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3. [新情境]【探究情境】
在"圆周角"一课的探究活动中,李老师设计了一份活动单:
已知线段$BC=4$,使用作图工具作$∠ BAC=30°$,尝试操作后思考:
(1) 这样的点$A$唯一吗?
(2) 点$A$的位置有什么特征? 你有什么感悟?
学习小组通过操作、观察、讨论后得到:点$A$的位置不唯一,它在以$BC$为弦的圆弧上(点$B$、$C$除外)……小华同学画出了符合要求的一条圆弧(如图1),即圆中的弧$BAC$.
【展示交流】
(1) 在展示交流中经过比对发现,小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上,而在如图1所示的弓形外部,我们记为点$A'$,请你利用图1证明$∠ BA'C＜30°$;
【提出问题】
(2) 展示交流后,小华同学提出了下面的新问题,请你帮助解决.
①该弧所在圆的半径长为
【拓展应用】
(3) 课后,小华所在学习小组应用本组的探究结果,解决了下面这个问题,请你也试一试.
如图2,在$△ ABC$中,$∠ BCA=90°$,$∠ CBA=30°$,$AC=4$.将$AB$沿$CB$方向平移$m$个单位长度至$DE$,$A$、$B$的对应点分别为点$D$、$E$.是否存在这样的$m$,使得直线$DE$上有一点$P$,满足$∠ CPA=45°$,且此时四边形$ADEB$的面积最大? 若存在,求出此时的平移距离$m$;若不存在,请说明理由.
在"圆周角"一课的探究活动中,李老师设计了一份活动单:
已知线段$BC=4$,使用作图工具作$∠ BAC=30°$,尝试操作后思考:
(1) 这样的点$A$唯一吗?
(2) 点$A$的位置有什么特征? 你有什么感悟?
学习小组通过操作、观察、讨论后得到:点$A$的位置不唯一,它在以$BC$为弦的圆弧上(点$B$、$C$除外)……小华同学画出了符合要求的一条圆弧(如图1),即圆中的弧$BAC$.
【展示交流】
(1) 在展示交流中经过比对发现,小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上,而在如图1所示的弓形外部,我们记为点$A'$,请你利用图1证明$∠ BA'C＜30°$;
【提出问题】
(2) 展示交流后,小华同学提出了下面的新问题,请你帮助解决.
①该弧所在圆的半径长为
4
;②$△ ABC$面积的最大值为$4\sqrt{3}+8$
;【拓展应用】
(3) 课后,小华所在学习小组应用本组的探究结果,解决了下面这个问题,请你也试一试.
如图2,在$△ ABC$中,$∠ BCA=90°$,$∠ CBA=30°$,$AC=4$.将$AB$沿$CB$方向平移$m$个单位长度至$DE$,$A$、$B$的对应点分别为点$D$、$E$.是否存在这样的$m$,使得直线$DE$上有一点$P$,满足$∠ CPA=45°$,且此时四边形$ADEB$的面积最大? 若存在,求出此时的平移距离$m$;若不存在,请说明理由.
答案
3.(1)证明略 (2)①4 ②$4\sqrt{3}+8$ (3)存在.$m=4\sqrt{2}-2\sqrt{3}+2$.
解析
【分析】
(1) 要证明∠BA'C＜30°，利用圆周角的外角性质：连接A'B与圆交于点D，弧BC所对的圆周角∠BDC=∠BAC=30°，而∠BDC是△A'DC的外角，故∠BDC=∠BA'C+∠A'CD，由此可推导结论；
(2) ①根据圆周角定理，同弧所对圆心角是圆周角的2倍，结合BC长度可求半径；②当△ABC中BC边上的高最大时面积最大，圆上点到BC的最大距离为圆心到BC的距离加半径，据此计算最大面积；
(3) 先确定△ABC各边长度，AB平移后DE平行AB，∠CPA=45°时点P在以AC为弦、圆周角45°的圆上，直线DE与该圆相切时存在点P且四边形ADEB面积最大，利用点到直线距离公式求解平移距离m。
【解析】
(1) 证明：连接A'B，交圆于点D，连接CD。
∵ ∠BDC与∠BAC都是弧BC所对的圆周角，
∴ ∠BDC=∠BAC=30°。
又
∵ ∠BDC是△A'DC的外角，
∴ ∠BDC=∠BA'C + ∠A'CD，
∴ ∠BA'C=∠BDC - ∠A'CD ＜ ∠BDC=30°，即∠BA'C＜30°。
(2) ①设弧BC所在圆的圆心为O，连接OB、OC。
∵ ∠BAC=30°，
∴ 弧BC所对的圆心角∠BOC=2∠BAC=60°。
又
∵ OB=OC，BC=4，
∴ △BOC是等边三角形，
∴ OB=BC=4，即圆的半径为4。
②当点A到BC的距离最大时，△ABC的面积最大。
过O作OH⊥BC于H，由等边三角形性质，BH=2，OH=√(OB² - BH²)=√(16-4)=2√3。
圆上点到BC的最大距离为OH + OB=2√3 +4，
∴ △ABC面积最大值为$\frac{1}{2}×BC×最大高=\frac{1}{2}×4×(2\sqrt{3}+4)=4\sqrt{3}+8$。
(3) 存在这样的m，求解如下：
在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠CBA=30°，AC=4，
∴ AB=2AC=8，BC=√(AB² -AC²)=4√3。
建立坐标系：设C(0,0)，A(0,4)，B(4√3,0)，则AB的直线方程为$y= -\frac{1}{\sqrt{3}}x +4$。
