1. (2025·南京月考)下列方程中,是一元二次方程的是（）

A.$2x^{2}=5x-1$
B.$x+\dfrac{1}{x}=2$
C.$(x-3)(x+1)=x^{2}-5$
D.$3x-y=5$

1.A 解析:A.符合一元二次方程定义,是一元二次方程;B.不是整式方程,不是一元二次方程;C.化简后次数最高为1,不是一元二次方程;D.有x,y两个未知数,不是一元二次方程.故选A.

【分析】
要判断一个方程是否为一元二次方程，需依据其定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2，同时是整式方程。接下来逐一分析各选项：
选项A：整理后看是否满足定义；
选项B：判断是否为整式方程；
选项C：化简后看未知数的最高次数；
选项D：看未知数的个数。
【解析】
一元二次方程的定义为：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且是整式方程。
选项A：将方程$2x^{2}=5x-1$整理为$2x^{2}-5x+1=0$，只含一个未知数$x$，未知数最高次数为2，属于整式方程，符合一元二次方程定义；
选项B：方程$x+\dfrac{1}{x}=2$中分母含有未知数$x$，是分式方程，不是整式方程，不符合定义；
选项C：将左边$(x-3)(x+1)$展开得$x^{2}-2x-3$，方程变为$x^{2}-2x-3=x^{2}-5$，化简后为$-2x+2=0$，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合定义；
选项D：方程$3x-y=5$含有$x$和$y$两个未知数，是二元方程，不符合定义。
综上，只有选项A是一元二次方程。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的定义
【点评】
本题考查一元二次方程的定义，核心是把握“一元”“二次”“整式方程”三个关键条件，属于基础题型，通过逐一排查即可得出答案，难度较低。
【难度系数】
0.8

2. (临沂中考)一元二次方程 $y^{2}-y-\dfrac{3}{4}=0$ 配方后
可化为（）

A.$(y+\dfrac{1}{2})^{2}=1$
B.$(y-\dfrac{1}{2})^{2}=1$
C.$(y+\dfrac{1}{2})^{2}=\dfrac{3}{4}$
D.$(y-\dfrac{1}{2})^{2}=\dfrac{3}{4}$

2.B 解析:$y^{2}-y-\dfrac{3}{4}=0$,得$(y-\dfrac{1}{2})^{2}-\dfrac{1}{4}-\dfrac{3}{4}=0$,得$(y-\dfrac{1}{2})^{2}=1$.故选B.

【分析】
本题考查一元二次方程的配方法，解题思路为：先将方程的常数项移到等号右侧，再对左侧的二次三项式进行配方，即给左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧转化为完全平方形式，最后对比选项得出答案。
【解析】
解：对于方程$y^2 - y - \dfrac{3}{4} = 0$，
第一步，移项，将常数项移到等号右边：$y^2 - y = \dfrac{3}{4}$；
第二步，配方，一次项系数为$-1$，其一半的平方为$(-\dfrac{1}{2})^2 = \dfrac{1}{4}$，给等式两边同时加上$\dfrac{1}{4}$：
$y^2 - y + \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4}$；
第三步，整理为完全平方形式：$(y - \dfrac{1}{2})^2 = 1$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的配方法
【点评】
本题是中考基础题型，核心考查一元二次方程的配方法操作，只要掌握“移项、加一次项系数一半的平方”的配方步骤，即可轻松解答，属于易得分题。
【难度系数】
0.8

3. 关于 $x$ 的一元二次方程 $-kx^2-6x+3=0$ 有两个不相等的实数根,则 $k$ 的取值范围是 （）

A.$k＞-3$
B.$k＜3$
C.$k＜3$ 且 $k ≠ 0$
D.$k＞-3$ 且 $k ≠ 0$

3.D 解析:
∵关于x的一元二次方程$-kx^2-6x+3=0$有两个不相等的实数根,
∴$b^2-4ac＞0$且$-k≠0$,
∴$36-4×(-k)×3＞0$且$k≠0$,
∴$k＞-3$且$k≠0$.故选D.

