登录
【例3】在如图所示的正方形网格中,点$A、B、C、D、O$均在格点上,则点$O$是 (
A.$△ ACD$的外心
B.$△ ACD$的内心
C.$△ ABC$的外心
D.$△ ABC$的内心
A
)A.$△ ACD$的外心
B.$△ ACD$的内心
C.$△ ABC$的外心
D.$△ ABC$的内心
答案
A
解析
【分析】要判断点O是哪个三角形的外心或内心，需先明确：外心是三角形三边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点的距离相等；内心是三角形三条角平分线的交点，到三角形三边的距离相等。我们可设每个小正方形边长为1，通过计算点O到对应三角形顶点的距离，结合定义分析判断。
【解析】设每个小正方形的边长为1，建立平面直角坐标系，设点A坐标为(0,1)，O坐标为(2,2)，D坐标为(1,0)，C坐标为(4,1)，B坐标为(2,4)。
1. 分析△ACD：
计算距离：
$OA=\sqrt{(2-0)^2+(2-1)^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$，
$OD=\sqrt{(2-1)^2+(2-0)^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$，
$OC=\sqrt{(4-2)^2+(1-2)^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$，
因此$OA=OD=OC$，说明点O到△ACD三个顶点的距离相等，符合外心的定义。
2. 分析△ABC：
计算得$OB=|4-2|=2$，而$OA=\sqrt{5}\approx2.236$，显然$OB≠OA$，故点O不是△ABC的外心；同时点O到△ABC三边的距离不相等，不符合内心的定义，排除对应选项。
综上，点O是△ACD的外心。
【答案】A
【知识点】三角形外心、三角形内心
【点评】本题考查三角形外心与内心的定义，核心是利用坐标法计算距离判断点与三角形顶点的关系，属于基础概念应用题型，难度适中。
【难度系数】0.4
【解析】设每个小正方形的边长为1，建立平面直角坐标系，设点A坐标为(0,1)，O坐标为(2,2)，D坐标为(1,0)，C坐标为(4,1)，B坐标为(2,4)。
1. 分析△ACD：
计算距离：
$OA=\sqrt{(2-0)^2+(2-1)^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$，
$OD=\sqrt{(2-1)^2+(2-0)^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$，
$OC=\sqrt{(4-2)^2+(1-2)^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$，
因此$OA=OD=OC$，说明点O到△ACD三个顶点的距离相等，符合外心的定义。
2. 分析△ABC：
计算得$OB=|4-2|=2$，而$OA=\sqrt{5}\approx2.236$，显然$OB≠OA$，故点O不是△ABC的外心；同时点O到△ABC三边的距离不相等，不符合内心的定义，排除对应选项。
综上，点O是△ACD的外心。
【答案】A
【知识点】三角形外心、三角形内心
【点评】本题考查三角形外心与内心的定义，核心是利用坐标法计算距离判断点与三角形顶点的关系，属于基础概念应用题型，难度适中。
【难度系数】0.4
3. 如图,点$O$是$△ ABC$的外心,点$I$是$△ ABC$的内心,连接$OB,OI,IA$.若$∠ OBC=20°$,则$∠ CAI=$
35
°.答案
3. 35
解析
【分析】
要解决本题，需结合三角形外心、内心的性质以及圆周角定理逐步推导：
1. 外心是三角形外接圆的圆心，故OB=OC，△OBC为等腰三角形，可据此求出圆心角∠BOC的度数；
2. 根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，由此计算出∠BAC的度数；
3. 内心是三角形三条角平分线的交点，AI平分∠BAC，因此∠CAI是∠BAC的一半，进而得到结果。
【解析】
∵ 点O是△ABC的外心，
∴ OB=OC，
∴ △OBC为等腰三角形，∠OBC=∠OCB=20°，
∴ ∠BOC=180° - ∠OBC - ∠OCB = 180° - 20° - 20° = 140°。
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴ ∠BAC = $\frac{1}{2}$∠BOC = $\frac{1}{2}$×140° = 70°。
又
∵ 点I是△ABC的内心，内心是三角形角平分线的交点，
∴ AI平分∠BAC，
∴ ∠CAI = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}$×70° = 35°。
【答案】
35
【知识点】
三角形外心、内心，圆周角定理
【点评】
本题综合考查三角形外心、内心的性质与圆周角定理，需熟练掌握相关几何概念，按步骤推导即可得出结果，属于中等难度的几何题。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需结合三角形外心、内心的性质以及圆周角定理逐步推导：
1. 外心是三角形外接圆的圆心，故OB=OC，△OBC为等腰三角形，可据此求出圆心角∠BOC的度数；
