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19. 如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,交BC于点D,DE⊥AB,垂足为点E,∠B＝45°,∠C＝75°。
(1)求∠ADC的度数；
(2)若BE＝2,求AC的长。
(1)求∠ADC的度数；
(2)若BE＝2,求AC的长。
答案
19.解:(1)$\because ∠ B=45°,∠ C=75°$,
$\therefore ∠ BAC=180°-45°-75°=60°$。
$\because AD$平分$∠ BAC$,
$\therefore ∠ BAD=\dfrac{1}{2}∠ BAC=\dfrac{1}{2}× 60°=30°$。
$\therefore ∠ ADC = ∠ BAD + ∠ B = 30° + 45°=75°$。
(2)$\because ∠ ADC=75°,∠ C=75°$,
$\therefore AD=AC$。
$\because DE⊥ AB,∠ B=45°,BE=2$,
$\therefore DE=BE=2$。
$\because ∠ BAD=30°$,
$\therefore AD=2DE=4$。
$\therefore AC=AD=4$。
$\therefore ∠ BAC=180°-45°-75°=60°$。
$\because AD$平分$∠ BAC$,
$\therefore ∠ BAD=\dfrac{1}{2}∠ BAC=\dfrac{1}{2}× 60°=30°$。
$\therefore ∠ ADC = ∠ BAD + ∠ B = 30° + 45°=75°$。
(2)$\because ∠ ADC=75°,∠ C=75°$,
$\therefore AD=AC$。
$\because DE⊥ AB,∠ B=45°,BE=2$,
$\therefore DE=BE=2$。
$\because ∠ BAD=30°$,
$\therefore AD=2DE=4$。
$\therefore AC=AD=4$。
解析
【分析】
(1) 要求∠ADC的度数，首先利用三角形内角和定理算出△ABC中∠BAC的度数，再结合AD是角平分线得到∠BAD的度数，最后根据三角形外角的性质，∠ADC是△ABD的外角，用∠BAD加∠B即可求出结果。
(2) 要求AC的长，先通过角度计算发现∠ADC=∠C，根据等角对等边可得AC=AD，将求AC的长度转化为求AD的长度；再由DE⊥AB，∠B=45°，可知△BDE是等腰直角三角形，得到DE=BE=2；最后在Rt△ADE中，∠EAD=30°，利用“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”求出AD的长，即可得到AC的长。
【解析】
(1) 在△ABC中：
∵∠B=45°,∠C=75°,
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-45°-75°=60°。
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=$\dfrac{1}{2}$∠BAC=$\dfrac{1}{2}$×60°=30°。
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC = ∠BAD + ∠B = 30° + 45°=75°。
(2)
∵∠ADC=75°,∠C=75°,
∴∠ADC=∠C，根据等角对等边可得AD=AC。
∵DE⊥AB，∠B=45°,
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴DE=BE=2。
∵在Rt△ADE中，∠EAD=30°,
∴AD=2DE=2×2=4。
又
∵AD=AC，
∴AC=4。
【答案】
(1) ∠ADC=75°；(2) AC=4
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于三角形基础综合题，将角度计算和线段长度求解结合考查，解题核心是理清角度之间的等量关系，做好线段的等量转换，熟练掌握特殊三角形的性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
