知识清单

1. 找次品最优方法：
把待测物品分成3份，能平均分就平均分成3份，不能平均分的，让3份的数量尽可能接近，最多的一份和最少的一份只相差1。
2. 已知次品比正品轻或重时，保证找出次品的最少称量次数规律：
物品数量为2~3个，至少称1次；
物品数量为4~9个，至少称2次；
物品数量为10~27个，至少称3次；
物品数量为28~81个，至少称4次。

【分析】
要解决找次品问题，核心是利用天平平衡原理，通过分组称量缩小次品范围。最优分组方式是将待测物品分成3份，因为每次称量可判断次品在2份中，能最大程度减少称量次数；若物品数量不能平均分，需让3份数量尽可能接近，最多与最少的份数差1，保证每次排除尽可能多的正品。另外，已知次品轻重时，最少称量次数与物品数量范围和3的幂次相关，可通过3的n次幂对应物品区间确定次数，以此快速解题。
【解析】
1. 找次品最优分组方法：把待测物品分成3份，能平均分的平均分成3份；不能平均分的，让3份的数量尽可能接近，最多的一份与最少的一份只相差1。
2. 已知次品比正品轻或重时，保证找出次品的最少称量次数规律：物品数量为2~3个，至少称1次；物品数量为4~9个，至少称2次；物品数量为10~27个，至少称3次；物品数量为28~81个，至少称4次。
【答案】
1. 找次品最优方法：
把待测物品分成3份，能平均分就平均分成3份，不能平均分的，让3份的数量尽可能接近，最多的一份和最少的一份只相差1。
2. 已知次品比正品轻或重时，保证找出次品的最少称量次数规律：
物品数量为2~3个，至少称1次；
物品数量为4~9个，至少称2次；
物品数量为10~27个，至少称3次；
物品数量为28~81个，至少称4次。
【知识点】
找次品问题，优化分组策略
【点评】
该知识清单系统梳理了找次品问题的核心知识点，涵盖最优分组方法和最少称量次数规律，是解决找次品问题的关键依据，帮助学生快速掌握解题核心逻辑，提升解题效率。
【难度系数】
0.3

用天平找次品,如果待测物品是3个或3个以上,首先要把待测物品分成()份,能平均分的要(),不能平均分的,让每组数量尽可能接近,且3份中有2份数量相等,这样可以保证找出次品所称的次数最少。

3，平均分

【分析】
要解决这个问题，需回忆用天平找次品时的最优分组策略：当待测物品为3个或3个以上时，为保证找出次品的称量次数最少，分组方式是关键。若分成3份，可通过一次称量确定次品所在的那份（平衡则在未称的份，不平衡则在轻/重的份），比分2份或更多份更高效；若能平均分则平均分，能最大程度减少称量次数。
【解析】
根据找次品的最优分组规则，待测物品3个及以上时，首先要分成3份，能平均分的要平均分，这样可保证找出次品的次数最少，因此两个空依次填3、平均分。
【答案】
3，平均分
【知识点】
找次品的最优策略
【点评】
本题考查用天平找次品的基础最优分组方法，属于概念识记类题目，是找次品问题的核心知识点，需准确掌握分组规则以减少称量次数。
【难度系数】
0.8

例 判断:有5个零件,其中1个是次品,次品稍轻,笑笑只用天平称一次就一定能找到这个次品。
（）
错误解答:√ 正确解答:×
错因分析:特殊情况下一次能称出来,但是只称一次是不能保证一定能找出次品的。要保证找出次品,一定要考虑各种可能的情况。此题至少要称两次才能保证找到这个次品。
训练题 有24袋巧克力,其中23袋质量相同,只有1袋被淘气吃了一颗。如果用天平称,至少称()次能保证找出这一袋。

3

【分析】
要解决找次品问题，需运用最优策略：将待测物品分成3份，尽量平均分（不能平均分则多的与少的相差1），每次称量可排除最多正品，保证找到次品的次数最少。对于24袋巧克力，按此策略逐步缩小次品范围，确保无论哪种情况都能在最少次数内找到次品。
【解析】
1. 第一次称量：把24袋巧克力平均分成3份，每份8袋，天平两边各放8袋，剩下8袋。
若天平平衡，次品在剩下的8袋中；
若天平不平衡，次品在较轻的8袋中。
2. 第二次称量：将含次品的8袋分成3份（3袋、3袋、2袋），天平两边各放3袋。
若天平平衡，次品在剩下的2袋中；
若天平不平衡，次品在较轻的3袋中。
3. 第三次称量：
若次品在2袋中，天平两边各放1袋，较轻的即为次品；
若次品在3袋中，天平两边各放1袋，平衡则剩下的是次品，不平衡则较轻的是次品。
综上，至少称3次能保证找出这袋巧克力。
【答案】
3
【知识点】
找次品问题
【点评】
本题考查找次品的最优策略，核心是掌握将待测物品分成3份的方法，需注意“保证找到”要考虑最坏情况，避免特殊情况的偶然性。
【难度系数】
0.5