2. 根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，由此计算出∠BAC的度数；
3. 内心是三角形三条角平分线的交点，AI平分∠BAC，因此∠CAI是∠BAC的一半，进而得到结果。
【解析】
∵ 点O是△ABC的外心，
∴ OB=OC，
∴ △OBC为等腰三角形，∠OBC=∠OCB=20°，
∴ ∠BOC=180° - ∠OBC - ∠OCB = 180° - 20° - 20° = 140°。
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴ ∠BAC = $\frac{1}{2}$∠BOC = $\frac{1}{2}$×140° = 70°。
又
∵ 点I是△ABC的内心，内心是三角形角平分线的交点，
∴ AI平分∠BAC，
∴ ∠CAI = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}$×70° = 35°。
【答案】
35
【知识点】
三角形外心、内心，圆周角定理
【点评】
本题综合考查三角形外心、内心的性质与圆周角定理，需熟练掌握相关几何概念，按步骤推导即可得出结果，属于中等难度的几何题。
【难度系数】
0.5
【例4】如图,正方形$ABCD$的边长为4 cm,以正方形的边$BC$为直径在正方形$ABCD$内作半圆$O$,过点$A$作半圆的切线,与半圆相切于点$F$,与$DC$相交于点$E$,则$△ ADE$的面积为
$6\ \mathrm{cm}^{2}$
.答案
$6\ \mathrm{cm}^{2}$
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以利用切线长定理和勾股定理来求解。首先，根据切线长定理得到相等的线段，设未知数表示相关线段长度，再在直角三角形中用勾股定理列方程，求出未知边后计算三角形面积。
【解析】
设 $ DE = x \, \mathrm{cm} $，因为正方形 $ ABCD $ 边长为 $ 4 \, \mathrm{cm} $，所以 $ EC = (4 - x) \, \mathrm{cm} $，$ AD = 4 \, \mathrm{cm} $。
根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。
$ AB $ 和 $ AF $ 都是半圆 $ O $ 的切线，故 $ AF = AB = 4 \, \mathrm{cm} $；
$ EF $ 和 $ EC $ 都是半圆 $ O $ 的切线，故 $ EF = EC = (4 - x) \, \mathrm{cm} $。
因此，$ AE = AF + EF = 4 + (4 - x) = (8 - x) \, \mathrm{cm} $。
在 $ \mathrm{Rt} △ ADE $ 中，由勾股定理得：
$ AD^2 + DE^2 = AE^2 $
代入数值：
$ 4^2 + x^2 = (8 - x)^2 $
展开右边：$ 16 + x^2 = 64 - 16x + x^2 $，消去 $ x^2 $ 后解得：
$ 16x = 48 \implies x = 3 $
则 $ △ ADE $ 的面积为：
$ S_{△ ADE} = \frac{1}{2} × AD × DE = \frac{1}{2} × 4 × 3 = 6 \, \mathrm{cm}^2 $
【答案】
$ 6\ \mathrm{cm}^{2} $
【知识点】
切线长定理、勾股定理、正方形的性质
【点评】
本题结合正方形和半圆的性质，核心考查切线长定理与勾股定理的应用，关键是通过切线长相等设未知数列方程，属于常规几何计算题，难度适中。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们可以利用切线长定理和勾股定理来求解。首先，根据切线长定理得到相等的线段，设未知数表示相关线段长度，再在直角三角形中用勾股定理列方程，求出未知边后计算三角形面积。
【解析】
设 $ DE = x \, \mathrm{cm} $，因为正方形 $ ABCD $ 边长为 $ 4 \, \mathrm{cm} $，所以 $ EC = (4 - x) \, \mathrm{cm} $，$ AD = 4 \, \mathrm{cm} $。
根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。
$ AB $ 和 $ AF $ 都是半圆 $ O $ 的切线，故 $ AF = AB = 4 \, \mathrm{cm} $；
$ EF $ 和 $ EC $ 都是半圆 $ O $ 的切线，故 $ EF = EC = (4 - x) \, \mathrm{cm} $。
因此，$ AE = AF + EF = 4 + (4 - x) = (8 - x) \, \mathrm{cm} $。
在 $ \mathrm{Rt} △ ADE $ 中，由勾股定理得：
$ AD^2 + DE^2 = AE^2 $
代入数值：
$ 4^2 + x^2 = (8 - x)^2 $
展开右边：$ 16 + x^2 = 64 - 16x + x^2 $，消去 $ x^2 $ 后解得：
$ 16x = 48 \implies x = 3 $
则 $ △ ADE $ 的面积为：
$ S_{△ ADE} = \frac{1}{2} × AD × DE = \frac{1}{2} × 4 × 3 = 6 \, \mathrm{cm}^2 $
【答案】
