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9. 我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理验证。观察图1，$a^2 -1 = a(a-1)+(a-1)=(a-1)(a+1)$。接下来，观察图2，通过类比思考，因式分解$a^3 -1 =$ 
$a^2(a-1)+a(a-1)+(a-1)$
$=$ $(a-1)(a^2+a+1)$
。答案
9.$a^2(a-1)+a(a-1)+(a-1)$
$(a-1)(a^2+a+1)$
$(a-1)(a^2+a+1)$
解析
【分析】
解题时先梳理题干给出的图1的推导逻辑：将代数中的平方差转化为几何图形的面积差，把面积差拆分为多个含公因式的小图形面积之和，再提取公因式完成因式分解。类比该思路，立方差$a^3-1$可对应棱长为$a$的正方体体积减去棱长为1的正方体体积的差值，将剩余几何体拆分为3个均含公因式$(a-1)$的长方体，分别计算体积求和后，再提取公因式即可完成因式分解。
【解析】
类比图1的推导方法：
1. 几何意义转化：$a^3$是棱长为$a$的正方体体积，$1=1^3$是棱长为1的正方体体积，因此$a^3-1$表示大正方体挖去小正方体后的剩余体积。
2. 拆分剩余体积：将剩余几何体分割为3个长方体：
长宽为$a$、高为$(a-1)$的长方体，体积为$a^2(a-1)$；
长为$a$、宽为1、高为$(a-1)$的长方体，体积为$a(a-1)$；
长宽为1、高为$(a-1)$的长方体，体积为$1×(a-1)=(a-1)$。
3. 求和得第一步结果：$a^3 -1 = a^2(a-1)+a(a-1)+(a-1)$。
4. 提取公因式$(a-1)$，得：$a^3 -1 = (a-1)(a^2+a+1)$。
【答案】
$a^2(a-1)+a(a-1)+(a-1)$；$(a-1)(a^2+a+1)$
【知识点】
提公因式法因式分解；数形结合思想；类比推理
【点评】
本题借助几何图形的体积拆分验证代数因式分解公式，既考查了提取公因式因式分解的基本技能，又引导学生运用类比、数形结合的思想探究公式来源，能加深对公式推导过程的理解，强化知识的内在联系。
【难度系数】
0.7
解题时先梳理题干给出的图1的推导逻辑：将代数中的平方差转化为几何图形的面积差，把面积差拆分为多个含公因式的小图形面积之和，再提取公因式完成因式分解。类比该思路，立方差$a^3-1$可对应棱长为$a$的正方体体积减去棱长为1的正方体体积的差值，将剩余几何体拆分为3个均含公因式$(a-1)$的长方体，分别计算体积求和后，再提取公因式即可完成因式分解。
【解析】
类比图1的推导方法：
1. 几何意义转化：$a^3$是棱长为$a$的正方体体积，$1=1^3$是棱长为1的正方体体积，因此$a^3-1$表示大正方体挖去小正方体后的剩余体积。
2. 拆分剩余体积：将剩余几何体分割为3个长方体：
长宽为$a$、高为$(a-1)$的长方体，体积为$a^2(a-1)$；
长为$a$、宽为1、高为$(a-1)$的长方体，体积为$a(a-1)$；
长宽为1、高为$(a-1)$的长方体，体积为$1×(a-1)=(a-1)$。
3. 求和得第一步结果：$a^3 -1 = a^2(a-1)+a(a-1)+(a-1)$。
4. 提取公因式$(a-1)$，得：$a^3 -1 = (a-1)(a^2+a+1)$。
【答案】
$a^2(a-1)+a(a-1)+(a-1)$；$(a-1)(a^2+a+1)$
【知识点】
提公因式法因式分解；数形结合思想；类比推理
【点评】
本题借助几何图形的体积拆分验证代数因式分解公式，既考查了提取公因式因式分解的基本技能，又引导学生运用类比、数形结合的思想探究公式来源，能加深对公式推导过程的理解，强化知识的内在联系。
【难度系数】
0.7
10.有足够多如图
所示的长方形卡片和正方形卡片，如果分别选取1号、2号、3号卡片各1张、2张、3张，可不重叠、无缝隙拼成如图的长方形，则运用拼图前后面积之间的关系可以写出一个因式分解的式子：
所示的长方形卡片和正方形卡片，如果分别选取1号、2号、3号卡片各1张、2张、3张，可不重叠、无缝隙拼成如图的长方形，则运用拼图前后面积之间的关系可以写出一个因式分解的式子：$a^2+3ab+2b^2=(a+2b)(a+b)$
。答案
10.$a^2+3ab+2b^2=(a+2b)(a+b)$
解析
【分析】
解题时运用数形结合思想，利用拼图前后总面积相等推导因式分解式子：第一步先分别计算三类卡片的单个面积，结合选取的卡片数量求出所有卡片的总面积之和；第二步确定拼出的长方形的长和宽，计算出长方形的面积；第三步根据拼图前后面积相等，即可得到对应的因式分解等式。
