12. 如图 1,在△ABC 中,∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于点 P。
(1)若∠A=60°,则∠BPC=;
(2)如图 2,在图 1 的基础上作△ABC 的外角∠MBC,∠NCB 的平分线,交于点 Q,试探索∠Q,∠A 之间的数量关系;
(3)如图 3,在图 2 的基础上延长线段 BP,QC 交于点 E,试探索∠E,∠A 之间的数量关系。

12.解:(1)$\because ∠A+∠ABC+∠ACB=180°$,
$\therefore ∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-60°=120°$。
$\because ∠ABC$ 与 $∠ACB$ 的平分线相交于点 P, $\therefore ∠PBC = \frac{1}{2}∠ABC, ∠PCB = \frac{1}{2}∠ACB$。
$\therefore ∠PBC + ∠PCB = \frac{1}{2}(∠ABC + ∠ACB)=60°$。
$\therefore ∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)=180°-60°=120°$。
(2) 由题图可知 $∠MBC + ∠NCB = ∠ACB + ∠A + ∠ABC + ∠A = 180°+∠A$,
$\because$ 点 Q 是 $∠MBC$ 和 $∠NCB$ 的平分线的交点,
$\therefore ∠QBC = \frac{1}{2}∠MBC, ∠QCB = \frac{1}{2}∠NCB$。
$\therefore ∠QBC + ∠QCB = \frac{1}{2}(∠MBC + ∠NCB) = \frac{1}{2}(180° + ∠A) = 90° + \frac{1}{2}∠A$。$\therefore ∠Q = 180° - (∠QBC + ∠QCB)=180°-(90°+\frac{1}{2}∠A)=90°-\frac{1}{2}∠A$。
(3)延长 BC 至点 F,如图,
$\because CQ$ 为 $△ ABC$ 的外角$∠NCB$ 的平分线,
$\therefore CE$ 是 $△ ABC$ 的外角$∠ACF$ 的平分线。
$\therefore ∠ACF=2∠ECF$。
$\because BE$ 平分 $∠ABC$,
$\therefore ∠ABC=2∠EBC$。
$\because ∠ECF=∠EBC+∠E$,
$\therefore 2∠ECF=2∠EBC+2∠E$。
即$∠ACF=∠ABC+2∠E$。
又$\because ∠ACF=∠ABC+∠A$,
$\therefore ∠A=2∠E$。$\therefore ∠E=\frac{1}{2}∠A$。

【分析】
(1) 求∠BPC时，先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠ABC与∠ACB的和，再结合角平分线的性质得到∠PBC与∠PCB的和，最后再次用三角形内角和即可算出∠BPC的度数。
(2) 探索∠Q和∠A的关系时，先根据三角形外角的性质推导∠MBC、∠NCB两个外角的和与∠A的关系，再结合Q是外角平分线的交点，得到∠QBC与∠QCB的和和∠A的联系，最后用三角形内角和整理即可得到二者的数量关系。
(3) 探索∠E和∠A的关系时，通过作辅助线延长BC到F，利用角平分线的定义以及三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，分别表示出∠ACF，通过等量代换即可推导出∠E和∠A的关系。
【解析】
(1) $\because ∠A+∠ABC+∠ACB=180°$,
$\therefore ∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-60°=120°$。
$\because ∠ABC$ 与 $∠ACB$ 的平分线相交于点 P, $\therefore ∠PBC = \frac{1}{2}∠ABC, ∠PCB = \frac{1}{2}∠ACB$。
$\therefore ∠PBC + ∠PCB = \frac{1}{2}(∠ABC + ∠ACB)=60°$。
$\therefore ∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)=180°-60°=120°$。
(2) 由题图可知 $∠MBC + ∠NCB = ∠ACB + ∠A + ∠ABC + ∠A = 180°+∠A$,
$\because$ 点 Q 是 $∠MBC$ 和 $∠NCB$ 的平分线的交点,
$\therefore ∠QBC = \frac{1}{2}∠MBC, ∠QCB = \frac{1}{2}∠NCB$。
$\therefore ∠QBC + ∠QCB = \frac{1}{2}(∠MBC + ∠NCB) = \frac{1}{2}(180° + ∠A) = 90° + \frac{1}{2}∠A$。
$\therefore ∠Q = 180° - (∠QBC + ∠QCB)=180°-(90°+\frac{1}{2}∠A)=90°-\frac{1}{2}∠A$。
(3) 延长 BC 至点 F,如图,
$\because CQ$ 为 $△ ABC$ 的外角$∠NCB$ 的平分线,
$\therefore CE$ 是 $△ ABC$ 的外角$∠ACF$ 的平分线。
$\therefore ∠ACF=2∠ECF$。
$\because BE$ 平分 $∠ABC$,
$\therefore ∠ABC=2∠EBC$。
$\because ∠ECF=∠EBC+∠E$,
$\therefore 2∠ECF=2∠EBC+2∠E$。
即$∠ACF=∠ABC+2∠E$。
又$\because ∠ACF=∠ABC+∠A$,
$\therefore ∠A=2∠E$。$\therefore ∠E=\frac{1}{2}∠A$。
【答案】
(1) $120°$
(2) $∠Q=90°-\frac{1}{2}∠A$
(3) $∠E=\frac{1}{2}∠A$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形角度计算的经典题型，三小问由易到难，分别考查了三角形内角平分线夹角、外角平分线夹角、内外角平分线夹角与原三角形顶角的关系，解题核心是熟练掌握角度相关性质，通过等量代换完成角度的转化推导。
【难度系数】
0.7