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21. 如图,在$△ ABC$中,点O是边AC上一个动点,过点O作直线$MN// BC$。设MN交$∠ ACB$的平分线于点E,交$∠ ACB$的外角平分线于点F。(1)求证:$OE=OF$;(2)若$CE=4,CF=3$,求OC的长。
答案
21. (1)证明:如图,
$\because MN$交$∠ ACB$的平分线于点$E$,交$∠ ACB$的外角平分线于点$F$,
$\therefore ∠ 2=∠ 5,∠ 4=∠ 6$。
$\because MN// BC,\therefore ∠ 1=∠ 5,∠ 3=∠ 6$。
$\therefore ∠ 1=∠ 2,∠ 3=∠ 4$。
$\therefore EO=CO,FO=CO$。$\therefore OE=OF$。
(2)解:$\because ∠ 2=∠ 5,∠ 4=∠ 6$,
$\therefore ∠ 2+∠ 4=∠ 5+∠ 6=90°$。
$\because CE=4,CF=3,\therefore EF=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
$\therefore OC=\dfrac{1}{2}EF=\dfrac{5}{2}$。
解析
【分析】
（1）要证OE=OF，可通过证明两条线段均等于OC推导：先利用角平分线定义得到相等的角，再结合MN//BC的平行线性质，得到相等的内错角，进而推出△EOC和△FOC均为等腰三角形，得到EO=CO、FO=CO，即可得证OE=OF。
（2）求OC的长时，先根据CE是内角平分线、CF是外角平分线，推出∠ECF为直角，即△ECF是直角三角形，先用勾股定理求出斜边EF的长度，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，即可求出OC的长度。
【解析】
(1)证明：
∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
∴∠2=∠5，∠4=∠6。
∵MN//BC，根据两直线平行，内错角相等，
∴∠1=∠5，∠3=∠6。
∴∠1=∠2，∠3=∠4。
根据等角对等边，可得EO=CO，FO=CO。
∴OE=OF。
(2)解：
∵∠2=∠5，∠4=∠6，
∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°，即∠ECF=90°，△ECF是直角三角形。
已知CE=4，CF=3，在Rt△ECF中由勾股定理得：
$EF=\sqrt{CE^2+CF^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
由(1)知O是EF的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，
∴$OC=\dfrac{1}{2}EF=\dfrac{5}{2}$。
【答案】
21. (1)证明:如图,
$\because MN$交$∠ ACB$的平分线于点$E$,交$∠ ACB$的外角平分线于点$F$,
$\therefore ∠ 2=∠ 5,∠ 4=∠ 6$。
$\because MN// BC,\therefore ∠ 1=∠ 5,∠ 3=∠ 6$。
$\therefore ∠ 1=∠ 2,∠ 3=∠ 4$。
$\therefore EO=CO,FO=CO$。$\therefore OE=OF$。
(2)解:$\because ∠ 2=∠ 5,∠ 4=∠ 6$,
$\therefore ∠ 2+∠ 4=∠ 5+∠ 6=90°$。
$\because CE=4,CF=3,\therefore EF=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
$\therefore OC=\dfrac{1}{2}EF=\dfrac{5}{2}$。
【知识点】
平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，融合了角平分线、平行线、等腰三角形、直角三角形的相关性质，解题核心是掌握“角平分线+平行线”可推出等腰三角形的常见结论，同时能快速识别直角三角形利用勾股定理求解，可有效考查对几何基础性质的应用能力。
【难度系数】
0.7
（1）要证OE=OF，可通过证明两条线段均等于OC推导：先利用角平分线定义得到相等的角，再结合MN//BC的平行线性质，得到相等的内错角，进而推出△EOC和△FOC均为等腰三角形，得到EO=CO、FO=CO，即可得证OE=OF。