【分析】
要解决这个问题，需明确两个核心条件：一是题目明确是“一元二次方程”，因此二次项系数不能为0；二是一元二次方程有两个不相等实数根的条件是判别式Δ=b²-4ac＞0。先根据一元二次方程的定义确定k的初步限制，再利用判别式列出不等式求解，最后结合两个条件得出k的取值范围。
【解析】
解：1. 因为方程是关于x的一元二次方程，所以二次项系数不为0，即：
$-k ≠ 0$，解得 $k ≠ 0$；
2. 又因为方程有两个不相等的实数根，所以判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，其中$a=-k$，$b=-6$，$c=3$，代入得：
$(-6)^2 - 4×(-k)×3 ＞ 0$，
计算得：$36 + 12k ＞ 0$，
移项化简：$12k ＞ -36$，即 $k ＞ -3$；
3. 结合上述两个条件，k的取值范围是$k ＞ -3$且$k ≠ 0$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式，需注意题目明确要求是“一元二次方程”，因此必须同时满足二次项系数不为0和判别式大于0两个条件，二次项系数不为0是本题的易错点，容易被忽略。
【难度系数】
0.6

4. (2025·河北中考改编)若一元二次方程$x(x+2)-3=0$的两根之和与两根之积分别为$m,n$，则函数$y=\dfrac{m-n}{x}$的图象所在的象限是 （）

A.第一、二象限
B.第一、三象限
C.第二、四象限
D.第三、四象限

4.B 解析:将$x(x+2)-3=0$展开并整理为标准形式是$x^2+2x-3=0$,其中$a=1,b=2,c=-3$,$\therefore m=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{2}{1}=-2$,$n=\dfrac{c}{a}=\dfrac{-3}{1}=-3$,则$m-n=1$,$\therefore y=\dfrac{m-n}{x}$即$y=\dfrac{1}{x}$的图象所在的象限是第一、三象限.故选B.

【分析】
要解决这个问题，需先将给定的一元二次方程整理为标准形式，再利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求出两根之和与两根之积，接着计算反比例函数的比例系数，最后根据反比例函数的图象性质判断其所在象限。
【解析】
1. 整理方程：将$x(x+2)-3=0$展开并化为一元二次方程的标准形式：$x^2 + 2x - 3 = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=2$，常数项$c=-3$。
2. 利用韦达定理求$m$、$n$：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，两根之和$m=-\frac{b}{a}$，两根之积$n=\frac{c}{a}$，代入得$m=-\frac{2}{1}=-2$，$n=\frac{-3}{1}=-3$。
3. 计算反比例函数的比例系数：$m-n=-2 - (-3)=1$，因此函数为$y=\frac{1}{x}$。
4. 判断反比例函数的象限：反比例函数$y=\frac{k}{x}$中，当$k＞0$时，图象位于第一、三象限，故$y=\frac{1}{x}$的图象在第一、三象限，选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；反比例函数的图象与性质
【点评】
本题综合考查一元二次方程韦达定理和反比例函数的图象性质，解题步骤明确，属于基础题型，熟练掌握相关知识点即可快速解答。
【难度系数】
0.7

5. 一个等腰三角形的两条边长分别是方程 $x^{2}-$$9x+18=0$ 的两根,则该等腰三角形的周长是（）

A.12
B.9
C.15
D.12 或 15

5.C 解析:
∵$x^2-9x+18=0$,
∴$(x-3)(x-6)=0$,则$x-3=0$或$x-6=0$,解得$x=3$或$x=6$,当3是腰时,三角形的三边分别为3,3,6,不能组成三角形;当6是腰时,三角形的三边分别为3,6,6,能组成三角形,周长为$3+6+6=15$.故选C.

