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练习六
一、选择题
1. 下列各式从左到右的变形是因式分解的是 （）
A.$6a^2b=6ab· a$
B.$a^2+ab=a(a+b)$
C.$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
D.$a^2+2a+1=a(a+2)+1$
一、选择题
1. 下列各式从左到右的变形是因式分解的是 （）
A.$6a^2b=6ab· a$
B.$a^2+ab=a(a+b)$
C.$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
D.$a^2+2a+1=a(a+2)+1$
答案
B
解析
根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做因式分解，逐一判断选项：
1. 选项A：等号左侧是单项式，不是多项式，不符合因式分解的要求，该变形不是因式分解；
2. 选项B：将多项式$a^2+ab$化为整式$a$与$(a+b)$的乘积形式，符合因式分解的定义；
3. 选项C：该变形是将两个整式的乘积展开为多项式，属于整式乘法，不是因式分解；
4. 选项D：等号右侧是整式和的形式，并非几个整式的积，该变形不是因式分解。
综上只有B选项符合要求。
1. 选项A：等号左侧是单项式，不是多项式，不符合因式分解的要求，该变形不是因式分解；
2. 选项B：将多项式$a^2+ab$化为整式$a$与$(a+b)$的乘积形式，符合因式分解的定义；
3. 选项C：该变形是将两个整式的乘积展开为多项式，属于整式乘法，不是因式分解；
4. 选项D：等号右侧是整式和的形式，并非几个整式的积，该变形不是因式分解。
综上只有B选项符合要求。
2. 把多项式$2m^2+8mn$分解因式,应提取的公因式是 （）
A.2
B.$m$
C.$2m$
D.$2n$
A.2
B.$m$
C.$2m$
D.$2n$
答案
C
解析
确定公因式的步骤：① 系数部分：多项式两项的系数分别为2和8，最大公约数是2；② 字母部分：两项都含有的相同字母是m，没有共同的字母n，相同字母m的最低次数是1。因此可得应提取的公因式是2m。
3. $(-2)^{2026} + (-2)^{2027}$ 等于 （）
A.$-2^{2026}$
B.$-2^{2027}$
C.$2^{2026}$
D.$-2$
A.$-2^{2026}$
B.$-2^{2027}$
C.$2^{2026}$
D.$-2$
答案
A
解析
根据同底数幂的乘法法则，将$(-2)^{2027}$变形为$(-2)^{2026} × (-2)$，代入原式得：
原式$= (-2)^{2026} + (-2)^{2026} × (-2)$
提取公因式$(-2)^{2026}$：
$= (-2)^{2026} × [1 + (-2)]$
计算括号内部分得$1+(-2)=-1$，又因为2026是偶数，$(-2)^{2026}=2^{2026}$，因此：
原式$= 2^{2026} × (-1) = -2^{2026}$
原式$= (-2)^{2026} + (-2)^{2026} × (-2)$
提取公因式$(-2)^{2026}$：
$= (-2)^{2026} × [1 + (-2)]$
计算括号内部分得$1+(-2)=-1$，又因为2026是偶数，$(-2)^{2026}=2^{2026}$，因此：
原式$= 2^{2026} × (-1) = -2^{2026}$
4. 已知$a - b = 5$，$b - c = -6$，则代数式$a^2 - ac - b(a - c)$的值为 （）
A.$-30$
B.$30$
C.$-5$
D.$-6$
A.$-30$
B.$30$
C.$-5$
D.$-6$
答案
C
解析
先对代数式因式分解：
原式$=a(a - c) - b(a - c)=(a - b)(a - c)$
已知$a - b=5$，$b - c=-6$，将两式相加得：
$(a - b)+(b - c)=a - c=5+(-6)=-1$
把$a - b=5$，$a - c=-1$代入化简后的式子，得原式$=5×(-1)=-5$
原式$=a(a - c) - b(a - c)=(a - b)(a - c)$
已知$a - b=5$，$b - c=-6$，将两式相加得：
$(a - b)+(b - c)=a - c=5+(-6)=-1$
把$a - b=5$，$a - c=-1$代入化简后的式子，得原式$=5×(-1)=-5$
5. 若 $ k $ 为自然数,则 $ (2k+3)^2 - 4k^2 $ 的值总能（）
A.被2整除
B.被3整除
C.被4整除
D.被6整除
A.被2整除
B.被3整除
C.被4整除
D.被6整除
答案
B
解析
先对代数式化简：
$\begin{aligned}(2k+3)^2 - 4k^2&=4k^2 + 12k + 9 - 4k^2\\&=12k + 9\\&=3(4k+3)\end{aligned}$
因为k是自然数，所以4k+3是整数，因此原式的结果是3的倍数，总能被3整除。
代入k=0验证，原式值为9，9不能被2、4、6整除，排除ACD。
$\begin{aligned}(2k+3)^2 - 4k^2&=4k^2 + 12k + 9 - 4k^2\\&=12k + 9\\&=3(4k+3)\end{aligned}$
因为k是自然数，所以4k+3是整数，因此原式的结果是3的倍数，总能被3整除。
代入k=0验证，原式值为9，9不能被2、4、6整除，排除ACD。
6. 分解因式:$3x^{2}y+12xy=$.
答案
$3xy(x+4)$
解析
本题可使用提公因式法分解因式，先确定多项式各项的公因式：系数3和12的最大公约数是3，相同字母x的最低次幂为x，相同字母y的最低次幂为y，因此公因式为3xy。将公因式3xy提取出来，可得：$3x^{2}y+12xy=3xy· x + 3xy· 4=3xy(x+4)$。
7. 已知$a^2 + a - 1 = 0$，求$a^3 + 2a^2 + 2026$的值________.
