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1. 下列等式从左边到右边的变形，属于因式分解的是 （
A.$a(x-y)=ax-ay$
B.$x^2+2x+1=x(x+2)+1$
C.$(x+1)^2=x^2+2x+1$
D.$x^2 -x =x(x-1)$
D
）A.$a(x-y)=ax-ay$
B.$x^2+2x+1=x(x+2)+1$
C.$(x+1)^2=x^2+2x+1$
D.$x^2 -x =x(x-1)$
答案
1.D
解析
【分析】
要判断等式变形是否属于因式分解，首先要明确因式分解的核心判定标准：①变形的对象是多项式；②变形的最终结果是几个整式的乘积形式；③因式分解和整式乘法是互逆的变形过程。解题时我们逐一对照判定标准分析每个选项即可得到正确答案。
【解析】
首先明确因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。
选项A：等式左边是整式乘积的形式，右边是多项式的和差形式，属于整式乘法运算，是因式分解的逆过程，不属于因式分解，故A错误；
选项B：等式右边是$x(x+2)$与1的和，为和的形式，不是几个整式的乘积形式，不符合因式分解的定义，故B错误；
选项C：等式左边是整式乘积的形式，右边是多项式的和差形式，属于整式的完全平方公式展开，是整式乘法运算，不属于因式分解，故C错误；
选项D：等式左边是多项式$x^2-x$，右边是$x$和$(x-1)$两个整式的乘积，完全符合因式分解的定义，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 因式分解的定义
2. 整式乘法与因式分解的区别
【点评】
本题是因式分解的基础概念考查题，解题的关键是抓住因式分解的核心特征：变形结果必须为若干个整式的乘积，同时要注意区分因式分解和整式乘法的互逆关系，避免混淆两类变形。
【难度系数】
0.8
要判断等式变形是否属于因式分解，首先要明确因式分解的核心判定标准：①变形的对象是多项式；②变形的最终结果是几个整式的乘积形式；③因式分解和整式乘法是互逆的变形过程。解题时我们逐一对照判定标准分析每个选项即可得到正确答案。
【解析】
首先明确因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。
选项A：等式左边是整式乘积的形式，右边是多项式的和差形式，属于整式乘法运算，是因式分解的逆过程，不属于因式分解，故A错误；
选项B：等式右边是$x(x+2)$与1的和，为和的形式，不是几个整式的乘积形式，不符合因式分解的定义，故B错误；
选项C：等式左边是整式乘积的形式，右边是多项式的和差形式，属于整式的完全平方公式展开，是整式乘法运算，不属于因式分解，故C错误；
选项D：等式左边是多项式$x^2-x$，右边是$x$和$(x-1)$两个整式的乘积，完全符合因式分解的定义，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 因式分解的定义
2. 整式乘法与因式分解的区别
【点评】
本题是因式分解的基础概念考查题，解题的关键是抓住因式分解的核心特征：变形结果必须为若干个整式的乘积，同时要注意区分因式分解和整式乘法的互逆关系，避免混淆两类变形。
【难度系数】
0.8
2. 在探索因式分解的公式时，可以借助几何图形来解释某些公式。如图，从左图到右图的变化过程中，解释的因式分解公式是 （
A.$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$
B.$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$
C.$a^2 + b^2=(a+b)^2$
D.$(a-b)^2=a^2 - 2ab + b^2$
B
）A.$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$
B.$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$
C.$a^2 + b^2=(a+b)^2$
D.$(a-b)^2=a^2 - 2ab + b^2$
答案
2.B
解析
【分析】
这是一道利用几何图形验证因式分解公式的题目，核心思路是剪拼前后图形的总面积相等，同时结合因式分解的定义判断即可。首先先计算左图的面积：左图是边长为a的大正方形减去边长为b的小正方形，面积为两个正方形的面积差；再计算右图拼接后长方形的面积，先确定长方形的长和宽，再用长乘宽计算面积；最后根据面积相等列出等式，结合“因式分解是将多项式转化为几个整式乘积的形式”的定义，排除不符合的选项就能得到答案。