【分析】
本题是一元二次方程与等腰三角形、三角形三边关系的综合题，解题思路为：①先求解一元二次方程，得到方程的两个根；②结合等腰三角形“两腰相等”的性质，分两种情况讨论边长（将两个根分别作为腰长，剩余根作为底边长）；③根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）判断每种情况能否构成三角形；④计算符合条件的三角形周长，选出正确选项。
【解析】
解一元二次方程 $x^2 - 9x + 18 = 0$，因式分解得：
$(x - 3)(x - 6) = 0$，
则 $x - 3 = 0$ 或 $x - 6 = 0$，
解得 $x = 3$ 或 $x = 6$。
等腰三角形的边长需分两种情况讨论：
1. 当腰长为3，底边长为6时，三边长为3、3、6。此时 $3 + 3 = 6$，不满足三角形任意两边之和大于第三边，无法构成三角形，舍去该情况；
2. 当腰长为6，底边长为3时，三边长为3、6、6。此时 $3 + 6 ＞ 6$，$6 + 6 ＞ 3$，满足三角形三边关系，能构成三角形，周长为 $3 + 6 + 6 = 15$。
综上，该等腰三角形的周长为15，故选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程解法、等腰三角形性质、三角形三边关系
【点评】
本题综合考查了一元二次方程的求解和等腰三角形的性质，核心考点是三角形三边关系的应用，解题时需注意分情况讨论边长后，必须验证是否满足三角形三边关系，避免错选干扰项，是一道易错题，需仔细审题。
【难度系数】
0.5

6. (2025·杭州期中) 已知关于 $x$ 的方程 $a^2x^2+ (a+1)x+1=0$($a$ 为常数,且 $a ≠ 0$),下列 $x$ 的值,一定不是方程的解的是（）

A.$x=-1$
B.$x=-2$
C.$x=-3$
D.$x=1$

6.D 解析:A.把$x=-1$代入方程$a^2x^2+(a+1)x+1=0$,得$a^2-(a+1)+1=0$,此方程有解,则$x=-1$可能为方程的解.B.把$x=-2$代入方程$a^2x^2+(a+1)x+1=0$,得$4a^2-2(a+1)+1=0$,此方程有解,$x=-2$可能为方程的解.C.把$x=-3$代入方程$a^2x^2+(a+1)x+1=0$,得$9a^2-3(a+1)+1=0$,此方程有解,$x=-3$可能为方程的解.D.把$x=1$代入方程$a^2x^2+(a+1)x+1=0$,得$a^2+(a+1)+1=0$,此方程无解,则$x=1$一定不是方程的解.故选D.

【分析】要判断某个x值是否是方程的解，需将该x代入原方程，得到关于a的一元二次方程；若该方程有解（即判别式≥0），则这个x可能是方程的解；若方程无解（判别式＜0），则这个x一定不是方程的解。我们依次对每个选项进行代入计算和判别式分析即可得出答案。
【解析】将各选项中的x值代入方程，转化为关于a的方程，利用判别式判断方程是否有解：
A. 把$x=-1$代入方程得：$a^2×(-1)^2 + (a+1)×(-1) +1 = a^2 -a =0$，该方程的判别式$\Delta=(-1)^2 -4×1×0=1＞0$，有解，故$x=-1$可能是方程的解；
B. 把$x=-2$代入方程得：$a^2×(-2)^2 + (a+1)×(-2) +1 =4a^2 -2a -1=0$，判别式$\Delta=(-2)^2 -4×4×(-1)=20＞0$，有解，故$x=-2$可能是方程的解；
C. 把$x=-3$代入方程得：$a^2×(-3)^2 + (a+1)×(-3) +1=9a^2 -3a -2=0$，判别式$\Delta=(-3)^2 -4×9×(-2)=81＞0$，有解，故$x=-3$可能是方程的解；
D. 把$x=1$代入方程得：$a^2×1^2 + (a+1)×1 +1=a^2 +a +2=0$，判别式$\Delta=1^2 -4×1×2=-7＜0$，无解，故$x=1$一定不是方程的解。
综上，答案选D。
【答案】D
【知识点】一元二次方程的解、根的判别式
【点评】本题是一元二次方程解的基础题型，核心考查代入法与根的判别式的应用，只要掌握判别式判断方程解的方法即可轻松解答。
【难度系数】0.3

