8 (2025 盐城东台月考) 若 $a^{m}=a^{n}(a ＞ 0$，且 $a ≠ 1$，$m$，$n$ 是正整数)，则 $m = n$。
利用上面的结论解决下列问题。
(1) 若 $8^{x}·16^{x}=2^{7}$，求 $x$ 的值；
(2) 若 $2^{x}+2^{x + 1}=24$，求 $x$ 的值；
(3) 若 $x = 5^{m}$，$y = 4 - 25^{m}$，用含 $x$ 的代数式表示 $y$。

解：(1) 根据题意，得 $8^{x}· 16^{x}=2^{3x}· 2^{4x}=2^{7x}=2^{7}$，所以 $7x = 7$，解得 $x = 1$。
(2) 因为 $2^{x}+2^{x + 1}=24$，所以 $2^{x}× (2 + 1)=24$，所以 $2^{x}=8$，解得 $x = 3$。
(3) 根据题意，得 $y = 4 - 25^{m}=4-(5^{2})^{m}=4-(5^{m})^{2}=4 - x^{2}$，所以 $y = 4 - x^{2}$。

9 (2025 南京秦淮期中) 【课内回顾】(1) 若 $ac = bc$，则当 $c$ 满足时，$a = b$；
【阅读材料】如果一个幂的结果等于 $1$，那么有下列三种情况：① 底数不为零的零指数幂，例如：$3^{0}=1$；② 底数为 $1$ 的整数幂，例如：$1^{-2}=1$；③ 底数为 $-1$ 的偶数次幂，例如：$(-1)^{2}=1$。
【知识运用】(2) 若 $(x + 2)^{x + 4}=1$，求 $x$ 的值；
(3) 若 $(x + 2)^{x + 4}=x + 2$，则 $x =$。

解：(1) $c≠ 0$
(2) 分下列三种情况：
①当 $x + 4 = 0$，且 $x + 2≠ 0$ 时，解得 $x = -4$，符合题意；
②当 $x + 2 = 1$ 时，解得 $x = -1$，此时 $x + 4 = 3$ 为整数，符合题意；
③当 $x + 2 = -1$ 时，解得 $x = -3$，此时 $x + 4 = 1$ 不是偶数，不符合题意，舍去。
综上，$x$ 的值为 $-4$ 或 $-1$。
(3) $-2$ 或 $-1$ 或 $-3$

10 (2025 苏州高新区月考) 规定两数 $a$，$b$ 之间的一种运算，记作 $(a,b)$：如果 $a^{c}=b$，那么 $(a,b)=c$，例如：因为 $2^{3}=8$，所以 $(2,8)=3$。根据上述规定，若 $(2,10)=x$，$(2,5)=y$，则 $2^{x - y}$ 的值为。

10. 2

11 (初高衔接)(2025 无锡江阴月考) 阅读材料：一般地，若 $a^{x}=N(a ＞ 0$，且 $a ≠ 1)$，则 $x$ 叫作以 $a$ 为底 $N$ 的对数，记作 $x = \log_{a}N$，例如：指数式 $2^{3}=8$ 可以转化为对数式 $3 = \log_{2}8$，对数式 $2 = \log_{6}36$ 可以转化为指数式 $6^{2}=36$。
根据上述材料，解决下列问题。
(1) 计算：$\log_{2}4=$，$\log_{2}16=$，$\log_{2}64=$；
(2) 猜想：$\log_{a}M + \log_{a}N=\_\_\_\_\_\_(a ＞ 0$，且 $a ≠ 1$，$M ＞ 0$，$N ＞ 0)$；
(3) 若 $\log_{a}5 = 3(a ＞ 0$，且 $a ≠ 1)$，求 $\log_{a}25$ 和 $\log_{a}125$ 的值。

解：(1) 2 4 6
(2) $\log_{a}(MN)$
(3) 由(2)知，$\log_{a}(MN)=\log_{a}M+\log_{a}N$。
因为 $\log_{a}5 = 3$，所以 $\log_{a}25=\log_{a}(5× 5)=\log_{a}5+\log_{a}5=3 + 3 = 6$，$\log_{a}125=\log_{a}(25× 5)=\log_{a}25+\log_{a}5=6 + 3 = 9$。