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阅读下面数学材料,并完成相应的任务:
黄金分割数
一般地,若一条线段上的一点将这条线段分成不相等的两条线段,且较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比,则这个点称为原线段的黄金分割点,这个相等的比值称为黄金分割数.
例如,如图①,点 C 为线段 AB 上一点,点 C 把线段 AB 分成 AC 和 BC 两段,其中 AC＜BC. 若线段 AC,BC,AB 之间的关系满足$\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{BC}{AB}=k$,则点 C 是线段 AB 的一个黄金分割点,k 称为黄金分割数.
下面是求黄金分割数 k 的解答过程:设 $AB=1,BC=x$,则 $AC=1-x ······$
任务:
(1)概念理解:根据材料可知,一条线段有
(2)①补全材料中求黄金分割数 k 的解答过程.
②如图②,在$△ ABC$中,已知$AB=AC=3,BC=4$,若 D,E 是边 BC 的两个“黄金分割”点,则$△ ADE$的面积为
(3)拓展应用:如图③,在线段 AB 上用无刻度的直尺和圆规求作一点 C,使得$\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}$.(保留作图痕迹,不写作法)
黄金分割数
一般地,若一条线段上的一点将这条线段分成不相等的两条线段,且较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比,则这个点称为原线段的黄金分割点,这个相等的比值称为黄金分割数.
例如,如图①,点 C 为线段 AB 上一点,点 C 把线段 AB 分成 AC 和 BC 两段,其中 AC＜BC. 若线段 AC,BC,AB 之间的关系满足$\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{BC}{AB}=k$,则点 C 是线段 AB 的一个黄金分割点,k 称为黄金分割数.
下面是求黄金分割数 k 的解答过程:设 $AB=1,BC=x$,则 $AC=1-x ······$
任务:
(1)概念理解:根据材料可知,一条线段有
2
个黄金分割点.(2)①补全材料中求黄金分割数 k 的解答过程.
②如图②,在$△ ABC$中,已知$AB=AC=3,BC=4$,若 D,E 是边 BC 的两个“黄金分割”点,则$△ ADE$的面积为
10-4√5
.(3)拓展应用:如图③,在线段 AB 上用无刻度的直尺和圆规求作一点 C,使得$\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}$.(保留作图痕迹,不写作法)
答案
(1) 2 解析:
∵ 一条线段上有两个不同的点可以将线段分成不相等的两条线段,且满足较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比,
∴ 一条线段有 2 个黄金分割点.
(2)①根据$\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{BC}{AB}$,得$\dfrac{1-x}{x}=\dfrac{x}{1}$,则 $1-x=x^{2}$,$x^{2}+x-1=0$,解得$x_{1}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$,$x_{2}=\dfrac{-\sqrt{5}-1}{2}$(舍去),$\therefore k=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$.
②$10-4\sqrt{5}$ 解析:如图①所示,过点 A 作$AF ⊥ BC$于 F,设 $BD = x$,则 $CD = 4 - x$.
$\because AB=AC=3,BC=4,\therefore BF=CF=\dfrac{1}{2}BC=2$,
$\therefore AF=\sqrt{AB^{2}-BF^{2}}=\sqrt{5}.\because$ 点 D 是边 BC 的“黄金分割”点,$\therefore \dfrac{BD}{CD}=\dfrac{CD}{BC}$,$\therefore \dfrac{x}{4-x}=\dfrac{4-x}{4}$,解得 $x=6-2\sqrt{5}$(经检验,符合题意) 或 $x=6+2\sqrt{5}$(舍去),同理可得 $CE=6-2\sqrt{5}$,
$\therefore DE=BC-BD-CE=4\sqrt{5}-8$,$\therefore S_{△ ADE}=\dfrac{1}{2}AF· DE=\dfrac{1}{2}×\sqrt{5}×(4\sqrt{5}-8)=10-4\sqrt{5}$.
(3)示意图如图②所示,点 C 即为所求.(答案不唯一)
解析:$\because \dfrac{3-\sqrt{5}}{2}=1-\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$,而$\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$是黄金分割数,先作线段 AB 的垂直平分线 OF,交线段 AB 于点 O,以点 B 为圆心,过点 B 以 BO 为半径作垂线 BD,连接 AD,再以点 D 为圆心,DB 为半径画弧,交 AD 于点 E,最后以点 A 为圆心,AE 为半径画弧,交 AB 于点 C,此时点 C 即为所求.
证明:设 AB 的长度为 2a,$\because OF$ 为 AB 的垂直平分线,$\therefore AO=OB=a$.又$\because BD=OB=a$,$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ ABD$中,由勾股定理得,$AD=\sqrt{AB^{2}+BD^{2}}=\sqrt{5}a.\because DB=DE=a$,$\therefore AE=AD-DE=(\sqrt{5}-1)a$.
$\because AC=AE=(\sqrt{5}-1)a$,$\therefore CB=AB-AC=2a-[(\sqrt{5}-1)a]=(3-\sqrt{5})a$,$\therefore \dfrac{BC}{AB}=\dfrac{(3-\sqrt{5})a}{2a}=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}$.