7. 新题型 新定义 (2024·德阳中考)宽与长的比是$\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$的矩形叫黄金矩形,黄金矩形给我们以协调的美感,世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果,都采用了黄金矩形的设计.已知四边形$ABCD$是黄金矩形($AB＜BC$),点$P$是边$AD$上一点,则满足$PB ⊥ PC$的点$P$的个数为 （）

A.3
B.2
C.1
D.0

7.D 解析:如图所示,四边形ABCD是黄金矩形,$AB＜BC$,$\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$,设$AB=a$,$BC=b$,假设存在点P,且$AP=x$,则$PD=b-x$,在$\mathrm{Rt}△ABP$中,$BP^2=AB^2+AP^2=a^2+x^2$,在$\mathrm{Rt}△PDC$中,$PC^2=PD^2+CD^2=(b-x)^2+a^2$.$\because PB⊥PC$,$\therefore BC^2=BP^2+PC^2$,即$b^2=a^2+x^2+(b-x)^2+a^2$,整理得$x^2-bx+a^2=0$.$\because$根的判别式为$(-b)^2-4a^2$,又$\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{a}{b}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$,即$a=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}b$,$\therefore (-b)^2-4a^2=b^2-4×\dfrac{(\sqrt{5}-1)^2}{4}b^2=(2\sqrt{5}-5)b^2$.$\because 2\sqrt{5}-5＜0$,$b^2＞0$,$\therefore (-b)^2-4a^2=(2\sqrt{5}-5)b^2＜0$,$\therefore$方程无解,即点P不存在.故选D.

【分析】要判断AD上是否存在点P使得PB⊥PC，可设矩形的边长，利用勾股定理结合垂直条件建立关于点P位置的方程，再结合黄金矩形的边长关系，通过一元二次方程根的判别式判断方程是否有解，进而确定点P的个数。
【解析】设$AB=a$，$BC=b$，
∵四边形ABCD是黄金矩形，$AB＜BC$，
∴$\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$，即$a=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}b$。设$AP=x$，则$PD=b-x$。
∵$PB⊥PC$，
∴在$\mathrm{Rt}△PBC$中，由勾股定理得$PB^2 + PC^2 = BC^2$。
在$\mathrm{Rt}△ABP$中，$PB^2 = AB^2 + AP^2 = a^2 + x^2$；
在$\mathrm{Rt}△PDC$中，$PC^2 = PD^2 + CD^2 = (b-x)^2 + a^2$；
代入勾股定理得：$b^2 = a^2 + x^2 + (b-x)^2 + a^2$，整理得$x^2 - bx + a^2 = 0$。
计算该一元二次方程的根的判别式：$\Delta = (-b)^2 - 4×1×a^2 = b^2 - 4a^2$。
将$a=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}b$代入得：
$\Delta = b^2 - 4×(\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}b)^2 = b^2 - (6 - 2\sqrt{5})b^2 = (2\sqrt{5} -5)b^2$。
∵$2\sqrt{5}≈4.472＜5$，
∴$2\sqrt{5}-5＜0$，又$b^2＞0$，
∴$\Delta＜0$，方程无实根，即不存在满足条件的点P。
【答案】D
【知识点】黄金矩形、勾股定理、一元二次方程根的判别式
【点评】本题结合新定义“黄金矩形”，将几何垂直问题转化为代数方程求解，运用数形结合思想，通过根的判别式判断解的存在性，考查了学生的知识迁移与综合应用能力。
【难度系数】0.4

8. 新趋势 数学文化 欧几里得的《几何原本》中记载了形如$x^{2}-2bx + 4c^{2}=0(b ＞ 2c ＞ 0)$的方程根的图形解法：构造$\mathrm{Rt}△ BAC$，$AD$为斜边中线，且$AD=\dfrac{1}{2}BC$，作$AE ⊥ AD$，与$BC$的延长线交于点$E$.设$DE = b$，$AE = 2c$，则方程$x^{2}-2bx + 4c^{2} = 0$较小的根是（）