$ 6\ \mathrm{cm}^{2} $
【知识点】
切线长定理、勾股定理、正方形的性质
【点评】
本题结合正方形和半圆的性质，核心考查切线长定理与勾股定理的应用，关键是通过切线长相等设未知数列方程，属于常规几何计算题，难度适中。
【难度系数】
0.6
4. 如图,$PA、PB$是$\odot O$的切线,$A、B$为切点,点$C、D$在$\odot O$上.若$∠ A+∠ C=220°$,则$∠ P$的度数是
$100^{\circ }$
.答案
4. $100^{\circ }$
解析
【分析】
要解决本题，需结合切线性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质及四边形内角和定理逐步推导。首先，由切线性质得OA⊥PA、OB⊥PB，确定四边形OAPB的两个直角；其次，利用圆周角定理推导∠A+∠C与圆心角∠AOB的关系，结合已知条件求出∠AOB；最后通过四边形内角和计算∠P的度数。
【解析】
1. 因为PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，根据切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，所以OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°。
2. 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，根据圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧度数的一半。∠A（即题目中的∠DAB）所对的弧为弧BCD，∠C（即题目中的∠BCD）所对的弧为弧BAD，因此∠A + ∠C = 1/2(弧BCD的度数 + 弧BAD的度数)。由于弧BCD + 弧BAD = 360° + 弧AB的度数（整个圆周为360°，弧AB重复出现一次），故∠A + ∠C = 1/2(360° + 弧AB的度数) = 180° + 1/2弧AB的度数。
3. 已知∠A + ∠C = 220°，代入上式得：180° + 1/2弧AB的度数 = 220°，解得弧AB的度数为80°，因此圆心角∠AOB = 弧AB的度数 = 80°。
4. 在四边形OAPB中，内角和为360°，所以∠P = 360° - ∠OAP - ∠OBP - ∠AOB = 360° - 90° - 90° - 80° = 100°。
【答案】
100°
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【点评】
本题综合考查圆的核心性质，关键在于利用圆周角定理建立∠A+∠C与圆心角的关系，再结合切线性质和四边形内角和求解，需熟练掌握圆的相关定理，属于中等难度的几何题。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需结合切线性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质及四边形内角和定理逐步推导。首先，由切线性质得OA⊥PA、OB⊥PB，确定四边形OAPB的两个直角；其次，利用圆周角定理推导∠A+∠C与圆心角∠AOB的关系，结合已知条件求出∠AOB；最后通过四边形内角和计算∠P的度数。
【解析】
1. 因为PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，根据切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，所以OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°。
2. 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，根据圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧度数的一半。∠A（即题目中的∠DAB）所对的弧为弧BCD，∠C（即题目中的∠BCD）所对的弧为弧BAD，因此∠A + ∠C = 1/2(弧BCD的度数 + 弧BAD的度数)。由于弧BCD + 弧BAD = 360° + 弧AB的度数（整个圆周为360°，弧AB重复出现一次），故∠A + ∠C = 1/2(360° + 弧AB的度数) = 180° + 1/2弧AB的度数。
3. 已知∠A + ∠C = 220°，代入上式得：180° + 1/2弧AB的度数 = 220°，解得弧AB的度数为80°，因此圆心角∠AOB = 弧AB的度数 = 80°。
4. 在四边形OAPB中，内角和为360°，所以∠P = 360° - ∠OAP - ∠OBP - ∠AOB = 360° - 90° - 90° - 80° = 100°。
【答案】
100°
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【点评】
本题综合考查圆的核心性质，关键在于利用圆周角定理建立∠A+∠C与圆心角的关系，再结合切线性质和四边形内角和求解，需熟练掌握圆的相关定理，属于中等难度的几何题。
【难度系数】
0.5
5. 如图,$AB$为$\odot O$的直径,$PD$切$\odot O$于点$C$,与$BA$的延长线交于点$D$,$DE⊥ PO$交$PO$的延长线于点$E$,连接$OC、PB、BE$,已知$PB=6$,$DB=8$,$∠ EDB=∠ EPB$.