（2）求OC的长时，先根据CE是内角平分线、CF是外角平分线，推出∠ECF为直角，即△ECF是直角三角形，先用勾股定理求出斜边EF的长度，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，即可求出OC的长度。
【解析】
(1)证明：
∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
∴∠2=∠5，∠4=∠6。
∵MN//BC，根据两直线平行，内错角相等，
∴∠1=∠5，∠3=∠6。
∴∠1=∠2，∠3=∠4。
根据等角对等边，可得EO=CO，FO=CO。
∴OE=OF。
(2)解：
∵∠2=∠5，∠4=∠6，
∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°，即∠ECF=90°，△ECF是直角三角形。
已知CE=4，CF=3，在Rt△ECF中由勾股定理得：
$EF=\sqrt{CE^2+CF^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
由(1)知O是EF的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，
∴$OC=\dfrac{1}{2}EF=\dfrac{5}{2}$。
【答案】
21. (1)证明:如图,
$\because MN$交$∠ ACB$的平分线于点$E$,交$∠ ACB$的外角平分线于点$F$,
$\therefore ∠ 2=∠ 5,∠ 4=∠ 6$。
$\because MN// BC,\therefore ∠ 1=∠ 5,∠ 3=∠ 6$。
$\therefore ∠ 1=∠ 2,∠ 3=∠ 4$。
$\therefore EO=CO,FO=CO$。$\therefore OE=OF$。
(2)解:$\because ∠ 2=∠ 5,∠ 4=∠ 6$,
$\therefore ∠ 2+∠ 4=∠ 5+∠ 6=90°$。
$\because CE=4,CF=3,\therefore EF=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
$\therefore OC=\dfrac{1}{2}EF=\dfrac{5}{2}$。
【知识点】
平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，融合了角平分线、平行线、等腰三角形、直角三角形的相关性质，解题核心是掌握“角平分线+平行线”可推出等腰三角形的常见结论，同时能快速识别直角三角形利用勾股定理求解，可有效考查对几何基础性质的应用能力。
【难度系数】
0.7
22.某服装专卖店计划购进A,B两种型号的精品服装。已知2件A型服装和3件B型服装共需4 600元;1件A型服装和2件B型服装共需2 800元。
(1)求A,B型服装的单价。
(2)专卖店要购进A,B两种型号服装共60件,其中A型服装件数不少于B型服装件数的2倍。如果B型服装打七五折,那么该专卖店至少需要准备多少货款?
(1)求A,B型服装的单价。
(2)专卖店要购进A,B两种型号服装共60件,其中A型服装件数不少于B型服装件数的2倍。如果B型服装打七五折,那么该专卖店至少需要准备多少货款?
答案
22.解:(1)设A型服装的单价为$x$元,B型服装的单价为$y$元,
根据题意,得$\begin{cases} 2x + 3y = 4\ 600, \\ x + 2y = 2\ 800, \end{cases}$解方程组,
得$\begin{cases} x = 800, \\ y = 1\ 000。 \end{cases}$
答:A型服装的单价为800元,B型服装的单价为1 000元。
(2)设购进B型服装$m$件,则购进A型服装$(60-m)$件,
根据题意,得$60 - m ≥ 2m$,解不等式,得$m≤ 20$。
设该专卖店需要准备$w$元的货款,
则$w = 800(60 - m) + 1\ 000 × 0.75m = -50m + 48\ 000$,
$\because k=-50,\therefore w$随$m$的增大而减小。
$\therefore$当$m=20$时,$w$取得最小值,
$w_{\mathrm{最小}}=-50× 20 + 48\ 000=47\ 000$。
答:该专卖店至少需要准备47 000元货款。
根据题意,得$\begin{cases} 2x + 3y = 4\ 600, \\ x + 2y = 2\ 800, \end{cases}$解方程组,
得$\begin{cases} x = 800, \\ y = 1\ 000。 \end{cases}$
答:A型服装的单价为800元,B型服装的单价为1 000元。
