)$，因此$\sqrt{\frac{1}{2}}×\sqrt{14}=\sqrt{\frac{1}{2}×14}=\sqrt{7}≠7$，该选项错误。
综上，只有A选项计算正确。
【答案】
A
【知识点】
平方根的概念，二次根式乘除运算，二次根式加减运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查二次根式的四则运算法则和平方根的基本概念，解题时要注意区分平方根和算术平方根的差异，二次根式运算时先遵循运算规则化简再判断结果，避免系数或根式化简出错。
【难度系数】
0.85
4.若$a+b=\sqrt{3},ab=1$,则$a^3b+2a^2b^2+ab^3$的值为 （
A.1
B.3
C.6
D.9
B
）A.1
B.3
C.6
D.9
答案
4.B
解析
【分析】
本题已知a+b与ab的值，直接求解a、b的数值计算量较大，因此优先考虑对所求多项式进行因式分解，将其转化为含a+b、ab的代数式，再采用整体代入的方法计算即可。解题步骤首先提取公因式ab，再对剩余的多项式用完全平方公式变形，最后代入数值计算。
【解析】
先对所求式子因式分解：
$\begin{aligned}a^3b + 2a^2b^2 + ab^3&=ab(a^2 + 2ab + b^2)\\&=ab(a+b)^2\end{aligned}$
将$a+b=\sqrt{3}$，$ab=1$代入上式得：
原式$=1×(\sqrt{3})^2=1×3=3$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
因式分解；完全平方公式；代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是熟练掌握因式分解的方法和完全平方公式的结构特征，运用整体代入思想可简化计算，避免单独求解a、b的繁琐过程。
【难度系数】
0.8
本题已知a+b与ab的值，直接求解a、b的数值计算量较大，因此优先考虑对所求多项式进行因式分解，将其转化为含a+b、ab的代数式，再采用整体代入的方法计算即可。解题步骤首先提取公因式ab，再对剩余的多项式用完全平方公式变形，最后代入数值计算。
【解析】
先对所求式子因式分解：
$\begin{aligned}a^3b + 2a^2b^2 + ab^3&=ab(a^2 + 2ab + b^2)\\&=ab(a+b)^2\end{aligned}$
将$a+b=\sqrt{3}$，$ab=1$代入上式得：
原式$=1×(\sqrt{3})^2=1×3=3$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
因式分解；完全平方公式；代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是熟练掌握因式分解的方法和完全平方公式的结构特征，运用整体代入思想可简化计算，避免单独求解a、b的繁琐过程。
【难度系数】
0.8
5.若二次根式$\sqrt{3x - 9}$在实数范围内有意义，则$x$的取值范围是（
A.$x≥3$
B.$x≤3$
C.$x＞3$
D.$x＜3$
A
）A.$x≥3$
B.$x≤3$
C.$x＞3$
D.$x＜3$
答案
5.A
解析
【分析】
要确定二次根式在实数范围内有意义时x的取值范围，首先需明确二次根式有意义的核心条件：被开方数必须是非负数（即大于等于0）。我们只需根据这个条件列出关于x的不等式，再解出不等式的解集，就能得到x的取值范围。
【解析】
解：要使二次根式$\sqrt{3x - 9}$在实数范围内有意义，需满足被开方数为非负数，即：
$3x - 9 ≥ 0$
移项得：$3x ≥ 9$
两边同时除以3得：$x ≥ 3$
因此x的取值范围是$x≥3$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，重点考查二次根式有意义的判定规则，只要牢记被开方数不能为负数，结合一元一次不等式的解法即可快速得出结果，属于易得分的题目。
【难度系数】
0.9
要确定二次根式在实数范围内有意义时x的取值范围，首先需明确二次根式有意义的核心条件：被开方数必须是非负数（即大于等于0）。我们只需根据这个条件列出关于x的不等式，再解出不等式的解集，就能得到x的取值范围。
【解析】
解：要使二次根式$\sqrt{3x - 9}$在实数范围内有意义，需满足被开方数为非负数，即：
$3x - 9 ≥ 0$
移项得：$3x ≥ 9$
两边同时除以3得：$x ≥ 3$
因此x的取值范围是$x≥3$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，重点考查二次根式有意义的判定规则，只要牢记被开方数不能为负数，结合一元一次不等式的解法即可快速得出结果，属于易得分的题目。
【难度系数】
0.9
6. 实数$a$，$b$在数轴上的位置如图所示，则化简$\sqrt{(2-b)^2}-\sqrt{(a+1)^2}$的结果是（
A.$-a - b + 1$
B.$a - b + 3$
C.$a + b -1$
D.$-a + b -3$
D
）A.$-a - b + 1$
B.$a - b + 3$
C.$a + b -1$
D.$-a + b -3$
答案
6.D
解析
【分析】