(1) 要求∠ADC的度数，首先利用三角形内角和定理算出△ABC中∠BAC的度数，再结合AD是角平分线得到∠BAD的度数，最后根据三角形外角的性质，∠ADC是△ABD的外角，用∠BAD加∠B即可求出结果。
(2) 要求AC的长，先通过角度计算发现∠ADC=∠C，根据等角对等边可得AC=AD，将求AC的长度转化为求AD的长度；再由DE⊥AB，∠B=45°，可知△BDE是等腰直角三角形，得到DE=BE=2；最后在Rt△ADE中，∠EAD=30°，利用“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”求出AD的长，即可得到AC的长。
【解析】
(1) 在△ABC中：
∵∠B=45°,∠C=75°,
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-45°-75°=60°。
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=$\dfrac{1}{2}$∠BAC=$\dfrac{1}{2}$×60°=30°。
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC = ∠BAD + ∠B = 30° + 45°=75°。
(2)
∵∠ADC=75°,∠C=75°,
∴∠ADC=∠C，根据等角对等边可得AD=AC。
∵DE⊥AB，∠B=45°,
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴DE=BE=2。
∵在Rt△ADE中，∠EAD=30°,
∴AD=2DE=2×2=4。
又
∵AD=AC，
∴AC=4。
【答案】
(1) ∠ADC=75°；(2) AC=4
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于三角形基础综合题，将角度计算和线段长度求解结合考查，解题核心是理清角度之间的等量关系，做好线段的等量转换，熟练掌握特殊三角形的性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
20. 在平面直角坐标系中，$△ ABC$ 的位置如图所示，点 $A$，$B$，$C$ 的坐标分别为$(-3,-3),(-1,-1),(0,-2)$。
(1)作$△ ABC$ 关于点 $C$ 成中心对称的$△ A_1B_1C_1$；
(2)将$△ A_1B_1C_1$ 向右平移 4 个单位长度，作出平移后的$△ A_2B_2C_2$；
(3)在 $x$ 轴上求作一点 $P$，使 $PA_2+PC_2$ 的值最小，并直接写出点 $P$ 的坐标。
(1)作$△ ABC$ 关于点 $C$ 成中心对称的$△ A_1B_1C_1$；
(2)将$△ A_1B_1C_1$ 向右平移 4 个单位长度，作出平移后的$△ A_2B_2C_2$；
(3)在 $x$ 轴上求作一点 $P$，使 $PA_2+PC_2$ 的值最小，并直接写出点 $P$ 的坐标。
答案
20.解:(1)如图,$△ A_1B_1C_1$即为所求。
(2)如图,$△ A_2B_2C_2$即为所求。
(3)作点$C_2$关于$x$轴的对称点$C'$,连接$C'A_2$交$x$轴于点$P$,如图,则$C'(4,2)$,$PA_2+PC_2=PA_2+PC'=A_2C'$,此时$PA_2+PC_2$的值最小,设直线$A_2C'$的解析式为$y = kx + b (k ≠ 0)$,把$C'(4,2)$,$A_2(7,-1)$代入,得$\begin{cases} 4k + b = 2, \\ 7k + b = -1, \end{cases}$
解得$\begin{cases} k = -1, \\ b = 6。 \end{cases}$
$\therefore$直线$A_2C'$的解析式为$y = -x + 6$,当$y=0$时,$-x+6=0$,
解得$x=6$。$\therefore$点$P$的坐标为$(6,0)$。
解析
【分析】
(1) 作中心对称图形需依据中心对称的性质：对称中心是对应点连线的中点。本题对称中心为点C，先根据A、B、C的坐标求出A、B关于C对称的点A₁、B₁的坐标，C的对称点C₁与C重合，顺次连接三点即可得到△A₁B₁C₁。
(2) 平移作图时，向右平移4个单位即图形所有点的横坐标加4、纵坐标不变，据此求出A₁、B₁、C₁平移后的对应点A₂、B₂、C₂的坐标，顺次连接即可得到△A₂B₂C₂。