【解析】
首先计算所有卡片的总面积：
1号是边长为a的正方形，单张面积为$a^2$，选取1张，对应面积为$1× a^2=a^2$；
2号是边长为b的正方形，单张面积为$b^2$，选取2张，对应面积为$2× b^2=2b^2$；
3号是长为a、宽为b的长方形，单张面积为$ab$，选取3张，对应面积为$3× ab=3ab$；
因此所有卡片的总面积为$a^2+3ab+2b^2$。
再计算拼成的长方形的面积：观察图2可知，拼成的长方形的两边长分别为$(a+b)$和$(a+2b)$，因此长方形面积为$(a+b)(a+2b)$。
由于拼图前后总面积相等，可得等式$a^2+3ab+2b^2=(a+b)(a+2b)$，即为所求的因式分解式子。
【答案】
$a^2+3ab+2b^2=(a+2b)(a+b)$
【知识点】
因式分解，整式乘法，面积法验证恒等式
【点评】
本题将几何图形面积与代数因式分解相结合，考查数形结合思想的应用，核心是抓住拼图前后面积不变的特点建立等式，能帮助学生理解整式乘法和因式分解的互逆关系。
【难度系数】
0.7
解题时运用数形结合思想，利用拼图前后总面积相等推导因式分解式子：第一步先分别计算三类卡片的单个面积，结合选取的卡片数量求出所有卡片的总面积之和；第二步确定拼出的长方形的长和宽，计算出长方形的面积；第三步根据拼图前后面积相等，即可得到对应的因式分解等式。
【解析】
首先计算所有卡片的总面积：
1号是边长为a的正方形，单张面积为$a^2$，选取1张，对应面积为$1× a^2=a^2$；
2号是边长为b的正方形，单张面积为$b^2$，选取2张，对应面积为$2× b^2=2b^2$；
3号是长为a、宽为b的长方形，单张面积为$ab$，选取3张，对应面积为$3× ab=3ab$；
因此所有卡片的总面积为$a^2+3ab+2b^2$。
再计算拼成的长方形的面积：观察图2可知，拼成的长方形的两边长分别为$(a+b)$和$(a+2b)$，因此长方形面积为$(a+b)(a+2b)$。
由于拼图前后总面积相等，可得等式$a^2+3ab+2b^2=(a+b)(a+2b)$，即为所求的因式分解式子。
【答案】
$a^2+3ab+2b^2=(a+2b)(a+b)$
【知识点】
因式分解，整式乘法，面积法验证恒等式
【点评】
本题将几何图形面积与代数因式分解相结合，考查数形结合思想的应用，核心是抓住拼图前后面积不变的特点建立等式，能帮助学生理解整式乘法和因式分解的互逆关系。
【难度系数】
0.7
11.【阅读理解】
如何将$x^2+(p+q)x+pq$型式子因式分解呢？我们知道$(x+p)(x+q)=x^2+(p+q)x+pq$，根据因式分解与整式乘法是互逆变形，可得$x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)$。例如：$\because (x+1)(x+2)=x^2+3x+2$，$\therefore x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$。
上述过程还可以形象的用十字相乘的形式表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数，如图：
这样，我们可以得到：$x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$。
【迁移应用】
(1)因式分解：$x^2+7x-18=$
(2)若$x^2+px-8$可分解为两个一次因式的积，求整数$p$的所有可能值。
如何将$x^2+(p+q)x+pq$型式子因式分解呢？我们知道$(x+p)(x+q)=x^2+(p+q)x+pq$，根据因式分解与整式乘法是互逆变形，可得$x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)$。例如：$\because (x+1)(x+2)=x^2+3x+2$，$\therefore x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$。
上述过程还可以形象的用十字相乘的形式表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数，如图：
这样，我们可以得到：$x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$。
【迁移应用】
(1)因式分解：$x^2+7x-18=$
$(x-2)(x+9)$
