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3. 有27个玻璃球，其中1个比其余的重一些，用天平至少称(
3
)次，能保证找出这个重一些的玻璃球。答案
3
解析
【分析】
要保证找出较重的玻璃球，需运用天平找次品的最优策略：将物品尽量平均分成3份，每次称量可排除最多的正品，快速缩小次品所在范围。27个玻璃球每次称量后范围缩小为原来的1/3，逐步推导即可得到最少称量次数。
【解析】
1. 第一次称量：把27个玻璃球平均分成3份，每份9个，任取两份放在天平两端。若天平平衡，较重的玻璃球在未取的9个中；若不平衡，较重的在天平下沉的9个中。
2. 第二次称量：把含较重玻璃球的9个平均分成3份，每份3个，重复上述操作，确定较重的玻璃球在某3个中。
3. 第三次称量：把含较重玻璃球的3个平均分成3份，每份1个，任取两个放在天平两端。若平衡，未取的是较重的；若不平衡，下沉的是较重的。因此至少称3次能保证找出这个重一些的玻璃球。
【答案】
3
【知识点】
找次品问题
【点评】
本题是典型的天平找次品问题，核心是运用三分法的最优策略，通过每次称量缩小次品范围，属于基础应用题，需掌握找次品的基本方法。
【难度系数】
0.5
要保证找出较重的玻璃球，需运用天平找次品的最优策略：将物品尽量平均分成3份，每次称量可排除最多的正品，快速缩小次品所在范围。27个玻璃球每次称量后范围缩小为原来的1/3，逐步推导即可得到最少称量次数。
【解析】
1. 第一次称量：把27个玻璃球平均分成3份，每份9个，任取两份放在天平两端。若天平平衡，较重的玻璃球在未取的9个中；若不平衡，较重的在天平下沉的9个中。
2. 第二次称量：把含较重玻璃球的9个平均分成3份，每份3个，重复上述操作，确定较重的玻璃球在某3个中。
3. 第三次称量：把含较重玻璃球的3个平均分成3份，每份1个，任取两个放在天平两端。若平衡，未取的是较重的；若不平衡，下沉的是较重的。因此至少称3次能保证找出这个重一些的玻璃球。
【答案】
3
【知识点】
找次品问题
【点评】
本题是典型的天平找次品问题，核心是运用三分法的最优策略，通过每次称量缩小次品范围，属于基础应用题，需掌握找次品的基本方法。
【难度系数】
0.5
二、解决问题。
答案
3×3=9
12＞9
3×3×3=27
12＜27
答：至少称3次可以保证找出这袋质量不足的次品。
12＞9
3×3×3=27
12＜27
答：至少称3次可以保证找出这袋质量不足的次品。
解析
【分析】
用天平找次品时，最优策略是将待测物品分成3份，利用每次称量可区分3组的特点，n次称量最多能检测3ⁿ个物品。解题时先计算3的幂次，对比待测物品数量，判断最少称量次数：若待测数大于3⁽ⁿ⁻¹⁾且小于等于3ⁿ，则至少需要n次称量才能保证找到次品。本题待测物品为12袋，据此分析次数。
【解析】
1. 先计算2次称量最多可检测的物品数：3×3=9（个），由于12＞9，说明2次无法保证找出12袋中的次品；
2. 再计算3次称量最多可检测的物品数：3×3×3=27（个），因为12＜27，说明3次足够保证找出次品；
综上，至少称3次可以保证找出这袋质量不足的次品。
【答案】
至少称3次可以保证找出这袋质量不足的次品。
【知识点】
找次品问题
【点评】
本题考查天平找次品的最优策略，核心是利用“每次称量可区分3组”的规律，通过3的幂次快速确定最少称量次数，需掌握找次品的基本逻辑。
【难度系数】
0.5
用天平找次品时，最优策略是将待测物品分成3份，利用每次称量可区分3组的特点，n次称量最多能检测3ⁿ个物品。解题时先计算3的幂次，对比待测物品数量，判断最少称量次数：若待测数大于3⁽ⁿ⁻¹⁾且小于等于3ⁿ，则至少需要n次称量才能保证找到次品。本题待测物品为12袋，据此分析次数。
