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7.已知$△ ABC$的三边$a,b,c$满足$\sqrt{b-4} + |3 - c| + a^2 -10a +25=0$，求$△ ABC$的面积。
答案
7.解:$\because \sqrt{b-4} + |3 - c| + a^2 -10a +25=0$，
$\therefore \sqrt{b-4} + |3 - c| + (a-5)^2=0$。
$\therefore \begin{cases} b-4=0, \\ 3-c=0, \\ a-5=0, \end{cases}$解得$a=5,b=4,c=3$。
$\because 3^2+4^2=5^2$，
$\therefore △ ABC$是一个直角三角形。
$\therefore △ ABC$的面积为$3×4÷2=6$。
$\therefore \sqrt{b-4} + |3 - c| + (a-5)^2=0$。
$\therefore \begin{cases} b-4=0, \\ 3-c=0, \\ a-5=0, \end{cases}$解得$a=5,b=4,c=3$。
$\because 3^2+4^2=5^2$，
$\therefore △ ABC$是一个直角三角形。
$\therefore △ ABC$的面积为$3×4÷2=6$。
解析
【分析】
解题时首先观察等式的构成，其中算术平方根、绝对值、完全平方数都属于非负数，根据非负数的性质：若几个非负数的和为0，则每一个非负数都为0。第一步先将等式中关于a的二次三项式配方为完全平方形式，然后分别令每个非负项等于0，求解得到三角形三边的长度；接下来用勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形，若为直角三角形，再用直角三角形面积公式计算面积即可。
【解析】
解：$\because \sqrt{b-4} + |3 - c| + a^2 -10a +25=0$，
$\therefore \sqrt{b-4} + |3 - c| + (a-5)^2=0$，
又$\because \sqrt{b-4}≥0$，$|3 - c|≥0$，$(a-5)^2≥0$，
$\therefore \begin{cases} b-4=0, \\ 3-c=0, \\ a-5=0, \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=5, \\ b=4, \\ c=3. \end{cases}$
$\because 3^2+4^2=9+16=25=5^2$，即$c^2+b^2=a^2$，
$\therefore △ ABC$是直角三角形，且直角边为b、c，
$\therefore △ ABC$的面积为$\frac{1}{2}×3×4=6$。
【答案】
6
【知识点】
非负数的性质；勾股定理的逆定理；三角形面积计算
【点评】
本题是基础综合题，解题的核心是先利用非负数的性质求出三角形三边的长度，再结合勾股定理逆定理判定三角形为直角三角形后计算面积，这类题型是代数与几何结合的常考题型，熟练掌握相关基础知识点即可快速解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察等式的构成，其中算术平方根、绝对值、完全平方数都属于非负数，根据非负数的性质：若几个非负数的和为0，则每一个非负数都为0。第一步先将等式中关于a的二次三项式配方为完全平方形式，然后分别令每个非负项等于0，求解得到三角形三边的长度；接下来用勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形，若为直角三角形，再用直角三角形面积公式计算面积即可。
【解析】
解：$\because \sqrt{b-4} + |3 - c| + a^2 -10a +25=0$，
$\therefore \sqrt{b-4} + |3 - c| + (a-5)^2=0$，
又$\because \sqrt{b-4}≥0$，$|3 - c|≥0$，$(a-5)^2≥0$，
$\therefore \begin{cases} b-4=0, \\ 3-c=0, \\ a-5=0, \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=5, \\ b=4, \\ c=3. \end{cases}$
$\because 3^2+4^2=9+16=25=5^2$，即$c^2+b^2=a^2$，
$\therefore △ ABC$是直角三角形，且直角边为b、c，
$\therefore △ ABC$的面积为$\frac{1}{2}×3×4=6$。
【答案】
6
【知识点】
非负数的性质；勾股定理的逆定理；三角形面积计算
【点评】
本题是基础综合题，解题的核心是先利用非负数的性质求出三角形三边的长度，再结合勾股定理逆定理判定三角形为直角三角形后计算面积，这类题型是代数与几何结合的常考题型，熟练掌握相关基础知识点即可快速解答。
【难度系数】
0.8
8.阅读下面的材料：
已知$a$，$b$，$c$为$△ ABC$的三边，且满足$(a-b)(a^2+b^2)=ac^2-bc^2$，试判断$△ ABC$的形状。有个学生的解答过程如下：
解：$\because (a-b)(a^2+b^2)=ac^2-bc^2$，
$\therefore (a-b)(a^2+b^2)=c^2(a-b)$，（第一步）
$\therefore a^2+b^2=c^2$，（第二步）
$\therefore △ ABC$是直角三角形。（第三步）
根据上述材料中的解题过程，回答下列问题：
(1)该学生的解答过程，从第
(2)简要分析出现错误的原因；
(3)请写出正确的解答过程。
已知$a$，$b$，$c$为$△ ABC$的三边，且满足$(a-b)(a^2+b^2)=ac^2-bc^2$，试判断$△ ABC$的形状。有个学生的解答过程如下：