【解析】
1. 计算左图面积：左图为边长是a的大正方形挖去边长为b的小正方形，因此面积$S_1 = S_{大正方形} - S_{小正方形} = a^2 - b^2$。
2. 计算右图面积：右图是左图剩余部分拼接得到的长方形，观察图形可得长方形的长为$a+b$，宽为$a-b$，因此面积$S_2 = 长 × 宽 = (a+b)(a-b)$。
3. 由于图形剪拼前后总面积不变，因此$S_1 = S_2$，即$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$。
4. 因式分解是把多项式化成几个整式乘积的形式，该等式符合因式分解的要求；选项A是整式乘法，是从乘积到多项式的变形，不符合题意，选项C、D对应的公式和图形面积表示不符，因此选B。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式，因式分解的定义，等积变换
【点评】
本题通过数形结合的方式验证因式分解公式，解题时需要抓住剪拼前后面积不变的核心，同时要注意区分因式分解和整式乘法的形式差异，避免混淆公式的变形方向误选A。
【难度系数】
0.7
这是一道利用几何图形验证因式分解公式的题目，核心思路是剪拼前后图形的总面积相等，同时结合因式分解的定义判断即可。首先先计算左图的面积：左图是边长为a的大正方形减去边长为b的小正方形，面积为两个正方形的面积差；再计算右图拼接后长方形的面积，先确定长方形的长和宽，再用长乘宽计算面积；最后根据面积相等列出等式，结合“因式分解是将多项式转化为几个整式乘积的形式”的定义，排除不符合的选项就能得到答案。
【解析】
1. 计算左图面积：左图为边长是a的大正方形挖去边长为b的小正方形，因此面积$S_1 = S_{大正方形} - S_{小正方形} = a^2 - b^2$。
2. 计算右图面积：右图是左图剩余部分拼接得到的长方形，观察图形可得长方形的长为$a+b$，宽为$a-b$，因此面积$S_2 = 长 × 宽 = (a+b)(a-b)$。
3. 由于图形剪拼前后总面积不变，因此$S_1 = S_2$，即$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$。
4. 因式分解是把多项式化成几个整式乘积的形式，该等式符合因式分解的要求；选项A是整式乘法，是从乘积到多项式的变形，不符合题意，选项C、D对应的公式和图形面积表示不符，因此选B。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式，因式分解的定义，等积变换
【点评】
本题通过数形结合的方式验证因式分解公式，解题时需要抓住剪拼前后面积不变的核心，同时要注意区分因式分解和整式乘法的形式差异，避免混淆公式的变形方向误选A。
【难度系数】
0.7
3.若三角形的三边长分别为$a,b,c$,满足$a^2b + b^2c = c^2b + a^2c$,则这个三角形是（
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形或直角三角形
D.三角形的形状不确定
A
）A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形或直角三角形
D.三角形的形状不确定
答案
3.A
解析
【分析】
要判断三角形的形状，需先对给出的边长等式进行变形推导，得到边长之间的关系。解题步骤可分为三步：第一步先将等式所有项移到等号左侧，第二步对左侧的多项式分组进行因式分解，第三步结合三角形边长均为正数的隐含条件，分析因式乘积为0的情况，最终得到边长的等量关系，判断三角形形状。
【解析】
首先对已知等式移项，将右侧项全部移到左侧：
$a^2b + b^2c - c^2b - a^2c = 0$
对左侧多项式分组提取公因式：
将含$a^2$的项分为一组，含$bc$的项分为一组，得：
$a^2(b - c) + bc(b - c) = 0$
再提取公因式$(b - c)$，得：
$(b - c)(a^2 + bc) = 0$
∵$a,b,c$是三角形的三边长，均为正数，
∴$a^2 ＞ 0$，$bc ＞ 0$，即$a^2 + bc ＞ 0$，
因此只有$b - c = 0$，即$b = c$，
∴这个三角形是等腰三角形，故选A。
【答案】
A
【知识点】
因式分解的应用；等腰三角形的判定；三角形三边的性质
【点评】
