【例1】已知$\odot O$的半径为5,直线$l$与$\odot O$有2个公共点,则点$O$到直线$l$的距离可能是 ()

A.3
B.5
C.7
D.9

A

【分析】
要解决这道题，需先回忆直线与圆的位置关系判定规则：设圆的半径为$r$，圆心到直线的距离为$d$，当直线与圆有2个公共点时，直线与圆相交，此时满足$d ＜ r$；若有1个公共点则相切（$d=r$），0个公共点则相离（$d＞r$）。题目中圆$O$半径$r=5$，直线$l$与圆有2个公共点，因此圆心$O$到直线$l$的距离$d ＜ 5$，再结合选项判断即可。
【解析】
已知$\odot O$的半径$r=5$，直线$l$与$\odot O$有2个公共点，说明直线$l$与$\odot O$相交，根据直线与圆相交的性质：圆心到直线的距离$d ＜ r$，因此$d ＜ 5$。
逐一分析选项：
A选项：距离为3，$3 ＜ 5$，符合条件；
B选项：距离为5，$5=5$，此时直线与圆相切，只有1个公共点，不符合；
C选项：距离为7，$7 ＞ 5$，此时直线与圆相离，没有公共点，不符合；
D选项：距离为9，$9 ＞ 5$，此时直线与圆相离，没有公共点，不符合。
综上，答案为A。
【答案】
A
【知识点】
直线与圆的位置关系
【点评】
本题考查直线与圆位置关系的判定，核心是掌握圆心到直线的距离与半径的大小关系对应直线与圆的位置，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.8

1. 如图,$\odot O$的半径为5,直线$AB$经过$\odot O$上一点$P$,下列条件不能判定直线

$AB$与$\odot O$相切的是 ()
A. $OP=5$
B. $∠ APO=∠ BPO$
C. 点$O$到直线$AB$的距离是5
D. $OP⊥ AB$

1. A

【分析】要判断直线AB是否与⊙O相切，需结合圆的切线判定方法分析：已知点P在⊙O上，OP是⊙O的半径，切线的判定方法有两种：①经过半径外端且垂直于该半径的直线是圆的切线；②圆心到直线的距离等于半径时，直线是圆的切线。接下来逐一分析各选项，找出不能判定AB与⊙O相切的选项。
【解析】
选项A：OP=5仅说明OP是⊙O的半径，但无法证明OP⊥AB，也无法说明圆心O到直线AB的距离等于半径，因此不能判定AB与⊙O相切；
选项B：∠APO=∠BPO，结合AB是直线，可得∠APO+∠BPO=180°，故∠APO=∠BPO=90°，即OP⊥AB，又OP是⊙O的半径，根据切线判定定理，可判定AB与⊙O相切；
选项C：点O到直线AB的距离是5，等于⊙O的半径，根据“圆心到直线的距离等于半径时，直线是圆的切线”，可判定AB与⊙O相切；
选项D：OP⊥AB，且OP是⊙O的半径，根据切线判定定理，可判定AB与⊙O相切。
综上，不能判定直线AB与⊙O相切的是选项A。
【答案】A
【知识点】切线的判定
【点评】本题考查圆的切线判定，需熟练掌握切线的两种判定方法，结合已知条件逐一分析选项，属于基础题，难度不大。
【难度系数】0.4

【例2】如图,四边形$ABCD$是$\odot O$的内接四边形,点$O$在四边形$ABCD$内部,过点$C$作$\odot O$的切线交$AB$的延长线于点$P$,连接$OA,OB$.若$∠ AOB=$$140°$,$∠ BCP=35°$,则$∠ ADC$的度数为.

$105^{\circ }$

【分析】要计算∠ADC，需利用圆内接四边形对角互补的性质，即∠ADC + ∠ABC = 180°，因此先推导∠ABC的度数。结合切线性质、等腰三角形性质和圆周角定理，逐步求出相关角度，最终计算出∠ADC。
【解析】
1. 因为PC是⊙O的切线，根据切线的性质：切线垂直于过切点的半径，所以OC⊥PC，即∠OCP=90°。已知∠BCP=35°，因此∠OCB=∠OCP - ∠BCP=90° - 35°=55°。
2. 由于OC=OB（⊙O的半径相等），△OCB为等腰三角形，故∠OBC=∠OCB=55°，根据三角形内角和定理，∠BOC=180° - 55°×2=70°。
3. 又OA=OB，△OAB为等腰三角形，∠AOB=140°，所以∠OBA=(180° - ∠AOB)÷2=(180° - 140°)÷2=20°。
4. 因此∠ABC=∠OBA + ∠OBC=20° + 55°=75°。
5. 因为四边形ABCD是⊙O的内接四边形，根据圆内接四边形的对角互补，得∠ADC + ∠ABC=180°，所以∠ADC=180° - 75°=105°。
【答案】105°
【知识点】切线的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质
【点评】本题综合考查圆的核心性质，解题关键是利用切线性质求出∠OCB，再结合等腰三角形和圆周角定理推导角度，最后用内接四边形性质求解，需理清各角间的关系，难度中等。
【难度系数】0.5

2. 如图,四边形$OAEC$是平行四边形,以$O$为圆心,$OC$为半径的圆交$CE$于$D$,延长$CO$交$\odot O$于$B$,连接$AD、AB$,$AB$是$\odot O$的切线.
(1) 求证:$AD$是$\odot O$的切线.
(2) 若$\odot O$的半径为4,$AB=8$,求平行四边形$OAEC$的面积.

2. (1) 证明略 (2) 32

【分析】
本题分为两小问，第(1)问需证明AD是⊙O的切线，核心思路是利用切线的判定定理，结合AB是切线的条件，通过平行四边形的性质、等腰三角形性质推导角相等，证明三角形全等，进而得到OD⊥AD；第(2)问求平行四边形OAEC的面积，需利用切线性质、勾股定理结合平行四边形面积公式计算。
【解析】
(1) 证明：连接OD。
∵ AB是⊙O的切线，
∴ OB⊥AB，即∠OBA=90°。
∵ 四边形OAEC是平行四边形，
∴ OA//CE，
∴ ∠AOB=∠OCD（两直线平行，同位角相等）。
又
∵ OD=OC（⊙O的半径），
∴ ∠ODC=∠OCD，
∴ ∠AOB=∠ODC。
∵ OA//CE，
∴ ∠AOD=∠ODC（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠AOB=∠AOD。
在△OAB和△OAD中：
$\{\begin{array}{l}OB=OD \\∠AOB=∠AOD \\OA=OA\end{array} $
∴ △OAB≌△OAD（SAS），
∴ ∠ODA=∠OBA=90°，即OD⊥AD。
又
∵ OD是⊙O的半径，
∴ AD是⊙O的切线。
(2) 解：
∵ AB是⊙O的切线，
∴ OB⊥AB，即△OAB为直角三角形。
已知⊙O半径为4，故OB=4，AB=8，
由勾股定理得：$OA=\sqrt{OB^2 + AB^2}=\sqrt{4^2 + 8^2}=4\sqrt{5}$。
∵ 四边形OAEC是平行四边形，OC为平行四边形的一边，OC=4，AB的长度即为OC边上的高（OA//CE，AB垂直于OC所在直线OB），
∴ 平行四边形OAEC的面积=OC×AB=4×8=32。
【答案】
32
【知识点】
切线的判定、平行四边形的性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查圆的切线判定、平行四边形性质及勾股定理，需熟练运用全等三角形、切线性质等知识，逻辑清晰，难度适中。
【难度系数】
0.5