解：$\because (a-b)(a^2+b^2)=ac^2-bc^2$，
$\therefore (a-b)(a^2+b^2)=c^2(a-b)$，（第一步）
$\therefore a^2+b^2=c^2$，（第二步）
$\therefore △ ABC$是直角三角形。（第三步）
根据上述材料中的解题过程，回答下列问题：
(1)该学生的解答过程，从第
二
步开始出现错误；(2)简要分析出现错误的原因；
(3)请写出正确的解答过程。
答案
8.解:(1)二
(2)错误的原因是忽略了$a-b=0$的可能性。
(3)$\because (a-b)(a^2+b^2)=ac^2-bc^2$，
$\therefore (a-b)(a^2+b^2)=c^2(a-b)$。
$\therefore (a-b)(a^2+b^2)-c^2(a-b)=0$。
$\therefore (a-b)(a^2+b^2-c^2)=0$。
$\therefore a-b=0$或$a^2+b^2-c^2=0$。
$\therefore a=b$或$a^2+b^2=c^2$。
$\therefore △ ABC$是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形。
(2)错误的原因是忽略了$a-b=0$的可能性。
(3)$\because (a-b)(a^2+b^2)=ac^2-bc^2$，
$\therefore (a-b)(a^2+b^2)=c^2(a-b)$。
$\therefore (a-b)(a^2+b^2)-c^2(a-b)=0$。
$\therefore (a-b)(a^2+b^2-c^2)=0$。
$\therefore a-b=0$或$a^2+b^2-c^2=0$。
$\therefore a=b$或$a^2+b^2=c^2$。
$\therefore △ ABC$是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形。
解析
【分析】
本题是根据三角形三边满足的等式判断三角形形状的题目。首先观察学生的解题过程，第一步对等式右侧提取公因式$c^2$，变形是正确的；第二步直接将等式两边同时除以$(a-b)$，此处违反了等式的基本性质：等式两边同时除以同一个不为0的整式，等式才成立，因此遗漏了$a-b=0$的情况。正确的解题思路是：先对等式变形，再移项提取公因式$(a-b)$，根据“多个因式乘积为0时至少一个因式为0”分两种情况讨论，分别判断三角形形状即可。
【解析】
(1) 学生第二步直接将等式两边除以$(a-b)$，未考虑$a-b$可能为0，因此从第二步开始出现错误，答案为二。
(2) 错误原因：该学生在等式两边同时除以整式$(a-b)$时，忽略了$a-b=0$（即$a=b$）的可能性，不符合等式的基本性质，导致漏解。
(3) 正确解答过程如下：
$\because (a-b)(a^2+b^2)=ac^2-bc^2$
$\therefore (a-b)(a^2+b^2)=c^2(a-b)$
移项得：$(a-b)(a^2+b^2)-c^2(a-b)=0$
提取公因式$(a-b)$得：$(a-b)(a^2+b^2-c^2)=0$
$\therefore a-b=0$或$a^2+b^2-c^2=0$
即$a=b$或$a^2+b^2=c^2$
$\therefore △ ABC$是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形。
【答案】
(1) 二
(2) 忽略了$a-b=0$的可能性。
(3) $△ ABC$是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形。
【知识点】
等式的性质，因式分解应用，三角形分类
【点评】
本题考查等式变形的注意事项和分类讨论思想的应用，解题时切忌随意除以可能取值为0的整式，否则会出现漏解的情况。
【难度系数】
0.6
本题是根据三角形三边满足的等式判断三角形形状的题目。首先观察学生的解题过程，第一步对等式右侧提取公因式$c^2$，变形是正确的；第二步直接将等式两边同时除以$(a-b)$，此处违反了等式的基本性质：等式两边同时除以同一个不为0的整式，等式才成立，因此遗漏了$a-b=0$的情况。正确的解题思路是：先对等式变形，再移项提取公因式$(a-b)$，根据“多个因式乘积为0时至少一个因式为0”分两种情况讨论，分别判断三角形形状即可。
【解析】
(1) 学生第二步直接将等式两边除以$(a-b)$，未考虑$a-b$可能为0，因此从第二步开始出现错误，答案为二。
(2) 错误原因：该学生在等式两边同时除以整式$(a-b)$时，忽略了$a-b=0$（即$a=b$）的可能性，不符合等式的基本性质，导致漏解。
(3) 正确解答过程如下：
$\because (a-b)(a^2+b^2)=ac^2-bc^2$
$\therefore (a-b)(a^2+b^2)=c^2(a-b)$
移项得：$(a-b)(a^2+b^2)-c^2(a-b)=0$
提取公因式$(a-b)$得：$(a-b)(a^2+b^2-c^2)=0$
$\therefore a-b=0$或$a^2+b^2-c^2=0$
即$a=b$或$a^2+b^2=c^2$
$\therefore △ ABC$是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形。
【答案】
(1) 二
(2) 忽略了$a-b=0$的可能性。
(3) $△ ABC$是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形。
【知识点】
等式的性质，因式分解应用，三角形分类
【点评】
本题考查等式变形的注意事项和分类讨论思想的应用，解题时切忌随意除以可能取值为0的整式，否则会出现漏解的情况。
【难度系数】
0.6