本题是三角形形状判断的常见题型，核心是通过因式分解将边的等式转化为边的等量关系，解题时要注意利用三角形边长为正的隐含条件排除不可能的因式为0的情况，避免错选。
【难度系数】
0.7
要判断三角形的形状，需先对给出的边长等式进行变形推导，得到边长之间的关系。解题步骤可分为三步：第一步先将等式所有项移到等号左侧，第二步对左侧的多项式分组进行因式分解，第三步结合三角形边长均为正数的隐含条件，分析因式乘积为0的情况，最终得到边长的等量关系，判断三角形形状。
【解析】
首先对已知等式移项，将右侧项全部移到左侧：
$a^2b + b^2c - c^2b - a^2c = 0$
对左侧多项式分组提取公因式：
将含$a^2$的项分为一组，含$bc$的项分为一组，得：
$a^2(b - c) + bc(b - c) = 0$
再提取公因式$(b - c)$，得：
$(b - c)(a^2 + bc) = 0$
∵$a,b,c$是三角形的三边长，均为正数，
∴$a^2 ＞ 0$，$bc ＞ 0$，即$a^2 + bc ＞ 0$，
因此只有$b - c = 0$，即$b = c$，
∴这个三角形是等腰三角形，故选A。
【答案】
A
【知识点】
因式分解的应用；等腰三角形的判定；三角形三边的性质
【点评】
本题是三角形形状判断的常见题型，核心是通过因式分解将边的等式转化为边的等量关系，解题时要注意利用三角形边长为正的隐含条件排除不可能的因式为0的情况，避免错选。
【难度系数】
0.7
4. 因式分解：$2x^2 - 8xy + 8y^2 =$
$2(x-2y)^2$
。答案
4.$2(x-2y)^2$
解析
【分析】
因式分解遵循“一提二套三查”的解题思路：第一步先观察多项式各项是否存在公因式，若有先提取公因式；第二步判断提取公因式后剩余的多项式是否符合乘法公式的结构，若符合则套用公式继续分解；第三步检查分解结果是否彻底，确保每个因式都无法再分解。本题先提取公因式2，再观察剩余部分符合完全平方差公式的结构，套用公式即可完成分解。
【解析】
解：$2x^2 - 8xy + 8y^2$
1. 提取公因式2：
$=2(x^2 - 4xy + 4y^2)$
2. 括号内的多项式符合完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，其中$a=x$，$b=2y$，代入得：
$=2(x-2y)^2$
3. 检查结果，常数2和一次因式$x-2y$均无法继续分解，分解完成。
【答案】
$2(x-2y)^2$
【知识点】
提公因式法，完全平方公式，因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础常规题，考查因式分解的标准操作步骤，解题时需注意公因式要提取彻底，套用公式时要准确匹配公式的结构特征，避免分解不彻底或公式套用错误。
【难度系数】
0.85
因式分解遵循“一提二套三查”的解题思路：第一步先观察多项式各项是否存在公因式，若有先提取公因式；第二步判断提取公因式后剩余的多项式是否符合乘法公式的结构，若符合则套用公式继续分解；第三步检查分解结果是否彻底，确保每个因式都无法再分解。本题先提取公因式2，再观察剩余部分符合完全平方差公式的结构，套用公式即可完成分解。
【解析】
解：$2x^2 - 8xy + 8y^2$
1. 提取公因式2：
$=2(x^2 - 4xy + 4y^2)$
2. 括号内的多项式符合完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，其中$a=x$，$b=2y$，代入得：
$=2(x-2y)^2$
3. 检查结果，常数2和一次因式$x-2y$均无法继续分解，分解完成。
【答案】
$2(x-2y)^2$
【知识点】
提公因式法，完全平方公式，因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础常规题，考查因式分解的标准操作步骤，解题时需注意公因式要提取彻底，套用公式时要准确匹配公式的结构特征，避免分解不彻底或公式套用错误。
【难度系数】
0.85
5. 多项式$-2ab+a^{2},a^{3}-4ab^{2}$及$a^{2}-4ab+4b^{2}$的公因式是
$a-2b$
。答案
5.$a-2b$
解析
【分析】
要确定多个多项式的公因式，核心思路是先把每个多项式因式分解为最简整式的乘积形式，再对比所有分解结果，找出所有式子共同含有的因式，即为所求公因式。解题时先分别对三个多项式做因式分解，再提取公共因式即可。
【解析】
分别对三个多项式因式分解：
1. 分解$-2ab+a^2$：
先提取公因式$a$，可得：$-2ab+a^2=a^2-2ab=a(a-2b)$；