(1) 求证:$PB$是$\odot O$的切线；
(2) 求$\odot O$的半径.
(1) 求证:$PB$是$\odot O$的切线；
(2) 求$\odot O$的半径.
答案
5. (1) 证明略 (2) $\odot O$的半径为3
解析
【分析】
第(1)问需证明PB是⊙O的切线，根据切线判定定理，要证PB垂直于过圆心的半径OB，即证∠PBO=90°。结合已知DE⊥PO得∠E=90°，再利用∠EDB=∠EPB及对顶角相等，可证△DEO与△PBO相似，进而推出∠PBO=90°完成证明；第(2)问求半径，设半径为r，先利用切线长定理得PC=PB，再通过勾股定理算出PD，得到CD的长度，最后在Rt△OCD中用勾股定理列方程求解r。
【解析】
(1) 证明：
∵ DE⊥PO，
∴ ∠E=90°，即∠EDO + ∠DOE=90°。
又
∵ ∠EDB=∠EPB，∠DOE=∠POB（对顶角相等），
∴ △DEO∽△PBO（两角对应相等，三角形相似），
∴ ∠PBO=∠DEO=90°，即PB⊥OB。
∵ OB是⊙O的半径，
∴ PB是⊙O的切线。
(2) 解：设⊙O的半径为r，则OB=OC=r，OD=DB - OB=8 - r。
∵ PB是⊙O的切线，PD切⊙O于点C，
∴ PB=PC=6（切线长定理），且PB⊥OB，即∠PBD=90°。
在Rt△PBD中，由勾股定理得：
PD=√(PB² + DB²)=√(6² +8²)=10，
∴ CD=PD - PC=10 -6=4。
∵ PD切⊙O于C，
∴ OC⊥PD，即∠OCD=90°。
在Rt△OCD中，由勾股定理得：
r² +4²=(8 - r)²，
展开得：r² +16=64 -16r +r²，
化简得：16r=48，解得r=3。
故⊙O的半径为3。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) 3
【知识点】
切线的判定、切线长定理、勾股定理
【点评】
本题综合运用圆的切线相关性质与判定，结合相似三角形、勾股定理解决问题，需具备较强的知识整合能力，是圆章节的典型中档题型。
【难度系数】
0.5
第(1)问需证明PB是⊙O的切线，根据切线判定定理，要证PB垂直于过圆心的半径OB，即证∠PBO=90°。结合已知DE⊥PO得∠E=90°，再利用∠EDB=∠EPB及对顶角相等，可证△DEO与△PBO相似，进而推出∠PBO=90°完成证明；第(2)问求半径，设半径为r，先利用切线长定理得PC=PB，再通过勾股定理算出PD，得到CD的长度，最后在Rt△OCD中用勾股定理列方程求解r。
【解析】
(1) 证明：
∵ DE⊥PO，
∴ ∠E=90°，即∠EDO + ∠DOE=90°。
又
∵ ∠EDB=∠EPB，∠DOE=∠POB（对顶角相等），
∴ △DEO∽△PBO（两角对应相等，三角形相似），
∴ ∠PBO=∠DEO=90°，即PB⊥OB。
∵ OB是⊙O的半径，
∴ PB是⊙O的切线。
(2) 解：设⊙O的半径为r，则OB=OC=r，OD=DB - OB=8 - r。
∵ PB是⊙O的切线，PD切⊙O于点C，
∴ PB=PC=6（切线长定理），且PB⊥OB，即∠PBD=90°。
在Rt△PBD中，由勾股定理得：
PD=√(PB² + DB²)=√(6² +8²)=10，
∴ CD=PD - PC=10 -6=4。
∵ PD切⊙O于C，
∴ OC⊥PD，即∠OCD=90°。
在Rt△OCD中，由勾股定理得：
r² +4²=(8 - r)²，
展开得：r² +16=64 -16r +r²，
化简得：16r=48，解得r=3。
故⊙O的半径为3。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) 3
【知识点】
切线的判定、切线长定理、勾股定理
【点评】
本题综合运用圆的切线相关性质与判定，结合相似三角形、勾股定理解决问题，需具备较强的知识整合能力，是圆章节的典型中档题型。
【难度系数】
0.5