【解析】
1. 先计算2次称量最多可检测的物品数：3×3=9（个），由于12＞9，说明2次无法保证找出12袋中的次品；
2. 再计算3次称量最多可检测的物品数：3×3×3=27（个），因为12＜27，说明3次足够保证找出次品；
综上，至少称3次可以保证找出这袋质量不足的次品。
【答案】
至少称3次可以保证找出这袋质量不足的次品。
【知识点】
找次品问题
【点评】
本题考查天平找次品的最优策略，核心是利用“每次称量可区分3组”的规律，通过3的幂次快速确定最少称量次数，需掌握找次品的基本逻辑。
【难度系数】
0.5
1. 在20个零件里有1个次品(次品质量重一些)，用天平称，至少称几次能保证找出这个次品？(用天平表示出称的过程)
答案
3次
解析
【分析】要保证找出次品，需利用天平平衡原理，采用“三分法”（将物品分成尽可能相等的三份），每次称量可排除两份正品以缩小次品范围。对于20个零件，先分组称量确定次品所在组，再逐步缩小范围，最终通过3次称量即可保证找到次品。
【解析】
步骤1：把20个零件分成（7，7，6）三组，将两个7个的组放在天平两端称量：
若天平平衡，次品在6个的组中；
若天平不平衡，次品在较重的7个的组中。
步骤2：分情况处理：
① 若次品在6个组中，将6分成（2，2，2），任取两组放天平称量：
平衡则次品在未称的2个中；不平衡则在较重的2个中。
② 若次品在7个组中，将7分成（2，2，3），将两个2个的组放天平称量：
平衡则次品在3个中；不平衡则在较重的2个中。
步骤3：分情况处理：
① 若次品在2个中，将2分成（1，1）放天平称量，较重的为次品；
② 若次品在3个中，将3分成（1，1，1），任取两个称量，平衡则未称的是次品，不平衡则较重的是次品。
综上，至少称3次能保证找出次品。
【答案】3次
【知识点】找次品（天平称重）
【点评】本题考查找次品的最优策略，核心是运用“三分法”缩小次品范围，需结合天平平衡原理逐步排查，是典型的逻辑推理类题目。
【难度系数】0.6
【解析】
步骤1：把20个零件分成（7，7，6）三组，将两个7个的组放在天平两端称量：
若天平平衡，次品在6个的组中；
若天平不平衡，次品在较重的7个的组中。
步骤2：分情况处理：
① 若次品在6个组中，将6分成（2，2，2），任取两组放天平称量：
平衡则次品在未称的2个中；不平衡则在较重的2个中。
② 若次品在7个组中，将7分成（2，2，3），将两个2个的组放天平称量：
平衡则次品在3个中；不平衡则在较重的2个中。
步骤3：分情况处理：
① 若次品在2个中，将2分成（1，1）放天平称量，较重的为次品；
② 若次品在3个中，将3分成（1，1，1），任取两个称量，平衡则未称的是次品，不平衡则较重的是次品。
综上，至少称3次能保证找出次品。
【答案】3次
【知识点】找次品（天平称重）
【点评】本题考查找次品的最优策略，核心是运用“三分法”缩小次品范围，需结合天平平衡原理逐步排查，是典型的逻辑推理类题目。
【难度系数】0.6
2. 一盒乒乓球，其中有1个是次品（次品质量重一些），用天平称，至少称3次可以保证找到这个较重的乒乓球。这盒乒乓球可能有多少个？
答案
10～27个
解析
【分析】
要解决这个找次品问题，需利用天平找较重次品的规律：当仅含1个较重次品时，称量次数n对应的物品数量范围满足 $3^{n-1} ＜ 物品数量 ≤ 3^n$。已知至少称3次能保证找到次品，将n=3代入该规律，即可算出乒乓球的数量范围。
【解析】
用天平找较重的次品时，称量次数与物品数量的关系为：若称量n次能保证找到次品，则物品数量需满足 $3^{n-1} ＜ 物品数量 ≤ 3^n$。