A.$BD$的长度
B.$CE$的长度
C.$AC$的长度
D.$AE$的长度

8.B 解析:
∵$x^2-2bx+4c^2=0$,
∴$x^2-2bx+b^2=b^2-4c^2$,
∴$(x-b)^2=b^2-4c^2$,
∴$x-b=±\sqrt{b^2-4c^2}$,
∴$x_1=b+\sqrt{b^2-4c^2}$,$x_2=b-\sqrt{b^2-4c^2}$,$\therefore x_2$为较小的根.
∵在$\mathrm{Rt}△DAE$中,$DE=b$,$AE=2c$,$\therefore AD=\sqrt{DE^2-AE^2}=\sqrt{b^2-4c^2}$,$\therefore x_2=DE-AD$.
∵在$\mathrm{Rt}△BAC$中,AD为斜边中线,$\therefore AD=CD=BD=\dfrac{1}{2}BC$,$\therefore x_2=DE-CD=CE$,$\therefore$方程$x^2-2bx+4c^2=0$较小的根是CE的长度.故选B.

【分析】
首先通过配方法求解给定的一元二次方程，得到两个根并确定较小根的表达式；再结合几何图形的性质，利用直角三角形的勾股定理求出相关线段长度，结合直角三角形斜边中线的性质，将较小根的表达式转化为图形中的对应线段，从而确定答案。
【解析】
1. 解方程：对$x^2 - 2bx + 4c^2 = 0$用配方法求解：
移项得$x^2 - 2bx = -4c^2$，配方得$x^2 - 2bx + b^2 = b^2 - 4c^2$，即$(x - b)^2 = b^2 - 4c^2$，开方得$x - b = ±\sqrt{b^2 - 4c^2}$，因此两根为$x_1 = b + \sqrt{b^2 - 4c^2}$，$x_2 = b - \sqrt{b^2 - 4c^2}$，其中$x_2$是较小的根。
2. 结合几何分析：
在$\mathrm{Rt}△DAE$中，$DE = b$，$AE = 2c$，由勾股定理得$AD = \sqrt{DE^2 - AE^2} = \sqrt{b^2 - (2c)^2} = \sqrt{b^2 - 4c^2}$。
因为$AD$是$\mathrm{Rt}△BAC$斜边$BC$的中线，根据直角三角形斜边中线的性质，得$AD = CD = \frac{1}{2}BC$，即$CD = \sqrt{b^2 - 4c^2}$。
那么较小根$x_2 = b - \sqrt{b^2 - 4c^2} = DE - CD$，而$DE - CD = CE$，因此方程较小的根是$CE$的长度。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程解法、直角三角形性质、勾股定理
【点评】
本题结合数学文化背景，将一元二次方程的根与几何图形的线段长度对应，需要代数与几何知识结合，解题关键是配方法解方程和直角三角形斜边中线性质的应用，体现了数形结合的思想。
【难度系数】
0.5

二、填空题(每小题3分,共24分)
9. (2024·南充中考) 已知 $m$ 是方程 $x^2+4x-1=0$ 的一个根, 则 $(m+5)(m-1)$ 的值为.

9.-4 解析:把$x=m$代入$x^2+4x-1=0$,得$m^2+4m=1$,$\therefore (m+5)(m-1)=m^2-m+5m-5=m^2+4m-5=1-5=-4$.

【分析】首先，根据一元二次方程根的定义，将m代入已知方程可得到关于m的代数式的值；再把所求代数式展开化简，转化为含有该代数式的形式，最后整体代入计算即可。
【解析】因为m是方程$x^2+4x-1=0$的一个根，所以将$x=m$代入方程得：$m^2 + 4m -1 =0$，即$m^2 +4m =1$。
对$(m+5)(m-1)$展开化简：
$(m+5)(m-1) = m^2 - m +5m -5 = m^2 +4m -5$
将$m^2 +4m =1$代入上式，得：$1 -5 = -4$。
【答案】-4
【知识点】一元二次方程的根、代数式化简求值
【点评】本题考查一元二次方程根的定义及代数式的整体代入求值，解题关键是利用方程根的性质得到$m^2+4m$的值，再整体代入化简后的式子计算，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.7

10. (2025·南京中考)设方程$x^{2}+2x-9=0$的正根介于整数$m$与$m+1$之间，则$m=$.