解题首先要利用二次根式的性质将原式转化为绝对值形式，再结合数轴判断a、b的取值范围，进而确定绝对值内代数式的正负，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后合并化简得到结果。第一步：回忆$\sqrt{x^2}=|x|$，将原式改写为$|2-b|-|a+1|$；第二步：观察数轴确定a、b的范围，判断2-b和a+1的正负；第三步：去绝对值后合并同类项，对比选项得到答案。
【解析】
由数轴可知：$-1 ＜ a ＜ 0$，$2 ＜ b ＜ 3$。
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，可得：
原式$=|2-b|-|a+1|$
因为$2 ＜ b ＜ 3$，所以$2-b ＜ 0$，负数的绝对值等于它的相反数，故$|2-b|=b-2$；
因为$-1 ＜ a ＜ 0$，所以$a+1 ＞ 0$，正数的绝对值等于它本身，故$|a+1|=a+1$；
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=(b-2)-(a+1)\\&=b-2 -a -1\\&=-a + b -3\end{aligned}$
【答案】
D
【知识点】
二次根式的性质、绝对值化简、数轴与实数
【点评】
本题是代数式化简的常见题型，解题的核心是结合数轴准确判断绝对值内代数式的正负，去绝对值时要注意符号的变化，避免因符号错误导致化简结果出错。
【难度系数】
0.7
解题首先要利用二次根式的性质将原式转化为绝对值形式，再结合数轴判断a、b的取值范围，进而确定绝对值内代数式的正负，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后合并化简得到结果。第一步：回忆$\sqrt{x^2}=|x|$，将原式改写为$|2-b|-|a+1|$；第二步：观察数轴确定a、b的范围，判断2-b和a+1的正负；第三步：去绝对值后合并同类项，对比选项得到答案。
【解析】
由数轴可知：$-1 ＜ a ＜ 0$，$2 ＜ b ＜ 3$。
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，可得：
原式$=|2-b|-|a+1|$
因为$2 ＜ b ＜ 3$，所以$2-b ＜ 0$，负数的绝对值等于它的相反数，故$|2-b|=b-2$；
因为$-1 ＜ a ＜ 0$，所以$a+1 ＞ 0$，正数的绝对值等于它本身，故$|a+1|=a+1$；
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=(b-2)-(a+1)\\&=b-2 -a -1\\&=-a + b -3\end{aligned}$
【答案】
D
【知识点】
二次根式的性质、绝对值化简、数轴与实数
【点评】
本题是代数式化简的常见题型，解题的核心是结合数轴准确判断绝对值内代数式的正负，去绝对值时要注意符号的变化，避免因符号错误导致化简结果出错。
【难度系数】
0.7
7.若$a＜0,b＞0$,则下列选项中正确的是（
A.$\sqrt{a^2}=a$
B.$(-\sqrt{b})^2=-b$
C.$\sqrt{a^2b}=-a\sqrt{b}$
D.$\sqrt{\dfrac{b}{a^2}}=\dfrac{\sqrt{b}}{a}$
C
）A.$\sqrt{a^2}=a$
B.$(-\sqrt{b})^2=-b$
C.$\sqrt{a^2b}=-a\sqrt{b}$
D.$\sqrt{\dfrac{b}{a^2}}=\dfrac{\sqrt{b}}{a}$
答案
7.C
解析
【分析】
本题考查二次根式的化简，解题核心是熟练掌握二次根式的相关性质，结合题目给出的$a＜0$、$b＞0$的条件，逐个验证四个选项的正确性即可。首先回忆二次根式的核心性质：1. $\sqrt{x^2}=|x|$，开方结果一定是非负的；2. $(\sqrt{x})^2=x$（$x≥0$）；3. 二次根式乘除运算中，被开方数必须是非负的，化简时要注意符号的正确性。我们只需将每个选项根据上述性质化简，再和选项给出的结果对比就能判断对错。
【解析】
结合$a＜0$，$b＞0$的条件逐一分析选项：
选项A：根据二次根式性质$\sqrt{a^2}=|a|$，因为$a＜0$，所以$|a|=-a≠ a$，故A错误；
选项B：$(-\sqrt{b})^2=(\sqrt{b})^2$，因为$b＞0$，所以$(\sqrt{b})^2=b≠ -b$，故B错误；
选项C：$\sqrt{a^2b}=\sqrt{a^2}·\sqrt{b}=|a|·\sqrt{b}$，因为$a＜0$，所以$|a|=-a$，代入得原式$=-a\sqrt{b}$，和选项结果一致，故C正确；
选项D：$\sqrt{\frac{b}{a^2}}=\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a^2}}=\frac{\sqrt{b}}{|a|}$，因为$a＜0$，所以$|a|=-a$，代入得原式$=\frac{\sqrt{b}}{-a}≠\frac{\sqrt{b}}{a}$，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的性质、二次根式的化简
【点评】
本题是二次根式性质应用的基础题型，解题的关键是牢记二次根式的开方结果具有非负性，化简含字母参数的二次根式时，必须结合字母的正负性正确去绝对值符号，易错点是忽略$a$为负数，直接将$\sqrt{a^2}$化简为$a$导致判断错误。
