下面是小明的数学学习笔记,请仔细阅读并完成相应任务.

(1) 直接写出小明笔记当中的“”处空缺的内容.
(2) 求证②中的不等式.
(3) 将现象2中的两杯糖水倒入一个大空杯中,则大杯糖水的浓度与原来各小杯糖水的浓度相同,请说明其中的道理.
(4) 请运用现象1中的结论证明:设$a,b,c$是$△ ABC$三边的长,则$1＜\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}＜2$.

(1) ① 空缺依次为：$\boldsymbol{\frac{b}{a+m}}$；$\boldsymbol{\frac{b}{a+m}＜\frac{b}{a}\ (a＞b＞0,m＞0)}$
② 空缺依次为：$\boldsymbol{\frac{b+n}{a+n}}$；$\boldsymbol{\frac{b+n}{a+n}＞\frac{b}{a}\ (a＞b＞0,n＞0)}$
(2) 证明：作差得
$\frac{b+n}{a+n}-\frac{b}{a}=\frac{a(b+n)-b(a+n)}{a(a+n)}=\frac{ab+an-ab-bn}{a(a+n)}=\frac{n(a-b)}{a(a+n)}$
$\because a＞b＞0,n＞0$，$\therefore a-b＞0,a+n＞0$，
$\therefore \frac{n(a-b)}{a(a+n)}＞0$，即$\frac{b+n}{a+n}-\frac{b}{a}＞0$，
$\therefore \frac{b+n}{a+n}＞\frac{b}{a}$，不等式得证。
(3) 解：混合后总糖质量为$b_1+b_2$，总糖水质量为$a_1+a_2$，
$\because \frac{b_1}{a_1}=\frac{b_2}{a_2}=k$，$\therefore b_1=ka_1,b_2=ka_2$，
大杯糖水浓度为：
$\frac{b_1+b_2}{a_1+a_2}=\frac{ka_1+ka_2}{a_1+a_2}=\frac{k(a_1+a_2)}{a_1+a_2}=k$
因此大杯糖水的浓度和原来小杯糖水的浓度相等，甜度不变。
(4) 证明：
① 先证$1＜\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}$：
$\because a,b,c$是$△ ABC$的三边，$\therefore b+c＞a,a+c＞b,a+b＞c＞0$，
由现象1加水变淡的结论可得：$\frac{a}{b+c}＞\frac{a}{a+b+c}$，$\frac{b}{a+c}＞\frac{b}{a+b+c}$，$\frac{c}{a+b}＞\frac{c}{a+b+c}$，
三式相加得：
$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}＞\frac{a+b+c}{a+b+c}=1$
② 再证$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}＜2$：
由现象1加糖变甜的结论可得：$\frac{a}{b+c}＜\frac{a+a}{b+c+a}=\frac{2a}{a+b+c}$，同理$\frac{b}{a+c}＜\frac{2b}{a+b+c}$，$\frac{c}{a+b}＜\frac{2c}{a+b+c}$，
三式相加得：
$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}＜\frac{2a+2b+2c}{a+b+c}=2$
综上可得：$1＜\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}＜2$。

(1) 根据浓度公式：糖水浓度=糖的质量÷糖水总质量，结合糖水变淡对应浓度降低、糖水变甜对应浓度升高，直接推导空缺内容；
(2) 采用八年级分式运算的作差比较法，计算两个分式的差，结合已知条件判断差的正负，即可证明不等式成立；
(3) 利用已知的等浓度关系$\frac{b_1}{a_1}=\frac{b_2}{a_2}=k$，将$b_1、b_2$用含$a_1、a_2、k$的式子代换，计算混合后大杯糖水的浓度，即可验证浓度和原小杯一致；
(4) 结合三角形三边关系“两边之和大于第三边”，利用现象1的分式放缩结论，分别对三个分式做放缩，相加后即可得到不等式的左右范围。