8. 一个两位数的十位数字是6,如果把十位数字与个位数字对调,那么所得的两位数与原来的两位数之比是$\frac{4}{7}$,原来的两位数是.

63

设原来两位数的个位数字为x，则原两位数为$6×10 + x = 60 + x$，将十位和个位数字对调后得到的新两位数为$10x + 6$。
根据题意列方程：$\frac{10x + 6}{60 + x} = \frac{4}{7}$
交叉相乘去分母得：$7(10x + 6) = 4(60 + x)$
展开计算：$70x + 42 = 240 + 4x$
移项合并同类项得：$66x = 198$
解得：$x = 3$
检验：当$x=3$时，原方程分母$60+x=63≠0$，$x=3$是原方程的有效解。
因此原来的两位数为$60+3=63$。

9. 若$\dfrac{M}{a^2 - b^2} - \dfrac{2ab - b^2}{a^2 - b^2} = \dfrac{a - b}{a + b}$，则$M=\underline{\hspace{5em}}$.

$\boldsymbol{a^2}$

本题利用分式运算和平方差公式求解，步骤如下：
1. 由分式有意义可知$a≠\pm b$，将等式两边同时乘以公分母$a^2 - b^2$，可得：
$M - (2ab - b^2) = \dfrac{a - b}{a + b} · (a^2 - b^2)$
2. 利用平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$化简右侧：
$\dfrac{a - b}{a + b} · (a+b)(a-b) = (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
3. 移项合并同类项计算$M$：
$M = a^2 - 2ab + b^2 + 2ab - b^2 = a^2$

10. 若代数式$\dfrac{4x-3}{x-1}$的值为整数，则所有满足条件的整数$x$的和是________.

2

1. 对给定分式做分离常数变形：将分子$4x-3$改写为$4(x-1)+1$，因此原式可化简为：
$\frac{4x-3}{x-1}=\frac{4(x-1)+1}{x-1}=4+\frac{1}{x-1}$
2. 由于代数式的值为整数，且$x$为整数，因此$\frac{1}{x-1}$必须是整数，即$x-1$是1的整数约数。1的整数约数仅有1和-1：
当$x-1=1$时，解得$x=2$；
当$x-1=-1$时，解得$x=0$。
3. 分式有意义要求分母$x-1≠0$即$x≠1$，上述两个$x$值均满足该条件。所有符合条件的整数$x$为0、2，它们的和为$0+2=2$。

三、解答题
11. 化简：
(1) $\dfrac{12xy}{5a} ÷ 8x^2y$
(2)

(1) $\dfrac{3}{10ax}$；(2) $\dfrac{3}{2(y-x)}$

(1) 根据分式除法运算法则，将除法转化为乘法，再约去分子分母的公因式计算：
$\begin{aligned}\dfrac{12xy}{5a} ÷ 8x^2y&=\dfrac{12xy}{5a} · \dfrac{1}{8x^2y}\\&=\dfrac{12xy}{40ax^2y}\\&=\dfrac{3}{10ax}\end{aligned}$
(2) 先对第二个分式的分母提取公因式变形，确定最简公分母后通分，再按同分母分式加法法则计算：
$\begin{aligned}\dfrac{1}{y-x} + \dfrac{1}{2y-2x}&=\dfrac{1}{y-x} + \dfrac{1}{2(y-x)}\\&=\dfrac{2}{2(y-x)} + \dfrac{1}{2(y-x)}\\&=\dfrac{3}{2(y-x)}\end{aligned}$

12. 解下列分式方程：
(1) $\frac{6}{x + 2} = \frac{1}{5 - x}$
(2) $\frac{6x}{2x - 1} = 6 - \frac{3}{1 - 2x}$
(3) $\frac{y + 3}{y^2 + y} - \frac{1}{1 + y} = \frac{4}{y}$
(4) $\frac{3}{x^2 - x} + \frac{7}{x^2 + x} = \frac{6}{x^2 - 1}$

(1) $x=4$；(2) 原方程无解；(3) $y=-\frac{1}{4}$；(4) 原方程无解

解分式方程的一般步骤为：①确定各分母的最简公分母，方程两边同乘最简公分母，将分式方程化为整式方程；②解所得的整式方程；③将整式方程的解代入最简公分母检验，若最简公分母不为0，则该解是原分式方程的解，若最简公分母为0，则该解是增根，原分式方程无解。
(1) 最简公分母为$(x+2)(5-x)$，方程两边同乘$(x+2)(5-x)$得：
$6(5-x)=x+2$
展开得：$30-6x=x+2$
移项合并同类项得：$-7x=-28$
解得：$x=4$
检验：把$x=4$代入$(x+2)(5-x)$，得$(4+2)×(5-4)=6≠0$，故$x=4$是原方程的解。
(2) 先变形得$\frac{6x}{2x-1}=6+\frac{3}{2x-1}$，最简公分母为$2x-1$，方程两边同乘$2x-1$得：
$6x=6(2x-1)+3$
展开得：$6x=12x-6+3$
移项合并同类项得：$-6x=-3$
解得：$x=\frac{1}{2}$
检验：把$x=\frac{1}{2}$代入$2x-1$，得$2×\frac{1}{2}-1=0$，故$x=\frac{1}{2}$是增根，原方程无解。
(3) 对分母因式分解得$\frac{y+3}{y(y+1)}-\frac{1}{y+1}=\frac{4}{y}$，最简公分母为$y(y+1)$，方程两边同乘$y(y+1)$得：
$y+3 - y = 4(y+1)$
化简得：$3=4y+4$
移项合并同类项得：$4y=-1$
解得：$y=-\frac{1}{4}$
检验：把$y=-\frac{1}{4}$代入$y(y+1)$，得$-\frac{1}{4}×(-\frac{1}{4}+1)=-\frac{3}{16}≠0$，故$y=-\frac{1}{4}$是原方程的解。
(4) 对分母因式分解得$\frac{3}{x(x-1)}+\frac{7}{x(x+1)}=\frac{6}{(x+1)(x-1)}$，最简公分母为$x(x+1)(x-1)$，方程两边同乘$x(x+1)(x-1)$得：
$3(x+1)+7(x-1)=6x$
展开得：$3x+3+7x-7=6x$
移项合并同类项得：$4x=4$
解得：$x=1$
检验：把$x=1$代入$x(x+1)(x-1)$，得$1×2×0=0$，故$x=1$是增根，原方程无解。