(3) 求x轴上使PA₂+PC₂最小的点P属于“将军饮马”最短路径问题：作其中一个点关于x轴的对称点，根据两点之间线段最短，连接对称点与另一个点，和x轴的交点即为所求P点，再通过求直线解析式计算P的坐标即可。
【解析】
(1) 根据中心对称的性质，点C为A、A₁的中点，已知A(-3,-3)、C(0,-2)，可求得A₁(3,-1)；同理B(-1,-1)关于C的对称点B₁为(1,-3)，C₁与C重合为(0,-2)，顺次连接A₁、B₁、C₁，△A₁B₁C₁即为所求。
(2) 将△A₁B₁C₁各点横坐标加4、纵坐标不变，得到A₂(7,-1)、B₂(5,-3)、C₂(4,-2)，顺次连接三点，△A₂B₂C₂即为所求。
(3) 作点C₂关于x轴的对称点C'，根据轴对称的性质可知PC₂=PC'，因此PA₂+PC₂=PA₂+PC'，当C'、P、A₂三点共线时，PA₂+PC'的值最小，即PA₂+PC₂最小。
由C₂(4,-2)得对称点C'(4,2)，已知A₂(7,-1)，设直线A₂C'的解析式为$y=kx+b(k≠0)$，将两点坐标代入得：
$\begin{cases} 4k + b = 2 \\ 7k + b = -1 \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得$3k=-3$，解得$k=-1$，代入$4k+b=2$得$-4+b=2$，解得$b=6$。
因此直线A₂C'的解析式为$y=-x+6$，令$y=0$，得$-x+6=0$，解得$x=6$，即P点坐标为$(6,0)$。
【答案】
(1)(2)如图所示：
(3)点P的坐标为$\boldsymbol{(6,0)}$
【知识点】
中心对称的性质，坐标与图形平移，轴对称最短路径
【点评】
本题是平面直角坐标系下图形变换与最短路径的综合题，既考查了中心对称、平移的作图方法，也考查了“将军饮马”模型的应用和一次函数解析式的求解，注重对基础作图能力和最值问题分析能力的考察。
【难度系数】
0.7
(1) 作中心对称图形需依据中心对称的性质：对称中心是对应点连线的中点。本题对称中心为点C，先根据A、B、C的坐标求出A、B关于C对称的点A₁、B₁的坐标，C的对称点C₁与C重合，顺次连接三点即可得到△A₁B₁C₁。
(2) 平移作图时，向右平移4个单位即图形所有点的横坐标加4、纵坐标不变，据此求出A₁、B₁、C₁平移后的对应点A₂、B₂、C₂的坐标，顺次连接即可得到△A₂B₂C₂。
(3) 求x轴上使PA₂+PC₂最小的点P属于“将军饮马”最短路径问题：作其中一个点关于x轴的对称点，根据两点之间线段最短，连接对称点与另一个点，和x轴的交点即为所求P点，再通过求直线解析式计算P的坐标即可。
【解析】
(1) 根据中心对称的性质，点C为A、A₁的中点，已知A(-3,-3)、C(0,-2)，可求得A₁(3,-1)；同理B(-1,-1)关于C的对称点B₁为(1,-3)，C₁与C重合为(0,-2)，顺次连接A₁、B₁、C₁，△A₁B₁C₁即为所求。
(2) 将△A₁B₁C₁各点横坐标加4、纵坐标不变，得到A₂(7,-1)、B₂(5,-3)、C₂(4,-2)，顺次连接三点，△A₂B₂C₂即为所求。
(3) 作点C₂关于x轴的对称点C'，根据轴对称的性质可知PC₂=PC'，因此PA₂+PC₂=PA₂+PC'，当C'、P、A₂三点共线时，PA₂+PC'的值最小，即PA₂+PC₂最小。
由C₂(4,-2)得对称点C'(4,2)，已知A₂(7,-1)，设直线A₂C'的解析式为$y=kx+b(k≠0)$，将两点坐标代入得：
$\begin{cases} 4k + b = 2 \\ 7k + b = -1 \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得$3k=-3$，解得$k=-1$，代入$4k+b=2$得$-4+b=2$，解得$b=6$。
因此直线A₂C'的解析式为$y=-x+6$，令$y=0$，得$-x+6=0$，解得$x=6$，即P点坐标为$(6,0)$。
【答案】
(1)(2)如图所示：
(3)点P的坐标为$\boldsymbol{(6,0)}$
【知识点】
中心对称的性质，坐标与图形平移，轴对称最短路径
【点评】
本题是平面直角坐标系下图形变换与最短路径的综合题，既考查了中心对称、平移的作图方法，也考查了“将军饮马”模型的应用和一次函数解析式的求解，注重对基础作图能力和最值问题分析能力的考察。
【难度系数】
0.7