解析
【分析】
首先明确黄金分割点的定义：一条线段上存在两个不同的点，使得较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比，据此可确定黄金分割点的数量；求黄金分割数时，通过设未知数，根据定义列一元二次方程求解；对于等腰三角形中的黄金分割点，先利用等腰三角形三线合一求出高，再结合黄金分割比例关系计算线段长度，进而求三角形面积；尺规作图部分，需结合垂直平分线、勾股定理构造满足比例的线段，完成作图。
【解析】
(1) 根据黄金分割点的定义，一条线段上有2个不同的点满足黄金分割的比例关系，故一条线段有2个黄金分割点。
(2) ① 设$AB=1$，$BC=x$，则$AC=1-x$，由黄金分割的比例关系$\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{BC}{AB}$，得$\dfrac{1-x}{x}=\dfrac{x}{1}$，整理为$x^2 + x -1=0$，解此一元二次方程：$x=\dfrac{-1\pm\sqrt{1+4}}{2}=\dfrac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$，舍去负根，得$x=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$，故黄金分割数$k=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$。
② 过点$A$作$AF⊥ BC$于$F$，因为$AB=AC=3$，$BC=4$，由等腰三角形三线合一得$BF=CF=\dfrac{1}{2}BC=2$，则高$AF=\sqrt{AB^2 - BF^2}=\sqrt{3^2 -2^2}=\sqrt{5}$。设$BD=x$，则$CD=4-x$，因为$D$是$BC$的黄金分割点，故$\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{CD}{BC}$，即$\dfrac{x}{4-x}=\dfrac{4-x}{4}$，整理得$x^2 -12x +16=0$，解得$x=6\pm2\sqrt{5}$，舍去大于4的根$6+2\sqrt{5}$，得$BD=6-2\sqrt{5}$，同理$CE=6-2\sqrt{5}$，则$DE=BC - BD - CE=4-(6-2\sqrt{5})-(6-2\sqrt{5})=4\sqrt{5}-8$，故$△ ADE$的面积为$\dfrac{1}{2}× AF× DE=\dfrac{1}{2}×\sqrt{5}×(4\sqrt{5}-8)=10-4\sqrt{5}$。
(3) 尺规作图：①作线段$AB$的垂直平分线$OF$，交$AB$于点$O$；②以$B$为圆心，$BO$长为半径作$AB$的垂线$BD$；③连接$AD$，以$D$为圆心，$DB$长为半径画弧，交$AD$于点$E$；④以$A$为圆心，$AE$长为半径画弧，交$AB$于点$C$，则点$C$即为所求（保留作图痕迹）。
【答案】
(1) $2$；(2) ① $k=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$；② $10-4\sqrt{5}$；(3) 作图如要求所示，点$C$即为所求。
【知识点】
黄金分割、一元二次方程、等腰三角形性质、尺规作图
【点评】
本题围绕黄金分割展开，涵盖概念理解、代数计算、几何应用及尺规作图，需熟练掌握黄金分割的比例关系，结合一元二次方程求解，等腰三角形性质及勾股定理的应用，综合性较强，对学生的知识迁移能力要求较高。
【难度系数】
0.4
首先明确黄金分割点的定义：一条线段上存在两个不同的点，使得较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比，据此可确定黄金分割点的数量；求黄金分割数时，通过设未知数，根据定义列一元二次方程求解；对于等腰三角形中的黄金分割点，先利用等腰三角形三线合一求出高，再结合黄金分割比例关系计算线段长度，进而求三角形面积；尺规作图部分，需结合垂直平分线、勾股定理构造满足比例的线段，完成作图。
【解析】
(1) 根据黄金分割点的定义，一条线段上有2个不同的点满足黄金分割的比例关系，故一条线段有2个黄金分割点。
(2) ① 设$AB=1$，$BC=x$，则$AC=1-x$，由黄金分割的比例关系$\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{BC}{AB}$，得$\dfrac{1-x}{x}=\dfrac{x}{1}$，整理为$x^2 + x -1=0$，解此一元二次方程：$x=\dfrac{-1\pm\sqrt{1+4}}{2}=\dfrac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$，舍去负根，得$x=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$，故黄金分割数$k=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$。
② 过点$A$作$AF⊥ BC$于$F$，因为$AB=AC=3$，$BC=4$，由等腰三角形三线合一得$BF=CF=\dfrac{1}{2}BC=2$，则高$AF=\sqrt{AB^2 - BF^2}=\sqrt{3^2 -2^2}=\sqrt{5}$。设$BD=x$，则$CD=4-x$，因为$D$是$BC$的黄金分割点，故$\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{CD}{BC}$，即$\dfrac{x}{4-x}=\dfrac{4-x}{4}$，整理得$x^2 -12x +16=0$，解得$x=6\pm2\sqrt{5}$，舍去大于4的根$6+2\sqrt{5}$，得$BD=6-2\sqrt{5}$，同理$CE=6-2\sqrt{5}$，则$DE=BC - BD - CE=4-(6-2\sqrt{5})-(6-2\sqrt{5})=4\sqrt{5}-8$，故$△ ADE$的面积为$\dfrac{1}{2}× AF× DE=\dfrac{1}{2}×\sqrt{5}×(4\sqrt{5}-8)=10-4\sqrt{5}$。
(3) 尺规作图：①作线段$AB$的垂直平分线$OF$，交$AB$于点$O$；②以$B$为圆心，$BO$长为半径作$AB$的垂线$BD$；③连接$AD$，以$D$为圆心，$DB$长为半径画弧，交$AD$于点$E$；④以$A$为圆心，$AE$长为半径画弧，交$AB$于点$C$，则点$C$即为所求（保留作图痕迹）。
【答案】
(1) $2$；(2) ① $k=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$；② $10-4\sqrt{5}$；(3) 作图如要求所示，点$C$即为所求。
【知识点】
黄金分割、一元二次方程、等腰三角形性质、尺规作图
【点评】
本题围绕黄金分割展开，涵盖概念理解、代数计算、几何应用及尺规作图，需熟练掌握黄金分割的比例关系，结合一元二次方程求解，等腰三角形性质及勾股定理的应用，综合性较强，对学生的知识迁移能力要求较高。
【难度系数】
0.4