当n=3时，计算得 $3^{3-1}=9$，$3^3=27$，因此物品数量的范围是9 ＜ 物品数量 ≤27，即这盒乒乓球的数量为10～27个。
【答案】
10～27个
【知识点】
找次品问题
【点评】
本题考查天平找次品的规律应用，核心是掌握称量次数与物品数量的对应关系，属于基础应用题型，难度适中。
【难度系数】
0.5
要解决这个找次品问题，需利用天平找较重次品的规律：当仅含1个较重次品时，称量次数n对应的物品数量范围满足 $3^{n-1} ＜ 物品数量 ≤ 3^n$。已知至少称3次能保证找到次品，将n=3代入该规律，即可算出乒乓球的数量范围。
【解析】
用天平找较重的次品时，称量次数与物品数量的关系为：若称量n次能保证找到次品，则物品数量需满足 $3^{n-1} ＜ 物品数量 ≤ 3^n$。
当n=3时，计算得 $3^{3-1}=9$，$3^3=27$，因此物品数量的范围是9 ＜ 物品数量 ≤27，即这盒乒乓球的数量为10～27个。
【答案】
10～27个
【知识点】
找次品问题
【点评】
本题考查天平找次品的规律应用，核心是掌握称量次数与物品数量的对应关系，属于基础应用题型，难度适中。
【难度系数】
0.5
3. 有8瓶矿泉水，编号是①至⑧，其中有6瓶是合格产品，有2瓶是次品，都轻10克，用天平按如下方式称了3次：第一次：①＋②比③＋④重；第二次：⑤＋⑥比⑦＋⑧轻；第三次：①＋③＋⑤与②＋④＋⑧一样重。那么这两瓶次品分别是哪两瓶？
答案
这两瓶次品分别是④、⑤。
解析
【分析】首先根据天平称量的轻重关系，逐步缩小次品所在的范围：第一次①+②比③+④重，说明次品在③、④中（次品轻，轻的一组含次品）；第二次⑤+⑥比⑦+⑧轻，说明次品在⑤、⑥中；因此两个次品分别来自③、④和⑤、⑥中各1个。再结合第三次称量的等式，利用合格产品重量为标准、次品轻10克的条件，代入计算即可确定具体次品。
【解析】设合格产品每瓶重$x$克，次品每瓶重$(x-10)$克。
1. 第一次称量：①+② ＞ ③+④，因①、②为合格产品，若③、④均合格则①+②=③+④，矛盾，故次品在③、④中；
2. 第二次称量：⑤+⑥ ＜ ⑦+⑧，因⑦、⑧为合格产品，若⑤、⑥均合格则⑤+⑥=⑦+⑧，矛盾，故次品在⑤、⑥中；
因此两个次品为③、④中的1个和⑤、⑥中的1个；
3. 第三次称量：①+③+⑤ = ②+④+⑧，代入合格产品重量得：$x + ③ + ⑤ = x + ④ + x$，化简得$③ + ⑤ = x + ④$；
假设④是次品，则$④=x-10$，代入得$③ + ⑤ = x + (x-10)=2x-10$；
因⑤是⑤、⑥中的次品，故$⑤=x-10$，代入得$③ + (x-10)=2x-10$，解得$③=x$（即③为合格产品），符合“次品在③、④中”的结论；
验证：第一次①+②=2x，③+④=2x-10，满足①+②＞③+④；第二次⑤+⑥=2x-10，⑦+⑧=2x，满足⑤+⑥＜⑦+⑧；第三次左右两边均为$3x-10$，等式成立，故次品为④、⑤。
【答案】④、⑤
【知识点】找次品问题、逻辑推理
【点评】本题通过三次天平称量的轻重关系缩小次品范围，再结合等式关系确定具体次品，考查逻辑推理能力，需逐步分析每一次称量的结论，避免遗漏条件。
【难度系数】0.5
【解析】设合格产品每瓶重$x$克，次品每瓶重$(x-10)$克。
1. 第一次称量：①+② ＞ ③+④，因①、②为合格产品，若③、④均合格则①+②=③+④，矛盾，故次品在③、④中；
2. 第二次称量：⑤+⑥ ＜ ⑦+⑧，因⑦、⑧为合格产品，若⑤、⑥均合格则⑤+⑥=⑦+⑧，矛盾，故次品在⑤、⑥中；
因此两个次品为③、④中的1个和⑤、⑥中的1个；
3. 第三次称量：①+③+⑤ = ②+④+⑧，代入合格产品重量得：$x + ③ + ⑤ = x + ④ + x$，化简得$③ + ⑤ = x + ④$；