2. 分解$a^3-4ab^2$：
先提取公因式$a$得$a(a^2-4b^2)$，再用平方差公式分解$a^2-4b^2=(a-2b)(a+2b)$，因此：$a^3-4ab^2=a(a-2b)(a+2b)$；
3. 分解$a^2-4ab+4b^2$：
用完全平方公式分解可得：$a^2-4ab+4b^2=(a-2b)^2$。
对比三个分解后的式子，共同含有的因式为$a-2b$，即三个多项式的公因式是$a-2b$。
【答案】
$a-2b$
【知识点】
公因式确定，提公因式法，公式法分解因式
【点评】
本题考查公因式的判断，解题关键是熟练掌握因式分解的常用方法，将各多项式分解彻底后再找公共因式，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
要确定多个多项式的公因式，核心思路是先把每个多项式因式分解为最简整式的乘积形式，再对比所有分解结果，找出所有式子共同含有的因式，即为所求公因式。解题时先分别对三个多项式做因式分解，再提取公共因式即可。
【解析】
分别对三个多项式因式分解：
1. 分解$-2ab+a^2$：
先提取公因式$a$，可得：$-2ab+a^2=a^2-2ab=a(a-2b)$；
2. 分解$a^3-4ab^2$：
先提取公因式$a$得$a(a^2-4b^2)$，再用平方差公式分解$a^2-4b^2=(a-2b)(a+2b)$，因此：$a^3-4ab^2=a(a-2b)(a+2b)$；
3. 分解$a^2-4ab+4b^2$：
用完全平方公式分解可得：$a^2-4ab+4b^2=(a-2b)^2$。
对比三个分解后的式子，共同含有的因式为$a-2b$，即三个多项式的公因式是$a-2b$。
【答案】
$a-2b$
【知识点】
公因式确定，提公因式法，公式法分解因式
【点评】
本题考查公因式的判断，解题关键是熟练掌握因式分解的常用方法，将各多项式分解彻底后再找公共因式，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
6. 把下列各式因式分解：
(1)$(a+b)^2 -4a^2$；
(2)$9(m+n)^2 - (m-n)^2$；
(3)$-3a^2x^2 +24a^2x -48a^2$；
(4)$(a^2+4)^2 -16a^2$。
(1)$(a+b)^2 -4a^2$；
(2)$9(m+n)^2 - (m-n)^2$；
(3)$-3a^2x^2 +24a^2x -48a^2$；
(4)$(a^2+4)^2 -16a^2$。
答案
6.解:(1)原式$=(a+b+2a)(a+b-2a)$
$=(3a+b)(b-a)$。
(2)原式$=[3(m+n)-(m-n)][3(m+n)+(m-n)]$
$=(2m+4n)(4m+2n)$
$=4(m+2n)(2m+n)$。
(3)原式$=-3a^2(x^2-8x+16)$
$=-3a^2(x-4)^2$。
(4)原式$=(a^2+4-4a)(a^2+4+4a)$
$=(a-2)^2(a+2)^2$。
$=(3a+b)(b-a)$。
(2)原式$=[3(m+n)-(m-n)][3(m+n)+(m-n)]$
$=(2m+4n)(4m+2n)$
$=4(m+2n)(2m+n)$。
(3)原式$=-3a^2(x^2-8x+16)$
$=-3a^2(x-4)^2$。
(4)原式$=(a^2+4-4a)(a^2+4+4a)$
$=(a-2)^2(a+2)^2$。
解析
【分析】
因式分解遵循“一提二套三查”的步骤求解：①提：先观察多项式是否有公因式，若有则先提取公因式，注意提取负号时括号内各项要变号；②套：提取公因式后（或无公因式时），观察式子特征：两项且为平方异号的形式用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，三项且符合“首平方、尾平方，积的两倍在中央”的形式用完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，注意可将某个多项式看作整体代入公式；③查：分解完成后检查是否每个因式都无法再分解，是否有遗漏的公因式未提取。
具体各题思路：
(1)式子为两项平方差的形式，将$(a+b)$看作整体，直接套用平方差公式分解，再合并同类项即可；
(2)式子为两项平方差的形式，将$3(m+n)$和$(m-n)$分别看作平方差公式中的两项，套用公式后去括号合并同类项，再提取两个因式中的公因式整理即可；
(3)先提取公因式$-3a^2$，剩余的二次三项式符合完全平方公式特征，继续套用公式分解即可；