(2)设购进B型服装$m$件,则购进A型服装$(60-m)$件,
根据题意,得$60 - m ≥ 2m$,解不等式,得$m≤ 20$。
设该专卖店需要准备$w$元的货款,
则$w = 800(60 - m) + 1\ 000 × 0.75m = -50m + 48\ 000$,
$\because k=-50,\therefore w$随$m$的增大而减小。
$\therefore$当$m=20$时,$w$取得最小值,
$w_{\mathrm{最小}}=-50× 20 + 48\ 000=47\ 000$。
答:该专卖店至少需要准备47 000元货款。
解析
【分析】
(1) 求解A、B型服装的单价时，题目给出了两组不同购买组合的总费用，存在两个未知量和两个等量关系，我们可以通过设两个未知数，对应列出二元一次方程组求解即可。
(2) 求解最少货款时，首先设B型服装的购进数量为m件，即可表示出A型服装的购进数量；先根据“A型服装件数不少于B型服装件数的2倍”的限制条件列不等式，求出m的取值范围；再列出总货款关于m的一次函数表达式，结合一次函数的增减性，在m的取值范围内找到使总货款最小的取值，代入计算即可得到最少货款。
【解析】
(1) 设A型服装的单价为$x$元，B型服装的单价为$y$元，
根据题意，得$\begin{cases} 2x + 3y = 4\ 600, \\ x + 2y = 2\ 800, \end{cases}$
解方程组，得$\begin{cases} x = 800, \\ y = 1\ 000。 \end{cases}$
(2) 设购进B型服装$m$件，则购进A型服装$(60-m)$件，
根据题意，得$60 - m ≥ 2m$，
解不等式，得$m≤ 20$。
设该专卖店需要准备$w$元的货款，
则$w = 800(60 - m) + 1\ 000 × 0.75m = -50m + 48\ 000$，
$\because k=-50＜0,\therefore w$随$m$的增大而减小。
$\therefore$当$m$取最大值20时，$w$取得最小值，
$w_{\mathrm{最小}}=-50× 20 + 48\ 000=47\ 000$。
【答案】
(1) A型服装的单价为800元，B型服装的单价为1000元；
(2) 该专卖店至少需要准备47000元货款。
【知识点】
二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的实际应用
【点评】
本题属于常见的实际经营类应用题，综合考查了方程、不等式与一次函数的相关知识，解题核心是准确梳理题干中的等量、不等关系，结合一次函数的增减性求解最值，是实际应用类问题的典型考法。
【难度系数】
0.7
(1) 求解A、B型服装的单价时，题目给出了两组不同购买组合的总费用，存在两个未知量和两个等量关系，我们可以通过设两个未知数，对应列出二元一次方程组求解即可。
(2) 求解最少货款时，首先设B型服装的购进数量为m件，即可表示出A型服装的购进数量；先根据“A型服装件数不少于B型服装件数的2倍”的限制条件列不等式，求出m的取值范围；再列出总货款关于m的一次函数表达式，结合一次函数的增减性，在m的取值范围内找到使总货款最小的取值，代入计算即可得到最少货款。
【解析】
(1) 设A型服装的单价为$x$元，B型服装的单价为$y$元，
根据题意，得$\begin{cases} 2x + 3y = 4\ 600, \\ x + 2y = 2\ 800, \end{cases}$
解方程组，得$\begin{cases} x = 800, \\ y = 1\ 000。 \end{cases}$
(2) 设购进B型服装$m$件，则购进A型服装$(60-m)$件，
根据题意，得$60 - m ≥ 2m$，
解不等式，得$m≤ 20$。
设该专卖店需要准备$w$元的货款，
则$w = 800(60 - m) + 1\ 000 × 0.75m = -50m + 48\ 000$，
$\because k=-50＜0,\therefore w$随$m$的增大而减小。
$\therefore$当$m$取最大值20时，$w$取得最小值，
$w_{\mathrm{最小}}=-50× 20 + 48\ 000=47\ 000$。
【答案】
(1) A型服装的单价为800元，B型服装的单价为1000元；
(2) 该专卖店至少需要准备47000元货款。
【知识点】
二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的实际应用
【点评】
本题属于常见的实际经营类应用题，综合考查了方程、不等式与一次函数的相关知识，解题核心是准确梳理题干中的等量、不等关系，结合一次函数的增减性求解最值，是实际应用类问题的典型考法。
【难度系数】
0.7