10.2 解析:解方程$x^2+2x-9=0$得$x_1=\sqrt{10}-1$,$x_2=-\sqrt{10}-1$,$\because 9＜10＜16$,$\therefore 3＜\sqrt{10}＜4$,$\therefore 2＜\sqrt{10}-1＜3$,则$m=2$.

【分析】要确定正根所在的整数区间，需先解一元二次方程得到根，再找出正根，通过估算无理数$\sqrt{10}$的范围，即可确定正根对应的连续整数，进而得到$m$的值。
【解析】解一元二次方程$x^2+2x-9=0$，由求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$（其中$a=1$，$b=2$，$c=-9$），代入计算得：
$x=\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4×1×(-9)}}{2}=\frac{-2\pm\sqrt{40}}{2}=-1\pm\sqrt{10}$
方程的两个根为$x_1=-1+\sqrt{10}$，$x_2=-1-\sqrt{10}$，其中正根为$x_1=-1+\sqrt{10}$。
估算$\sqrt{10}$的取值范围：因为$9＜10＜16$，所以$\sqrt{9}＜\sqrt{10}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{10}＜4$。
不等式两边同时减1，得$2＜\sqrt{10}-1＜3$，即正根$-1+\sqrt{10}$介于整数2和3之间，故$m=2$。
【答案】2
【知识点】一元二次方程的解法、估算无理数的大小
【点评】本题考查一元二次方程的求解与无理数的估算，解题核心是准确求出方程的正根并合理估算无理数的范围，属于基础题，侧重考查学生的运算能力和数感。
【难度系数】0.6

11. 如果关于 $x$ 的一元二次方程 $(x-3)(mx-n)=$
0有两个实数根,且其中一个根为另一个根
的 3 倍,那么 $\dfrac{2n}{m}$ 的值为.

11.2或18 解析:
∵$(x-3)(mx-n)=0$,$\therefore x_1=3$,$x_2=\dfrac{n}{m}$,当$x_1=3x_2$时,即$3=3×\dfrac{n}{m}$,$\therefore \dfrac{n}{m}=1$,$\therefore \dfrac{2n}{m}=2$;当$3x_1=x_2$时,即$\dfrac{n}{m}=3×3=9$,$\therefore \dfrac{2n}{m}=18$.故答案为2或18.

【分析】
先通过因式分解法求出一元二次方程的两个根，再根据“一个根是另一个根的3倍”分两种情况讨论，分别计算出$\frac{n}{m}$的值，进而求出$\frac{2n}{m}$，注意需考虑所有可能的根的倍数关系，避免漏解。
【解析】
解：对于方程$(x-3)(mx-n)=0$，根据因式分解法解一元二次方程，可得两个根为$x_1=3$，$x_2=\frac{n}{m}$。
已知一个根是另一个根的3倍，分两种情况讨论：
情况1：若$x_1=3x_2$，即$3=3×\frac{n}{m}$，解得$\frac{n}{m}=1$，则$\frac{2n}{m}=2×1=2$；
情况2：若$x_2=3x_1$，即$\frac{n}{m}=3×3=9$，则$\frac{2n}{m}=2×9=18$。
综上，$\frac{2n}{m}$的值为2或18。
【答案】
2或18
【知识点】
一元二次方程的根，分类讨论思想
【点评】
本题主要考查因式分解法解一元二次方程和分类讨论思想的应用，解题核心是根据根的倍数关系分情况计算，需注意全面考虑所有可能，避免漏解，属于基础题型。
【难度系数】
0.5

12. (2026·泰州校级月考) 如果对于任何实数
$x$,分式$\dfrac{1}{-x^{2}+2x+c}$总有意义,那么$c$的取值范
围是.