假设④是次品，则$④=x-10$，代入得$③ + ⑤ = x + (x-10)=2x-10$；
因⑤是⑤、⑥中的次品，故$⑤=x-10$，代入得$③ + (x-10)=2x-10$，解得$③=x$（即③为合格产品），符合“次品在③、④中”的结论；
验证：第一次①+②=2x，③+④=2x-10，满足①+②＞③+④；第二次⑤+⑥=2x-10，⑦+⑧=2x，满足⑤+⑥＜⑦+⑧；第三次左右两边均为$3x-10$，等式成立，故次品为④、⑤。
【答案】④、⑤
【知识点】找次品问题、逻辑推理
【点评】本题通过三次天平称量的轻重关系缩小次品范围，再结合等式关系确定具体次品，考查逻辑推理能力，需逐步分析每一次称量的结论，避免遗漏条件。
【难度系数】0.5
4. 有32瓶同样的水，小明往其中1瓶里加了一些盐。假如用天平称，那么至少称几次能保证找出加盐的这瓶水？
答案
4次
解析
【分析】
要保证找出加盐的水，需利用天平平衡原理，通过合理分组缩小次品范围，核心是将物品分成三份（尽量平均分），每次称量可排除最多的正品，从而用最少次数找到次品。找次品的规律是：n次称量最多可检测3ⁿ个物品，需找到最小的n使得3ⁿ≥物品总数。本题物品总数为32，计算得3³=27＜32，3⁴=81＞32，因此至少需要4次才能保证找到次品。
【解析】
根据找次品的三分法优化策略，步骤如下：
1. 第一次：将32瓶水分成11瓶、11瓶、10瓶三组，称量两个11瓶的组。若平衡，次品在10瓶组；若不平衡，次品在较重的11瓶组。
2. 第二次：若次品在11瓶组，分成4瓶、4瓶、3瓶，称量两个4瓶组；若次品在10瓶组，分成3瓶、3瓶、4瓶，同理称量两组，确定次品所在组（3瓶或4瓶）。
3. 第三次：若次品在3瓶组，分成1瓶、1瓶、1瓶，称量任意两组；若次品在4瓶组，分成1瓶、1瓶、2瓶，称量两个1瓶组，确定次品在1瓶组或2瓶组。
4. 第四次：若次品在1瓶组，直接找到；若在2瓶组，称量即可确定次品。因此至少称4次能保证找出加盐的水。
【答案】
4次
【知识点】
找次品问题、优化思想
【点评】
本题是典型的找次品优化问题，核心运用三分法原理减少称量次数，需掌握“n次最多检测3ⁿ个物品”的规律，通过合理分组逐步缩小范围，考查逻辑推理与优化策略的应用。
【难度系数】
0.5
要保证找出加盐的水，需利用天平平衡原理，通过合理分组缩小次品范围，核心是将物品分成三份（尽量平均分），每次称量可排除最多的正品，从而用最少次数找到次品。找次品的规律是：n次称量最多可检测3ⁿ个物品，需找到最小的n使得3ⁿ≥物品总数。本题物品总数为32，计算得3³=27＜32，3⁴=81＞32，因此至少需要4次才能保证找到次品。
【解析】
根据找次品的三分法优化策略，步骤如下：
1. 第一次：将32瓶水分成11瓶、11瓶、10瓶三组，称量两个11瓶的组。若平衡，次品在10瓶组；若不平衡，次品在较重的11瓶组。
2. 第二次：若次品在11瓶组，分成4瓶、4瓶、3瓶，称量两个4瓶组；若次品在10瓶组，分成3瓶、3瓶、4瓶，同理称量两组，确定次品所在组（3瓶或4瓶）。
3. 第三次：若次品在3瓶组，分成1瓶、1瓶、1瓶，称量任意两组；若次品在4瓶组，分成1瓶、1瓶、2瓶，称量两个1瓶组，确定次品在1瓶组或2瓶组。
4. 第四次：若次品在1瓶组，直接找到；若在2瓶组，称量即可确定次品。因此至少称4次能保证找出加盐的水。
【答案】
4次
【知识点】
找次品问题、优化思想
【点评】
本题是典型的找次品优化问题，核心运用三分法原理减少称量次数，需掌握“n次最多检测3ⁿ个物品”的规律，通过合理分组逐步缩小范围，考查逻辑推理与优化策略的应用。
【难度系数】
0.5