将AB沿CB方向（x轴正方向）平移m个单位，得DE的直线方程为$y= -\frac{1}{\sqrt{3}}(x - (4\sqrt{3}+m))$，整理为$x +\sqrt{3}y - (4\sqrt{3}+m)=0$。
∵ ∠CPA=45°，
∴ 点P在以AC为弦、圆周角为45°的圆上，该圆的圆心为(2,2)，半径$R=2\sqrt{2}$。
当直线DE与该圆相切时，存在唯一的点P，此时四边形ADEB的面积最大（面积$S=4m$，m最大时S最大）。
根据点到直线距离公式，圆心(2,2)到DE的距离等于半径：
$\frac{|2 + \sqrt{3}×2 - (4\sqrt{3}+m)|}{\sqrt{1+3}}=2\sqrt{2}$，
化简得$\frac{|2 -2\sqrt{3} -m|}{2}=2\sqrt{2}$，
∵ m＞0，
∴ $2 -2\sqrt{3} -m ＜0$，故$\frac{m +2\sqrt{3} -2}{2}=2\sqrt{2}$，
解得$m=4\sqrt{2} -2\sqrt{3} +2$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) ①4；②$4\sqrt{3}+8$；(3) 存在，$m=4\sqrt{2}-2\sqrt{3}+2$
【知识点】
圆周角定理、三角形面积、平移性质
【点评】
本题综合考查圆周角性质、等边三角形判定、平移性质及圆的切线应用，解题关键是理解点A的位置特征及平移后直线与圆相切的临界条件，需熟练运用相关定理和公式。
【难度系数】
0.5
(1) 要证明∠BA'C＜30°，利用圆周角的外角性质：连接A'B与圆交于点D，弧BC所对的圆周角∠BDC=∠BAC=30°，而∠BDC是△A'DC的外角，故∠BDC=∠BA'C+∠A'CD，由此可推导结论；
(2) ①根据圆周角定理，同弧所对圆心角是圆周角的2倍，结合BC长度可求半径；②当△ABC中BC边上的高最大时面积最大，圆上点到BC的最大距离为圆心到BC的距离加半径，据此计算最大面积；
(3) 先确定△ABC各边长度，AB平移后DE平行AB，∠CPA=45°时点P在以AC为弦、圆周角45°的圆上，直线DE与该圆相切时存在点P且四边形ADEB面积最大，利用点到直线距离公式求解平移距离m。
【解析】
(1) 证明：连接A'B，交圆于点D，连接CD。
∵ ∠BDC与∠BAC都是弧BC所对的圆周角，
∴ ∠BDC=∠BAC=30°。
又
∵ ∠BDC是△A'DC的外角，
∴ ∠BDC=∠BA'C + ∠A'CD，
∴ ∠BA'C=∠BDC - ∠A'CD ＜ ∠BDC=30°，即∠BA'C＜30°。
(2) ①设弧BC所在圆的圆心为O，连接OB、OC。
∵ ∠BAC=30°，
∴ 弧BC所对的圆心角∠BOC=2∠BAC=60°。
又
∵ OB=OC，BC=4，
∴ △BOC是等边三角形，
∴ OB=BC=4，即圆的半径为4。
②当点A到BC的距离最大时，△ABC的面积最大。
过O作OH⊥BC于H，由等边三角形性质，BH=2，OH=√(OB² - BH²)=√(16-4)=2√3。
圆上点到BC的最大距离为OH + OB=2√3 +4，
∴ △ABC面积最大值为$\frac{1}{2}×BC×最大高=\frac{1}{2}×4×(2\sqrt{3}+4)=4\sqrt{3}+8$。
(3) 存在这样的m，求解如下：
在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠CBA=30°，AC=4，
∴ AB=2AC=8，BC=√(AB² -AC²)=4√3。
建立坐标系：设C(0,0)，A(0,4)，B(4√3,0)，则AB的直线方程为$y= -\frac{1}{\sqrt{3}}x +4$。
将AB沿CB方向（x轴正方向）平移m个单位，得DE的直线方程为$y= -\frac{1}{\sqrt{3}}(x - (4\sqrt{3}+m))$，整理为$x +\sqrt{3}y - (4\sqrt{3}+m)=0$。
∵ ∠CPA=45°，
∴ 点P在以AC为弦、圆周角为45°的圆上，该圆的圆心为(2,2)，半径$R=2\sqrt{2}$。
当直线DE与该圆相切时，存在唯一的点P，此时四边形ADEB的面积最大（面积$S=4m$，m最大时S最大）。
根据点到直线距离公式，圆心(2,2)到DE的距离等于半径：
$\frac{|2 + \sqrt{3}×2 - (4\sqrt{3}+m)|}{\sqrt{1+3}}=2\sqrt{2}$，
化简得$\frac{|2 -2\sqrt{3} -m|}{2}=2\sqrt{2}$，
∵ m＞0，
∴ $2 -2\sqrt{3} -m ＜0$，故$\frac{m +2\sqrt{3} -2}{2}=2\sqrt{2}$，
解得$m=4\sqrt{2} -2\sqrt{3} +2$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) ①4；②$4\sqrt{3}+8$；(3) 存在，$m=4\sqrt{2}-2\sqrt{3}+2$
【知识点】
圆周角定理、三角形面积、平移性质
【点评】
本题综合考查圆周角性质、等边三角形判定、平移性质及圆的切线应用，解题关键是理解点A的位置特征及平移后直线与圆相切的临界条件，需熟练运用相关定理和公式。
【难度系数】
0.5
