1. (2026·天津校级月考)某校“研学”活动小组在一次野外实践时,发现一种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出与主干上的支干数目相同的小分支,主干、支干和小分支的总数是43,则这种植物每个支干长出的小分支个数为（）

A.4
B.5
C.6
D.7

1. C 解析:设这种植物每个主干长出 x 个支干,则每个主干长出小分支数目为 x² 个,依题意,得 1+x+x² = 43,解得x₁=-7(舍去),x₂=6.故选 C.

【分析】
要解决这个问题，需先理清植物主干、支干、小分支的数量关系：设主干长出的支干数为$x$，则每个支干长出的小分支数与支干数相同，即小分支总数为$x^2$；再根据三者总数为43，列出总和方程，求解时需舍去不符合实际意义的负数解。
【解析】
设这种植物每个主干长出$x$个支干，则每个支干长出的小分支个数为$x$，因此小分支总个数为$x · x = x^2$。
根据题意，主干、支干和小分支的总数是43，可列方程：
$1 + x + x^2 = 43$
整理得：$x^2 + x - 42 = 0$
因式分解得：$(x + 7)(x - 6) = 0$
解得：$x_1 = -7$，$x_2 = 6$
由于支干个数不能为负数，舍去$x = -7$，因此$x = 6$，即每个支干长出的小分支个数为6。
【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用，实际问题与一元二次方程
【点评】本题是一元二次方程在实际情境中的典型应用，核心是准确梳理各部分数量关系，建立方程后需结合实际意义舍去不合理的解，属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】0.6

2. 改编题 (1)某个病菌经过两轮分裂后变成了169个,那么在每轮分裂中,平均一个病菌可以分裂为个病菌.
(2)某生物实验室需培育一群有益菌.现有60个活体样本,经过两轮培植后,总和达24 000个,其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌.则每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出个有益菌.

2. (1)13 解析:设在每轮分裂中平均一个病菌可以分裂为 x 个病菌,则 x² = 169,解得 x = 13(负值已舍去).
(2)19 解析:设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出 x 个有益菌,根据题意得 60 (1+x)² = 24 000,解得 x₁ = 19,x₂ = -21,
∵ x＞0,
∴ x = 19.

【分析】这是一元二次方程在实际分裂问题中的应用，解题思路为：先设每轮平均一个病菌（或有益菌）的分裂数量为未知数，再根据“初始数量→第一轮后数量→第二轮后数量”的逻辑关系，结合题目给出的两轮后的总数量列出一元二次方程，最后求解并舍去不符合实际意义的负解（分裂数量为正数，故负解需舍去）。
【解析】
(1) 设在每轮分裂中，平均一个病菌可以分裂为$ x $个病菌。
第一轮分裂后病菌数量为$ x $个，第二轮分裂后病菌数量为$ x · x = x^2 $个。
根据两轮分裂后变为169个，列方程：$ x^2 = 169 $。
解得$ x = \pm13 $，因分裂数量为正数，舍去负值，故$ x = 13 $。
(2) 设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出$ x $个有益菌。
初始有60个有益菌，第一轮分裂后数量为$ 60(1+x) $个，第二轮分裂后数量为$ 60(1+x)(1+x) = 60(1+x)^2 $个。
根据两轮培植后总和达24000个，列方程：$ 60(1+x)^2 = 24000 $。
化简得$ (1+x)^2 = 400 $，开方得$ 1+x = \pm20 $。
解得$ x_1 = 19 $，$ x_2 = -21 $，因分裂数量为正数，舍去负值，故$ x = 19 $。
【答案】(1)13；(2)19
【知识点】一元二次方程的应用，实际问题与一元二次方程
【点评】本题是一元二次方程在实际分裂场景中的基础应用，重点考查对“两轮分裂”数量关系的理解，需注意解出方程后结合实际意义舍去负解，属于常规难度的应用题。
【难度系数】0.6

3. (1)(2026·昆明月考)期末即将到来,为激励大家,班主任要求班上每位同学给同组的其他同学写一份拼搏进取的留言,小红所在的学习小组共写了56份留言,设该学习小组共有$x$人,可列方程为.
(2)某中学九年级(4)班在毕业典礼上,每两位同学都相互握了一次手,有人统计一共握了465次手,则九年级(4)班的同学共有名.

3. (1)x(x-1)=56 解析:设该学习小组有 x 人,则每人写(x-1)份留言,共写 x(x-1)份留言,
∴ 可列方程为 x(x-1)=56.
(2)31 解析:设九年级(4)班的同学共有 x 名,依题意得$\frac{1}{2}x(x-1)=465$,整理得$x^2-x-930=0$,解得$x_1=31$,$x_2=-30$(不符合题意,舍去),
∴ 九年级(4)班的同学共有 31 名.

