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5. 将含$30°$角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知$∠α=60°$，点B，C表示的刻度分别为1 cm，3 cm，则线段AB的长为
2
cm。答案
5.2
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征：直尺的上下两条边互相平行，因此可以利用平行线的性质得到角的等量关系；其次读取刻度尺上B、C的刻度，算出BC的长度；再结合角的度数判断△ABC的形状，进而得到AB和BC的长度关系，最终求出AB的长。
【解析】
1. 因为直尺的对边互相平行，根据“两直线平行，同位角相等”，可得$∠ ACB=∠ α =60°$。
2. 由图可知上方三角板中$∠ A=60°$，在$△ ABC$中，$∠ A=∠ ACB=60°$，因此$∠ ABC=180°-60°-60°=60°$，即$△ ABC$是等边三角形，根据等边三角形三边相等的性质，得$AB=BC$。
3. 读取刻度尺刻度，点B对应刻度为1cm，点C对应刻度为3cm，因此$BC=3\mathrm{cm}-1\mathrm{cm}=2\mathrm{cm}$，所以$AB=BC=2\mathrm{cm}$。
【答案】
2
【知识点】
平行线的性质、等边三角形的判定与性质、刻度尺读数
【点评】
本题结合常见的学习工具三角板、直尺设计题目，解题的关键是熟练运用平行线的性质得到相等的角，进而判断三角形的形状，结合刻度尺的读数即可求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察图形特征：直尺的上下两条边互相平行，因此可以利用平行线的性质得到角的等量关系；其次读取刻度尺上B、C的刻度，算出BC的长度；再结合角的度数判断△ABC的形状，进而得到AB和BC的长度关系，最终求出AB的长。
【解析】
1. 因为直尺的对边互相平行，根据“两直线平行，同位角相等”，可得$∠ ACB=∠ α =60°$。
2. 由图可知上方三角板中$∠ A=60°$，在$△ ABC$中，$∠ A=∠ ACB=60°$，因此$∠ ABC=180°-60°-60°=60°$，即$△ ABC$是等边三角形，根据等边三角形三边相等的性质，得$AB=BC$。
3. 读取刻度尺刻度，点B对应刻度为1cm，点C对应刻度为3cm，因此$BC=3\mathrm{cm}-1\mathrm{cm}=2\mathrm{cm}$，所以$AB=BC=2\mathrm{cm}$。
【答案】
2
【知识点】
平行线的性质、等边三角形的判定与性质、刻度尺读数
【点评】
本题结合常见的学习工具三角板、直尺设计题目，解题的关键是熟练运用平行线的性质得到相等的角，进而判断三角形的形状，结合刻度尺的读数即可求解。
【难度系数】
0.7
6.如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应－3，3，作腰长为4的等腰三角形ABC，连接OC，以O为圆心，CO长为半径作弧，交数轴于点M，则点M对应的实数为
√7
。答案
6.√7
解析
【分析】
首先根据A、B在数轴上的对应值，可得出O是AB的中点，结合等腰三角形ABC的性质，利用三线合一能得到CO垂直AB，即△AOC为直角三角形；接下来在直角三角形中已知两条边长，利用勾股定理即可求出OC的长度；最后根据同圆半径相等，可知OM=OC，结合M在数轴正半轴，就能得到M对应的实数。
【解析】
解：
∵点A对应-3，点B对应3，O为数轴原点
∴$OA = \left|-3\right| = 3$，且O是AB的中点
∵△ABC是腰长为4的等腰三角形，$AC=BC=4$，O为AB中点
∴$CO⊥ AB$（等腰三角形三线合一），即△AOC为直角三角形
在$Rt△ AOC$中，$AC=4$，$AO=3$，由勾股定理得：
$OC = \sqrt{AC^2 - AO^2} = \sqrt{4^2 - 3^2} = \sqrt{16-9} = \sqrt{7}$
∵以O为圆心，CO长为半径作弧交数轴正半轴于M
∴$OM = OC = \sqrt{7}$
∴点M对应的实数为$\sqrt{7}$
【答案】
$\sqrt{7}$
【知识点】
等腰三角形三线合一；勾股定理；圆的半径相等
【点评】
本题是数轴与几何图形的综合基础题，解题的核心是利用等腰三角形的性质构造直角三角形，再结合勾股定理和圆的性质求解线段长度，考查学生对基础几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
首先根据A、B在数轴上的对应值，可得出O是AB的中点，结合等腰三角形ABC的性质，利用三线合一能得到CO垂直AB，即△AOC为直角三角形；接下来在直角三角形中已知两条边长，利用勾股定理即可求出OC的长度；最后根据同圆半径相等，可知OM=OC，结合M在数轴正半轴，就能得到M对应的实数。
【解析】
解：
∵点A对应-3，点B对应3，O为数轴原点
∴$OA = \left|-3\right| = 3$，且O是AB的中点
∵△ABC是腰长为4的等腰三角形，$AC=BC=4$，O为AB中点
∴$CO⊥ AB$（等腰三角形三线合一），即△AOC为直角三角形
在$Rt△ AOC$中，$AC=4$，$AO=3$，由勾股定理得：
$OC = \sqrt{AC^2 - AO^2} = \sqrt{4^2 - 3^2} = \sqrt{16-9} = \sqrt{7}$
∵以O为圆心，CO长为半径作弧交数轴正半轴于M
∴$OM = OC = \sqrt{7}$
∴点M对应的实数为$\sqrt{7}$