答案
2027
解析
我们采用降次法求解：
1. 由已知条件$a^2 + a - 1 = 0$，移项可得$a^2 + a = 1$，且$a^2 = 1 - a$。
2. 对三次项变形：$a^3 = a · a^2$，将$a^2 = 1 - a$代入得：$a^3 = a(1 - a) = a - a^2$。
3. 将$a^3 = a - a^2$代入待求式：
$a^3 + 2a^2 + 2026 = a - a^2 + 2a^2 + 2026 = a^2 + a + 2026$
4. 把$a^2 + a = 1$代入上式，计算得原式$=1 + 2026 = 2027$。
1. 由已知条件$a^2 + a - 1 = 0$，移项可得$a^2 + a = 1$，且$a^2 = 1 - a$。
2. 对三次项变形：$a^3 = a · a^2$，将$a^2 = 1 - a$代入得：$a^3 = a(1 - a) = a - a^2$。
3. 将$a^3 = a - a^2$代入待求式：
$a^3 + 2a^2 + 2026 = a - a^2 + 2a^2 + 2026 = a^2 + a + 2026$
4. 把$a^2 + a = 1$代入上式，计算得原式$=1 + 2026 = 2027$。
8. 若$x^2 - (m + 1)x + 4$能用完全平方公式进行因式分解，则$m$的值为________.
答案
3或-5
解析
根据完全平方公式的结构特征$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，对比多项式$x^2-(m+1)x+4$，可知首项为$x^2$，末项为$2^2$，因此一次项系数需满足：$-(m+1)=\pm 2× 2$。
分两种情况求解：
1. 当$-(m+1)=4$时，解得$m=-5$；
2. 当$-(m+1)=-4$时，解得$m=3$。
综上可得m的取值。
分两种情况求解：
1. 当$-(m+1)=4$时，解得$m=-5$；
2. 当$-(m+1)=-4$时，解得$m=3$。
综上可得m的取值。
9. 已知$(x+1)(x^2+ax+5)=x^3+bx^2+3x+5$，则$a+b$的值为________.
答案
-3
解析
先根据多项式乘多项式的运算法则展开等式左侧：
$\begin{aligned}(x+1)(x^2+ax+5)&=x· x^2 + x· ax + x·5 + 1· x^2 +1· ax +1·5\\&=x^3 + ax^2 +5x +x^2 +ax +5\\&=x^3 + (a+1)x^2 + (a+5)x +5\end{aligned}$
等式左右两边的多项式相等，对应项的系数相等：
1. 对比一次项系数：$a+5=3$，解得$a=-2$
2. 对比二次项系数：$a+1=b$，将$a=-2$代入得$b=-2+1=-1$
因此$a+b=-2+(-1)=-3$
$\begin{aligned}(x+1)(x^2+ax+5)&=x· x^2 + x· ax + x·5 + 1· x^2 +1· ax +1·5\\&=x^3 + ax^2 +5x +x^2 +ax +5\\&=x^3 + (a+1)x^2 + (a+5)x +5\end{aligned}$
等式左右两边的多项式相等，对应项的系数相等：
1. 对比一次项系数：$a+5=3$，解得$a=-2$
2. 对比二次项系数：$a+1=b$，将$a=-2$代入得$b=-2+1=-1$
因此$a+b=-2+(-1)=-3$
10. 若$ a + b = \sqrt{5} $，则$\frac{a^4 + a^2b^2 + b^4}{a^2 + ab + b^2} + 3ab$的值为________。
答案
$5$
解析
1. 利用完全平方公式和平方差公式对分子变形：
$a^4 + a^2b^2 + b^4 = (a^2 + b^2)^2 - a^2b^2 = (a^2 + ab + b^2)(a^2 - ab + b^2)$
2. 化简分式部分：
由$a+b=\sqrt{5}$可知$a、b$不同时为0，因此$a^2+ab+b^2=(a+\frac{b}{2})^2+\frac{3b^2}{4}＞0$，可约去公因式：
$\frac{a^4 + a^2b^2 + b^4}{a^2 + ab + b^2} = \frac{(a^2 + ab + b^2)(a^2 - ab + b^2)}{a^2 + ab + b^2} = a^2 - ab + b^2$
3. 整体化简原式：
原式$= a^2 - ab + b^2 + 3ab = a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$
4. 代入已知条件$a+b=\sqrt{5}$，计算得原式$=(\sqrt{5})^2=5$
$a^4 + a^2b^2 + b^4 = (a^2 + b^2)^2 - a^2b^2 = (a^2 + ab + b^2)(a^2 - ab + b^2)$
2. 化简分式部分：
由$a+b=\sqrt{5}$可知$a、b$不同时为0，因此$a^2+ab+b^2=(a+\frac{b}{2})^2+\frac{3b^2}{4}＞0$，可约去公因式：
$\frac{a^4 + a^2b^2 + b^4}{a^2 + ab + b^2} = \frac{(a^2 + ab + b^2)(a^2 - ab + b^2)}{a^2 + ab + b^2} = a^2 - ab + b^2$
3. 整体化简原式：
原式$= a^2 - ab + b^2 + 3ab = a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$
4. 代入已知条件$a+b=\sqrt{5}$，计算得原式$=(\sqrt{5})^2=5$