12.$c＜-1$ 解析:
∵分式$\dfrac{1}{-x^2+2x+c}$总有意义,
∴分母$-x^2+2x+c≠0$对于所有实数x成立,
∴二次方程$-x^2+2x+c=0$无实数根时,分母恒不为零,
∴判别式为$2^2-4×(-1)×c=4+4c＜0$,解得$c＜-1$,$\therefore$当$c＜-1$时,分式对所有实数x均有意义.

【分析】
要使分式$\dfrac{1}{-x^2+2x+c}$对任意实数$x$总有意义，需保证分母不为0，即$-x^2+2x+c≠0$对所有实数$x$成立。由于分母是二次式，可转化为对应的一元二次方程$-x^2+2x+c=0$无实数根，利用一元二次方程根的判别式即可求出$c$的取值范围。
【解析】
解：分式有意义的条件是分母不为0，因此要使$\dfrac{1}{-x^2+2x+c}$对任意实数$x$总有意义，需满足：
$-x^2+2x+c≠0$对所有实数$x$成立，
即一元二次方程$-x^2+2x+c=0$无实数根。
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，当$\Delta＜0$时，方程无实数根。
在方程$-x^2+2x+c=0$中，$a=-1$，$b=2$，常数项为$c$，则：
$\Delta=2^2 - 4×(-1)×c=4+4c$，
令$\Delta＜0$，即$4+4c＜0$，
解得$c＜-1$。
【答案】
$c＜-1$
【知识点】
分式有意义的条件，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题结合分式有意义的条件与一元二次方程根的判别式，考查基础知识点的综合应用，属于常规题型，需注意二次项系数符号对判别式计算的影响。
【难度系数】
0.5

13. 新趋势 开放性试题（2026·上海期中）写出一个根为 $x_{1}=3\sqrt{2}+\sqrt{6},x_{2}=3\sqrt{2}-\sqrt{6}$ 的一元二次方程:(写成一般式).

13.$x^2-6\sqrt{2}x+12=0$(答案不唯一) 解析:设一元二次方程为$x^2+px+q=0$,根据根与系数的关系,有$x_1+x_2=-p$,$x_1x_2=q$,已知$x_1=3\sqrt{2}+\sqrt{6}$,$x_2=3\sqrt{2}-\sqrt{6}$,计算两根之和:$x_1+x_2=(3\sqrt{2}+\sqrt{6})+(3\sqrt{2}-\sqrt{6})=6\sqrt{2}$,$\therefore p=-6\sqrt{2}$,计算两根之积:$x_1x_2=(3\sqrt{2}+\sqrt{6})(3\sqrt{2}-\sqrt{6})=(3\sqrt{2})^2-(\sqrt{6})^2=18-6=12$,$\therefore q=12$,因此,方程可为$x^2-6\sqrt{2}x+12=0$.

【分析】已知一元二次方程的两个根，构造该方程可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：对于一元二次方程的一般式$x^2+px+q=0$，两根之和等于$-p$，两根之积等于$q$。因此只需先计算两根的和与积，再代入一般式即可得到所求方程。
【解析】设所求一元二次方程为$x^2+px+q=0$，根据韦达定理：
1. 计算两根之和：$x_1+x_2=(3\sqrt{2}+\sqrt{6})+(3\sqrt{2}-\sqrt{6})=6\sqrt{2}$，因此$-p=6\sqrt{2}$，即$p=-6\sqrt{2}$；
2. 计算两根之积：利用平方差公式，$x_1x_2=(3\sqrt{2}+\sqrt{6})(3\sqrt{2}-\sqrt{6})=(3\sqrt{2})^2-(\sqrt{6})^2=18-6=12$，因此$q=12$；
将$p=-6\sqrt{2}$、$q=12$代入所设方程，得到$x^2-6\sqrt{2}x+12=0$。
【答案】$x^2-6\sqrt{2}x+12=0$（答案不唯一）
【知识点】一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程的一般式
【点评】本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，属于基础题型，关键是掌握韦达定理，计算时利用平方差公式简化运算即可。
【难度系数】0.6