【分析】
本题是一元二次方程的实际应用问题，需区分两种互动场景的等量关系：(1)互写留言是单向的，每人需给除自己外的其他同学写留言，总留言数为人数×每人写的份数；(2)握手是双向的，两人之间仅握一次手，总握手次数为组合数（即总人次的一半）。需根据题意设未知数，找到对应等量关系列方程，最后舍去不符合实际意义的解。
【解析】
(1) 设该学习小组共有$x$人，因为每人不能给自己写留言，所以每人写$(x-1)$份留言，总留言数为$x(x-1)$份，已知总留言56份，因此可列方程：$x(x-1)=56$。
(2) 设九年级(4)班共有$x$名同学，每两位同学相互握一次手，总握手次数为从$x$人中选2人的组合数，即$\frac{1}{2}x(x-1)$次，已知总握手465次，列方程：$\frac{1}{2}x(x-1)=465$，整理得$x^2 - x - 930 = 0$，用求根公式解得$x_1=31$，$x_2=-30$（人数不能为负数，舍去），因此班级共有31名同学。
【答案】
(1)$x(x-1)=56$；(2)31
【知识点】
一元二次方程的应用、一元二次方程的解法
【点评】
本题是一元二次方程应用的典型基础题型，核心是区分“单向互赠”和“双向握手”的等量关系，需准确理解题意，避免混淆两种场景的计算方式，解题时要注意舍去不符合实际意义的负根，整体难度适中，是学生需掌握的常规应用题。
【难度系数】
0.6

4. 新趋势 跨学科融合（2026·新余期中）下面这首诗生动地刻画出了周瑜的一生：
大江东去浪淘尽，千古风流数人物；
而立之年督东吴，早逝英年两位数；
十位恰小个位三，个位平方与寿符.
（注：而立之年表示人到了30岁）
聪明的同学，你一定能算得出周瑜去世时的年龄是岁.
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4. 36 解析:设周瑜去世时的年龄的个位上的数为 x,则十位上的数为 x-3,由题意,得$x^2=10(x-3)+x$,即$x^2-11x+30=0$,解得$x_1=5$,$x_2=6$,当 x=5 时,周瑜的年龄 25 岁,非而立之年,不合题意,舍去;当 x=6 时,周瑜的年龄 36 岁,符合题意,故答案为 36.

【分析】首先明确题目中的核心数量关系：周瑜去世时的年龄是两位数，十位数字比个位数字小3，且个位数字的平方等于这个两位数；同时年龄需满足“而立之年（30岁）”的条件。解题时先设个位数字为未知数，用含未知数的式子表示出两位数年龄，再根据“个位平方与寿符”的等量关系列方程，解方程后结合“而立之年”的实际意义舍去不符合的解，即可得到正确答案。
【解析】设周瑜去世时年龄的个位数字为$ x $，则十位数字为$ x - 3 $，该年龄可表示为$ 10(x - 3) + x $。根据“个位平方与寿符”，列方程：
$ x^2 = 10(x - 3) + x $
整理得：$ x^2 - 11x + 30 = 0 $
解得：$ x_1 = 5 $，$ x_2 = 6 $。
当$ x = 5 $时，年龄为$ 10×(5 - 3) + 5 = 25 $岁，小于30岁，不符合“而立之年”的条件，舍去；
当$ x = 6 $时，年龄为$ 10×(6 - 3) + 6 = 36 $岁，符合题意。
【答案】36
【知识点】一元二次方程的应用；数字问题
【点评】本题是跨学科融合的典型题目，结合诗词考查一元二次方程的实际应用，解题关键是找准等量关系列方程，同时需注意检验解是否符合实际意义（如年龄需满足“而立之年”的要求），难度适中，能有效考查学生的应用能力。
【难度系数】0.6

5. 五个连续整数,前三个数的平方和等于后两个数的平方和,则这五个整数的和为.

5. 0 或 60 解析:将这五个连续整数中的第一个数设为 x,那么其余四个数依次为 x+1,x+2,x+3,x+4,根据题意,得$x^2+(x+1)^2+(x+2)^2=(x+3)^2+(x+4)^2$,整理得$x^2-8x-20=0$.根据方程$x^2-8x-20=0$,解得 x=-2 或 x=10.因此这五个连续整数依次为-2,-1,0,1,2 或 10,11,12,13,14.则这五个整数的和为 0 或 60.