；$-2x^2-2x+12=$$-2(x+3)(x-2)$
。(2)若$x^2+px-8$可分解为两个一次因式的积，求整数$p$的所有可能值。
答案
11.解:(1)$(x-2)(x+9)$
$-2(x+3)(x-2)$
(2)$\because -8=-1×8,-8=-8×1,-8=-2×4,-8=-4×2$，
$\therefore p$的所有可能值为$-1+8=7,-8+1=-7,-2+4=2,-4+2=-2$。
$-2(x+3)(x-2)$
(2)$\because -8=-1×8,-8=-8×1,-8=-2×4,-8=-4×2$，
$\therefore p$的所有可能值为$-1+8=7,-8+1=-7,-2+4=2,-4+2=-2$。
解析
【分析】
本题考查十字相乘法在因式分解中的应用，解题思路如下：
1. 对于形如$x^2+(p+q)x+pq$的二次三项式，因式分解的核心是找到两个整数，使得两数乘积等于常数项，两数之和等于一次项系数，即可写成$(x+p)(x+q)$的形式；
2. 若多项式含有公因式，需先提取公因式，再对剩余的二次三项式用十字相乘法分解；
3. 求整数$p$的可能值时，需将常数项拆分为所有可能的整数乘积组合，每组因数的和即为对应$p$的值，注意不要漏算正负组合。
【解析】
(1) ①分解$x^2+7x-18$：
找两个整数满足乘积为$-18$、和为$7$，可得$9×(-2)=-18$，$9+(-2)=7$，因此$x^2+7x-18=(x+9)(x-2)$；
②分解$-2x^2-2x+12$：
先提取公因式$-2$，得$-2(x^2+x-6)$，再对$x^2+x-6$用十字相乘法：找两个整数满足乘积为$-6$、和为$1$，可得$3×(-2)=-6$，$3+(-2)=1$，因此$x^2+x-6=(x+3)(x-2)$，故原式$=-2(x+3)(x-2)$。
(2) 要将$x^2+px-8$分解为两个一次因式的积，需列出常数项$-8$所有整数拆分情况：
$-8=-1×8$，对应$p=-1+8=7$；
$-8=1×(-8)$，对应$p=1+(-8)=-7$；
$-8=-2×4$，对应$p=-2+4=2$；
$-8=2×(-4)$，对应$p=2+(-4)=-2$。
【答案】
(1) $(x-2)(x+9)$；$-2(x+3)(x-2)$
(2) 整数$p$的所有可能值为$7,-7,2,-2$
【知识点】
十字相乘法因式分解；提公因式法因式分解；因式分解的应用
【点评】
本题重点考查十字相乘法的灵活运用，解题时需注意：多项式有公因式时要先提取公因式再分解；拆分常数项时要全面考虑所有正负整数组合，避免漏解，理解因式分解和整式乘法的互逆关系是解题的基础。
【难度系数】
0.7
本题考查十字相乘法在因式分解中的应用，解题思路如下：
1. 对于形如$x^2+(p+q)x+pq$的二次三项式，因式分解的核心是找到两个整数，使得两数乘积等于常数项，两数之和等于一次项系数，即可写成$(x+p)(x+q)$的形式；
2. 若多项式含有公因式，需先提取公因式，再对剩余的二次三项式用十字相乘法分解；
3. 求整数$p$的可能值时，需将常数项拆分为所有可能的整数乘积组合，每组因数的和即为对应$p$的值，注意不要漏算正负组合。
【解析】
(1) ①分解$x^2+7x-18$：
找两个整数满足乘积为$-18$、和为$7$，可得$9×(-2)=-18$，$9+(-2)=7$，因此$x^2+7x-18=(x+9)(x-2)$；
②分解$-2x^2-2x+12$：
先提取公因式$-2$，得$-2(x^2+x-6)$，再对$x^2+x-6$用十字相乘法：找两个整数满足乘积为$-6$、和为$1$，可得$3×(-2)=-6$，$3+(-2)=1$，因此$x^2+x-6=(x+3)(x-2)$，故原式$=-2(x+3)(x-2)$。
(2) 要将$x^2+px-8$分解为两个一次因式的积，需列出常数项$-8$所有整数拆分情况：
$-8=-1×8$，对应$p=-1+8=7$；
$-8=1×(-8)$，对应$p=1+(-8)=-7$；
$-8=-2×4$，对应$p=-2+4=2$；
$-8=2×(-4)$，对应$p=2+(-4)=-2$。
【答案】
(1) $(x-2)(x+9)$；$-2(x+3)(x-2)$
(2) 整数$p$的所有可能值为$7,-7,2,-2$
【知识点】
十字相乘法因式分解；提公因式法因式分解；因式分解的应用
【点评】
本题重点考查十字相乘法的灵活运用，解题时需注意：多项式有公因式时要先提取公因式再分解；拆分常数项时要全面考虑所有正负整数组合，避免漏解，理解因式分解和整式乘法的互逆关系是解题的基础。
【难度系数】
0.7