1. 有3个外观相同的小球，其中1个较轻，用天平至少称()次，能保证找出这个轻一些的小球。

1

【分析】
要找出3个外观相同小球中较轻的那个，可利用天平平衡的原理。将3个小球任意分成3组（每组1个），第一次取其中两组放在天平两端，若天平平衡，则未称的小球是较轻的；若天平不平衡，轻的一端就是要找的小球，因此只需1次就能保证找出目标小球。
【解析】
把3个小球分别标记为①、②、③：
第一次：将①和②放在天平两端，
若天平平衡，则较轻的小球是③；
若天平不平衡，轻的一端的小球即为要找的较轻小球。
综上，至少称1次能保证找出这个轻一些的小球。
【答案】
1
【知识点】
找次品
【点评】
本题是找次品问题的基础题型，核心是利用天平平衡原理合理分组，通过少量称量即可确定目标，难度较低，适合巩固找次品的基础方法。
【难度系数】
0.8

2. 乐乐买了9袋薯片，其中8袋质量相同，另外1袋质量较轻，怎样用天平找出这袋薯片？把下表补充完整。
| 薯片袋数 | 分成的份数 | 每份的数量 | 找出次品至少需要称的次数 |
| :------: | :---------: | :--------: | :----------------------: |
| 9 | 5 | 2,2,2,2,1 | 3 |
| 9 | 5 | 1,1,1, 5 | 4 |
| 9 | 3 | | |
| 9 | 3 | | |
我发现:用天平找次品,如果待测物品是3个或3个以上,首先要把待测物品分成3份,能平均分的要(),不能平均分的要使多的那一份与少的那一份相差(),这样能保证找出次品所称的次数最少。

| 薯片袋数 | 分成的份数 | 每份的数量 | 找出次品至少需要称的次数 |
| :------: | :---------: | :--------: | :----------------------: |
| 9 | 5 | 2,2,2,2,1 | 3 |
| 9 | 5 | 1,1,1,1,5 | 4 |
| 9 | 3 | 3,3,3 | 2 |
| 9 | 3 | 4,4,1 | 3 |
平均分
1

【分析】
找次品的核心是利用天平平衡原理，每次称量可将待测范围缩小到原来的1/3左右，最优策略是把待测物品分成3份且尽可能平均分，这样能最大程度减少称量次数。对于9袋薯片，分成3份时，平均分的分法能让每次排除的正品最多，保证称量次数最少；不平均分的分法会增加称量次数。需明确不同分法对应的每份数量和保证找到次品的最少次数，最后总结最优规律。
【解析】
1. 当薯片袋数为9，分成3份时：
第一种分法：平均分，每份数量为 $9÷3=3$，即分法为3,3,3。称量时，先把两份3袋的放在天平两端，若平衡，次品在剩下的3袋中；若不平衡，次品在轻的3袋中。再把有次品的3袋分成1,1,1，称1次即可找到次品，因此至少需要称2次。
第二种分法：不平均分，每份数量为4,4,1。称量时，先称两份4袋的，若平衡，次品是剩下的1袋；若不平衡，次品在轻的4袋中，需再称2次（分2,2称，再分1,1称），因此保证找到次品至少需要称3次。
2. 总结规律：用天平找次品，若待测物品是3个或3个以上，首先要把待测物品分成3份，能平均分的要平均分，不能平均分的要使多的那一份与少的那一份相差1，这样能保证找出次品所称的次数最少。
【答案】
表格补充后：
| 薯片袋数 | 分成的份数 | 每份的数量 | 找出次品至少需要称的次数 |
| :------: | :---------: | :--------: | :----------------------: |
| 9 | 5 | 2,2,2,2,1 | 3 |
| 9 | 5 | 1,1,1,1,5 | 4 |
| 9 | 3 | 3,3,3 | 2 |
| 9 | 3 | 4,4,1 | 3 |；平均分；1
【知识点】
找次品最优策略、天平平衡原理
【点评】
本题考查找次品的优化方法，核心是掌握“分3份、尽量平均”的原则，该原则能有效减少称量次数，培养学生的逻辑推理和优化思想，属于数学广角的典型问题。
【难度系数】
0.5