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1. 如图，一个等边三角形纸片剪去一个角后变成一个四边形，图中$∠ 1 + ∠ 2$的度数为（
A.$180°$
B.$220°$
C.$240°$
D.$300°$
C
）A.$180°$
B.$220°$
C.$240°$
D.$300°$
答案
1.C
解析
【分析】
解题思路如下：首先回忆等边三角形的性质，它的三个内角均为60°。要求∠1+∠2的度数，我们可以利用四边形内角和的规律求解：剪去一个角后得到的四边形，除∠1和∠2外的另外两个内角就是原等边三角形的两个内角，均为60°，再结合四边形内角和为360°，减去这两个角的度数就能得到∠1+∠2的结果；也可以通过剪去的小三角形的内角和关系推导，小三角形的顶角是原等边三角形的顶角60°，小三角形另外两个内角分别和∠1、∠2组成平角，结合三角形内角和180°也可计算。
【解析】
∵等边三角形的每个内角都为60°，
剪去一个角后得到的四边形，剩下的两个内角就是原等边三角形的两个内角，均为60°，
又
∵四边形的内角和为360°，
∴∠1 + ∠2 = 360° - 60° - 60° = 240°。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质，四边形内角和，三角形内角和
【点评】
本题是多边形内角和的基础应用题型，解题核心是明确剪去角后新旧图形的角的对应关系，结合等边三角形的内角特征即可快速求解，是几何角度计算的常见考题。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先回忆等边三角形的性质，它的三个内角均为60°。要求∠1+∠2的度数，我们可以利用四边形内角和的规律求解：剪去一个角后得到的四边形，除∠1和∠2外的另外两个内角就是原等边三角形的两个内角，均为60°，再结合四边形内角和为360°，减去这两个角的度数就能得到∠1+∠2的结果；也可以通过剪去的小三角形的内角和关系推导，小三角形的顶角是原等边三角形的顶角60°，小三角形另外两个内角分别和∠1、∠2组成平角，结合三角形内角和180°也可计算。
【解析】
∵等边三角形的每个内角都为60°，
剪去一个角后得到的四边形，剩下的两个内角就是原等边三角形的两个内角，均为60°，
又
∵四边形的内角和为360°，
∴∠1 + ∠2 = 360° - 60° - 60° = 240°。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质，四边形内角和，三角形内角和
【点评】
本题是多边形内角和的基础应用题型，解题核心是明确剪去角后新旧图形的角的对应关系，结合等边三角形的内角特征即可快速求解，是几何角度计算的常见考题。
【难度系数】
0.8
2. 斗拱是中国古代建筑中特有的一种结构。斗拱由多个小木块组成，通过榫卯结构相互连接，形成了一种独特的美感。，从正面观察斗拱可发现其外轮廓形状类似于一个等腰三角形。
，若底角$∠ B=50°$，则顶角$∠ A$的度数为（
A.$50°$
B.$60°$
C.$70°$
D.$80°$
，若底角$∠ B=50°$，则顶角$∠ A$的度数为（D
）A.$50°$
B.$60°$
C.$70°$
D.$80°$
答案
2.D
解析
【分析】
解题首先提取题干几何信息：斗拱正面外轮廓是等腰三角形，等腰三角形的核心性质是两底角相等，同时三角形内角和固定为180°，这两个是解题的依据。已知底角∠B=50°，先推导另一个底角的度数，再用内角和减去两个底角的度数，就能得到顶角∠A的度数。
【解析】
解：由题意得△ABC为等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等的性质，可得∠C=∠B=50°。
根据三角形内角和定理，三角形三个内角和为180°，因此：
∠A=180°-∠B-∠C=180°-50°-50°=80°
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题结合中国传统建筑斗拱的文化背景出题，考查基础几何性质的应用，只要准确提取几何信息，牢记相关定理就能快速解题。
【难度系数】
0.9
解题首先提取题干几何信息：斗拱正面外轮廓是等腰三角形，等腰三角形的核心性质是两底角相等，同时三角形内角和固定为180°，这两个是解题的依据。已知底角∠B=50°，先推导另一个底角的度数，再用内角和减去两个底角的度数，就能得到顶角∠A的度数。
【解析】
解：由题意得△ABC为等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等的性质，可得∠C=∠B=50°。
根据三角形内角和定理，三角形三个内角和为180°，因此：
∠A=180°-∠B-∠C=180°-50°-50°=80°
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题结合中国传统建筑斗拱的文化背景出题，考查基础几何性质的应用，只要准确提取几何信息，牢记相关定理就能快速解题。
【难度系数】
0.9
3. 四边形ABCD各边的长度如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化。当△ABC为等腰三角形时，对角线AC的长度为 （
A.2
B.3
C.4
D.5
B
）A.2
B.3
C.4
D.5
答案