【难度系数】
0.7
本题考查二次根式的化简，解题核心是熟练掌握二次根式的相关性质，结合题目给出的$a＜0$、$b＞0$的条件，逐个验证四个选项的正确性即可。首先回忆二次根式的核心性质：1. $\sqrt{x^2}=|x|$，开方结果一定是非负的；2. $(\sqrt{x})^2=x$（$x≥0$）；3. 二次根式乘除运算中，被开方数必须是非负的，化简时要注意符号的正确性。我们只需将每个选项根据上述性质化简，再和选项给出的结果对比就能判断对错。
【解析】
结合$a＜0$，$b＞0$的条件逐一分析选项：
选项A：根据二次根式性质$\sqrt{a^2}=|a|$，因为$a＜0$，所以$|a|=-a≠ a$，故A错误；
选项B：$(-\sqrt{b})^2=(\sqrt{b})^2$，因为$b＞0$，所以$(\sqrt{b})^2=b≠ -b$，故B错误；
选项C：$\sqrt{a^2b}=\sqrt{a^2}·\sqrt{b}=|a|·\sqrt{b}$，因为$a＜0$，所以$|a|=-a$，代入得原式$=-a\sqrt{b}$，和选项结果一致，故C正确；
选项D：$\sqrt{\frac{b}{a^2}}=\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a^2}}=\frac{\sqrt{b}}{|a|}$，因为$a＜0$，所以$|a|=-a$，代入得原式$=\frac{\sqrt{b}}{-a}≠\frac{\sqrt{b}}{a}$，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的性质、二次根式的化简
【点评】
本题是二次根式性质应用的基础题型，解题的关键是牢记二次根式的开方结果具有非负性，化简含字母参数的二次根式时，必须结合字母的正负性正确去绝对值符号，易错点是忽略$a$为负数，直接将$\sqrt{a^2}$化简为$a$导致判断错误。
【难度系数】
0.7
8. 我们把形如$a+b\sqrt{x}$（$a,b$为有理数，$\sqrt{x}$为最简二次根式）的数叫作$\sqrt{x}$型无理数，如$2+3\sqrt{5}$是$\sqrt{5}$型无理数，则$(\sqrt{2}+\sqrt{6})^2$是（
A.$\sqrt{2}$型无理数
B.$\sqrt{3}$型无理数
C.$\sqrt{5}$型无理数
D.$\sqrt{12}$型无理数
B
）A.$\sqrt{2}$型无理数
B.$\sqrt{3}$型无理数
C.$\sqrt{5}$型无理数
D.$\sqrt{12}$型无理数
答案
8.B
解析
【分析】
要判断$(\sqrt{2}+\sqrt{6})^2$属于哪种$\sqrt{x}$型无理数，首先需要根据完全平方公式将原式展开，再按照二次根式的运算法则化简，最后整理成题目定义的$a+b\sqrt{x}$（$a,b$为有理数，$\sqrt{x}$为最简二次根式）的形式，根据化简后最简二次根式的被开方数即可判断类型。
【解析】
首先利用完全平方公式展开计算：
$\begin{aligned}(\sqrt{2}+\sqrt{6})^2&=(\sqrt{2})^2 + 2×\sqrt{2}×\sqrt{6} + (\sqrt{6})^2\\&=2 + 2\sqrt{12} + 6\\&=8 + 2×2\sqrt{3}\\&=8 + 4\sqrt{3}\end{aligned}$
根据题中$\sqrt{x}$型无理数的定义，$a=8$、$b=4$均为有理数，最简二次根式为$\sqrt{3}$，因此$(\sqrt{2}+\sqrt{6})^2$是$\sqrt{3}$型无理数。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式、二次根式的运算、最简二次根式
【点评】
本题结合新定义考查二次根式的相关运算，解题关键是正确理解新定义的内容，熟练掌握完全平方公式和二次根式化简的方法，难度较低。
【难度系数】
0.8
要判断$(\sqrt{2}+\sqrt{6})^2$属于哪种$\sqrt{x}$型无理数，首先需要根据完全平方公式将原式展开，再按照二次根式的运算法则化简，最后整理成题目定义的$a+b\sqrt{x}$（$a,b$为有理数，$\sqrt{x}$为最简二次根式）的形式，根据化简后最简二次根式的被开方数即可判断类型。
【解析】
首先利用完全平方公式展开计算：
$\begin{aligned}(\sqrt{2}+\sqrt{6})^2&=(\sqrt{2})^2 + 2×\sqrt{2}×\sqrt{6} + (\sqrt{6})^2\\&=2 + 2\sqrt{12} + 6\\&=8 + 2×2\sqrt{3}\\&=8 + 4\sqrt{3}\end{aligned}$
根据题中$\sqrt{x}$型无理数的定义，$a=8$、$b=4$均为有理数，最简二次根式为$\sqrt{3}$，因此$(\sqrt{2}+\sqrt{6})^2$是$\sqrt{3}$型无理数。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式、二次根式的运算、最简二次根式
【点评】
本题结合新定义考查二次根式的相关运算，解题关键是正确理解新定义的内容，熟练掌握完全平方公式和二次根式化简的方法，难度较低。
【难度系数】
0.8