(4)式子为两项平方差的形式，将$(a^2+4)$和$4a$分别看作整体套用平方差公式，分解后得到的两个三项式均符合完全平方公式特征，继续分解彻底即可。
【解析】
(1) 原式符合平方差公式特征，套用公式得：
$\begin{aligned}原式&=(a+b+2a)(a+b-2a)\\&=(3a+b)(b-a)\end{aligned}$
(2) 原式符合平方差公式特征，套用公式得：
$\begin{aligned}原式&=[3(m+n)+(m-n)][3(m+n)-(m-n)]\\&=(3m+3n+m-n)(3m+3n-m+n)\\&=(4m+2n)(2m+4n)\\&=4(m+2n)(2m+n)\end{aligned}$
(3) 先提取公因式$-3a^2$，再套用完全平方公式：
$\begin{aligned}原式&=-3a^2(x^2-8x+16)\\&=-3a^2(x-4)^2\end{aligned}$
(4) 先套用平方差公式，再套用完全平方公式分解彻底：
$\begin{aligned}原式&=(a^2+4+4a)(a^2+4-4a)\\&=(a+2)^2(a-2)^2\end{aligned}$
【答案】
(1) $(3a+b)(b-a)$；
(2) $4(m+2n)(2m+n)$；
(3) $-3a^2(x-4)^2$；
(4) $(a-2)^2(a+2)^2$
【知识点】
提公因式法因式分解，平方差公式因式分解，完全平方公式因式分解
【点评】
本题考查因式分解的常规应用，解题时要熟练掌握“一提二套三查”的流程，注意整体思想的运用，同时要保证分解后的每个因式都不能再分解，避免出现分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.75
因式分解遵循“一提二套三查”的步骤求解：①提：先观察多项式是否有公因式，若有则先提取公因式，注意提取负号时括号内各项要变号；②套：提取公因式后（或无公因式时），观察式子特征：两项且为平方异号的形式用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，三项且符合“首平方、尾平方，积的两倍在中央”的形式用完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，注意可将某个多项式看作整体代入公式；③查：分解完成后检查是否每个因式都无法再分解，是否有遗漏的公因式未提取。
具体各题思路：
(1)式子为两项平方差的形式，将$(a+b)$看作整体，直接套用平方差公式分解，再合并同类项即可；
(2)式子为两项平方差的形式，将$3(m+n)$和$(m-n)$分别看作平方差公式中的两项，套用公式后去括号合并同类项，再提取两个因式中的公因式整理即可；
(3)先提取公因式$-3a^2$，剩余的二次三项式符合完全平方公式特征，继续套用公式分解即可；
(4)式子为两项平方差的形式，将$(a^2+4)$和$4a$分别看作整体套用平方差公式，分解后得到的两个三项式均符合完全平方公式特征，继续分解彻底即可。
【解析】
(1) 原式符合平方差公式特征，套用公式得：
$\begin{aligned}原式&=(a+b+2a)(a+b-2a)\\&=(3a+b)(b-a)\end{aligned}$
(2) 原式符合平方差公式特征，套用公式得：
$\begin{aligned}原式&=[3(m+n)+(m-n)][3(m+n)-(m-n)]\\&=(3m+3n+m-n)(3m+3n-m+n)\\&=(4m+2n)(2m+4n)\\&=4(m+2n)(2m+n)\end{aligned}$
(3) 先提取公因式$-3a^2$，再套用完全平方公式：
$\begin{aligned}原式&=-3a^2(x^2-8x+16)\\&=-3a^2(x-4)^2\end{aligned}$
(4) 先套用平方差公式，再套用完全平方公式分解彻底：
$\begin{aligned}原式&=(a^2+4+4a)(a^2+4-4a)\\&=(a+2)^2(a-2)^2\end{aligned}$
【答案】
(1) $(3a+b)(b-a)$；
(2) $4(m+2n)(2m+n)$；
(3) $-3a^2(x-4)^2$；
(4) $(a-2)^2(a+2)^2$
【知识点】
提公因式法因式分解，平方差公式因式分解，完全平方公式因式分解
【点评】
本题考查因式分解的常规应用，解题时要熟练掌握“一提二套三查”的流程，注意整体思想的运用，同时要保证分解后的每个因式都不能再分解，避免出现分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.75