3.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先结合等腰三角形的定义，对△ABC的腰长情况分类讨论，再结合三角形三边关系，判断每种情况是否符合所有三角形的边长要求，最终得到AC的长度。第一步先明确△ABC的已知边长：AB=3，BC=4，所以等腰的情况只有AC=AB或AC=BC两种可能；第二步再看△ACD的边长AD=CD=2，根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”，可确定AC的取值上限，排除不符合的情况即可得到答案。
【解析】
已知△ABC为等腰三角形，△ABC中AB=3，BC=4，分情况讨论：
1. 若AC=AB=3：
验证△ABC的三边：3+3＞4，3+4＞3，满足三角形三边关系；
再验证△ACD的三边：△ACD中AD=2，CD=2，2+2＞3，2+3＞2，满足三角形三边关系，该情况成立。
2. 若AC=BC=4：
验证△ACD的三边：AD+CD=2+2=4，三角形三边要求两边之和大于第三边，因此AC=4不满足△ACD的三边关系，该情况不成立。
3. 若AB=BC，显然3≠4，该情况不成立。
综上，AC的长度为3。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的定义，三角形三边关系
【点评】
本题考查分类讨论思想在几何问题中的应用，解题时需要注意不能仅考虑单个三角形的边长要求，要结合图形中所有涉及AC的三角形的三边关系进行验证，避免出现错选。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先结合等腰三角形的定义，对△ABC的腰长情况分类讨论，再结合三角形三边关系，判断每种情况是否符合所有三角形的边长要求，最终得到AC的长度。第一步先明确△ABC的已知边长：AB=3，BC=4，所以等腰的情况只有AC=AB或AC=BC两种可能；第二步再看△ACD的边长AD=CD=2，根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”，可确定AC的取值上限，排除不符合的情况即可得到答案。
【解析】
已知△ABC为等腰三角形，△ABC中AB=3，BC=4，分情况讨论：
1. 若AC=AB=3：
验证△ABC的三边：3+3＞4，3+4＞3，满足三角形三边关系；
再验证△ACD的三边：△ACD中AD=2，CD=2，2+2＞3，2+3＞2，满足三角形三边关系，该情况成立。
2. 若AC=BC=4：
验证△ACD的三边：AD+CD=2+2=4，三角形三边要求两边之和大于第三边，因此AC=4不满足△ACD的三边关系，该情况不成立。
3. 若AB=BC，显然3≠4，该情况不成立。
综上，AC的长度为3。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的定义，三角形三边关系
【点评】
本题考查分类讨论思想在几何问题中的应用，解题时需要注意不能仅考虑单个三角形的边长要求，要结合图形中所有涉及AC的三角形的三边关系进行验证，避免出现错选。
【难度系数】
0.7
4. 中国古建筑的侧面很容易呈现出等腰三角形。如图所示的这种建筑剖面图，建筑屋顶是一个等腰三角形，它的底角为$30°$，腰为10 m，则底边上的高是 （
A.5 m
B.10 m
C.$10\sqrt{3}$ m
D.$15\sqrt{3}$ m
A
）A.5 m
B.10 m
C.$10\sqrt{3}$ m
D.$15\sqrt{3}$ m
答案
4.A
解析
【分析】
解题时首先明确所求为等腰三角形底边上的高，首先回忆等腰三角形的性质：等腰三角形底边上的高将等腰三角形分为两个全等的直角三角形，此时原等腰三角形的腰就是直角三角形的斜边，底角30°是直角三角形的一个锐角，底边上的高恰好是这个30°角所对的直角边，再结合含30°角的直角三角形的性质即可求出高的长度。
【解析】
作等腰三角形底边上的高，该高将等腰三角形分割为两个全等的直角三角形：
1. 直角三角形的斜边为原等腰三角形的腰，长度为10m；
2. 原等腰三角形的底角30°为直角三角形的一个锐角，底边上的高是该30°角所对的直角边。
根据直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，因此底边上的高为 $10×\frac{1}{2}=5\ \mathrm{m}$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题结合古建筑的生活场景考查几何基础知识的应用，解题核心是将等腰三角形问题转化为直角三角形问题，需要熟练掌握特殊三角形的基本性质，是典型的基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确所求为等腰三角形底边上的高，首先回忆等腰三角形的性质：等腰三角形底边上的高将等腰三角形分为两个全等的直角三角形，此时原等腰三角形的腰就是直角三角形的斜边，底角30°是直角三角形的一个锐角，底边上的高恰好是这个30°角所对的直角边，再结合含30°角的直角三角形的性质即可求出高的长度。
【解析】
作等腰三角形底边上的高，该高将等腰三角形分割为两个全等的直角三角形：
1. 直角三角形的斜边为原等腰三角形的腰，长度为10m；
2. 原等腰三角形的底角30°为直角三角形的一个锐角，底边上的高是该30°角所对的直角边。
根据直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，因此底边上的高为 $10×\frac{1}{2}=5\ \mathrm{m}$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题结合古建筑的生活场景考查几何基础知识的应用，解题核心是将等腰三角形问题转化为直角三角形问题，需要熟练掌握特殊三角形的基本性质，是典型的基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