【分析】
先设五个连续整数的第一个数为$x$，根据连续整数的关系表示出其余四个数，再依据“前三个数的平方和等于后两个数的平方和”的等量关系列出一元二次方程，解方程得到$x$的取值，最后计算五个整数的和即可。
【解析】
设这五个连续整数的第一个数为$x$，则其余四个数依次为$x+1$、$x+2$、$x+3$、$x+4$。
根据题意列方程：
$x^2 + (x+1)^2 + (x+2)^2 = (x+3)^2 + (x+4)^2$
展开并整理方程：
左边：$x^2 + (x^2+2x+1) + (x^2+4x+4) = 3x^2 +6x +5$
右边：$(x^2+6x+9) + (x^2+8x+16) = 2x^2 +14x +25$
移项得：$3x^2 +6x +5 -2x^2 -14x -25 = 0$，即$x^2 -8x -20 =0$
因式分解得：$(x-10)(x+2)=0$，解得$x=10$或$x=-2$。
当$x=-2$时，五个整数为$-2、-1、0、1、2$，和为$-2-1+0+1+2=0$；
当$x=10$时，五个整数为$10、11、12、13、14$，和为$10+11+12+13+14=60$。
【答案】
0或60
【知识点】
一元二次方程的应用、连续整数的表示
【点评】
本题考查一元二次方程的实际应用，核心是利用连续整数的数量关系设元并建立方程，解方程时需注意完整求解，避免漏解，属于中等难度的代数应用题。
【难度系数】
0.5

6. (2025·双鸭山期末)如图所示的是2026年7月的月历表,用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数,请解答下列问题.
(1)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180,求最小数.
(2)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为80吗?若能,请求出最小数;若不能,请说明理由.

6. (1)设最小数为 x,则最大数为 x+8,由题意得(x+8)x=180,整理得$x^2+8x-180=0$,解得$x_1=-18$(不符合题意,舍去),$x_2=10$,从月历表中可以看出 10 是第二行第 6 个数,符合要求,故最小数为 10.
(2)方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80,理由如下:设最小数为 y,则另外三个数分别是 y+1,y+7,y+8,由题意得 y(y+8)+y+(y+1)+(y+7)+(y+8)=80,整理得$y^2+12y-64=0$,解得$y_1=-16$(不符合题意,舍去),$y_2=4$.
∵ 4 在最后一列,
∴ 假设不成立,即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为 80.

【分析】
要解决这个问题，首先需明确月历中虚线方框圈出的四个数的规律：两行两列排列，同一行相邻数相差1，上下两行同列数相差7，因此四个数可表示为最小数$x$，$x+1$，$x+7$，$x+8$，最大数为$x+8$。解题时，针对问题(1)，利用“最大数与最小数的乘积为180”列一元二次方程，求解后舍去不符合实际的负数解，再验证解是否符合月历的位置要求；针对问题(2)，利用“最大数与最小数的乘积加上四个数的和等于80”列方程，求解后验证解是否满足方框需为相邻两列的条件，从而判断是否存在符合要求的最小数。
【解析】
(1) 设虚线方框中最小数为$x$，则最大数为$x+8$，根据题意列方程：
$x(x+8)=180$
整理得：
$x^2 + 8x - 180 = 0$
用求根公式解得：
$x = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 + 4 × 180}}{2} = \frac{-8 \pm 28}{2}$
解得$x_1=10$，$x_2=-18$（负数不符合实际，舍去）。
验证：$x=10$对应月历中第一行周五的位置，可形成两行两列的方框，符合要求，故最小数为10。
(2) 设虚线方框中最小数为$y$，则四个数分别为$y$、$y+1$、$y+7$、$y+8$，根据题意列方程：
$y(y+8) + (y + y+1 + y+7 + y+8) = 80$
整理得：
$y^2 + 12y - 64 = 0$
用求根公式解得：
$y = \frac{-12 \pm \sqrt{12^2 + 4 × 64}}{2} = \frac{-12 \pm 20}{2}$
解得$y_1=4$，$y_2=-16$（负数不符合实际，舍去）。
验证：$y=4$对应月历中第一行周六（最后一列），此时$y+1=5$为周日，无法形成相邻两列的两行方框，不符合要求，故不存在这样的最小数。
【答案】
(1) 10；(2) 不能，理由见解析。
【知识点】
一元二次方程的应用、月历中的数字规律
【点评】
本题结合月历的数字排列规律，考查一元二次方程的实际应用，核心是找出方框内四个数的数量关系，求解方程后需结合月历的实际位置验证解的合理性，避免忽略月历列数限制导致错误，是一道兼顾规律应用与方程求解的典型题。
【难度系数】
0.4