【答案】
$\sqrt{7}$
【知识点】
等腰三角形三线合一；勾股定理；圆的半径相等
【点评】
本题是数轴与几何图形的综合基础题，解题的核心是利用等腰三角形的性质构造直角三角形，再结合勾股定理和圆的性质求解线段长度，考查学生对基础几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
7.用反证法证明:等腰三角形的底角都是锐角。
已知:在$△ ABC$中，$AB=AC$。
求证:$∠ B$，$∠ C$都是锐角。
已知:在$△ ABC$中，$AB=AC$。
求证:$∠ B$，$∠ C$都是锐角。
答案
7.证明:假设$∠B,∠C$不都是锐角。
$\because AB=AC,\therefore ∠B=∠C$。
$\therefore ∠B$和$∠C$不可能一个是锐角,另一个是直角或钝角。
$\therefore ∠B,∠C$都是直角或钝角。
$\therefore ∠B+∠C≥90°+90°=180°$。
$\therefore ∠A+∠B+∠C＞180°$。
这与“三角形的内角和是$180°$”相矛盾，
$\therefore ∠B,∠C$为直角或钝角不成立。
$\therefore$等腰三角形的底角都是锐角。
$\because AB=AC,\therefore ∠B=∠C$。
$\therefore ∠B$和$∠C$不可能一个是锐角,另一个是直角或钝角。
$\therefore ∠B,∠C$都是直角或钝角。
$\therefore ∠B+∠C≥90°+90°=180°$。
$\therefore ∠A+∠B+∠C＞180°$。
这与“三角形的内角和是$180°$”相矛盾，
$\therefore ∠B,∠C$为直角或钝角不成立。
$\therefore$等腰三角形的底角都是锐角。
解析
【分析】
本题采用反证法证明，解题思路遵循反证法的三步逻辑：第一步反设，即否定待证结论，“底角都是锐角”的否定为“底角不都是锐角”；第二步推导矛盾，结合等腰三角形两底角相等的性质，可推出两个底角只能同时为直角或钝角，进一步计算三个内角和会违背三角形内角和定理，得到矛盾；第三步肯定原结论，矛盾说明反设不成立，因此原结论正确。
【解析】
证明：假设$∠B,∠C$不都是锐角。
$\because AB=AC,\therefore ∠B=∠C$。
$\therefore ∠B$和$∠C$不可能一个是锐角,另一个是直角或钝角。
$\therefore ∠B,∠C$都是直角或钝角。
$\therefore ∠B+∠C≥90°+90°=180°$。
$\therefore ∠A+∠B+∠C＞180°$。
这与“三角形的内角和是$180°$”相矛盾，
$\therefore ∠B,∠C$为直角或钝角不成立。
$\therefore$等腰三角形的底角都是锐角。
【答案】
证明：假设$∠B,∠C$不都是锐角。
$\because AB=AC,\therefore ∠B=∠C$。
$\therefore ∠B$和$∠C$不可能一个是锐角,另一个是直角或钝角。
$\therefore ∠B,∠C$都是直角或钝角。
$\therefore ∠B+∠C≥90°+90°=180°$。
$\therefore ∠A+∠B+∠C＞180°$。
这与“三角形的内角和是$180°$”相矛盾，
$\therefore ∠B,∠C$为直角或钝角不成立。
$\therefore$等腰三角形的底角都是锐角。
【知识点】
反证法；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是反证法的基础应用题型，解题核心是准确对全称命题的结论做出正确反设，再结合几何性质推导得到矛盾，能帮助学生理解反证法的逻辑，掌握全称命题否定的规则。
【难度系数】
0.8
本题采用反证法证明，解题思路遵循反证法的三步逻辑：第一步反设，即否定待证结论，“底角都是锐角”的否定为“底角不都是锐角”；第二步推导矛盾，结合等腰三角形两底角相等的性质，可推出两个底角只能同时为直角或钝角，进一步计算三个内角和会违背三角形内角和定理，得到矛盾；第三步肯定原结论，矛盾说明反设不成立，因此原结论正确。
【解析】
证明：假设$∠B,∠C$不都是锐角。
$\because AB=AC,\therefore ∠B=∠C$。
$\therefore ∠B$和$∠C$不可能一个是锐角,另一个是直角或钝角。
$\therefore ∠B,∠C$都是直角或钝角。
$\therefore ∠B+∠C≥90°+90°=180°$。
$\therefore ∠A+∠B+∠C＞180°$。
这与“三角形的内角和是$180°$”相矛盾，
$\therefore ∠B,∠C$为直角或钝角不成立。
$\therefore$等腰三角形的底角都是锐角。
【答案】
证明：假设$∠B,∠C$不都是锐角。
$\because AB=AC,\therefore ∠B=∠C$。
$\therefore ∠B$和$∠C$不可能一个是锐角,另一个是直角或钝角。
$\therefore ∠B,∠C$都是直角或钝角。
$\therefore ∠B+∠C≥90°+90°=180°$。
$\therefore ∠A+∠B+∠C＞180°$。
这与“三角形的内角和是$180°$”相矛盾，
$\therefore ∠B,∠C$为直角或钝角不成立。
$\therefore$等腰三角形的底角都是锐角。
【知识点】
反证法；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是反证法的基础应用题型，解题核心是准确对全称命题的结论做出正确反设，再结合几何性质推导得到矛盾，能帮助学生理解反证法的逻辑，掌握全称命题否定的规则。
【难度系数】
0.8
