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8.已知:如图,AD,AF分别是钝角三角形ABC和钝角三角形ABE的高，AD=AF，AC=AE。求证:BC=BE。
答案
8.证明:$\because AD,AF$分别是钝角三角形$ABC$和钝角三角形$ABE$的高,且$AD=AF$,$AC=AE$,
$\therefore \mathrm{Rt}△ADC≌\mathrm{Rt}△AFE(\mathrm{HL})$。
$\therefore CD=EF$。
$\because AD=AF,AB=AB$,
$\therefore \mathrm{Rt}△ABD≌\mathrm{Rt}△ABF(\mathrm{HL})$。
$\therefore BD=BF$。
$\therefore BD-CD=BF-EF$,即$BC=BE$。
$\therefore \mathrm{Rt}△ADC≌\mathrm{Rt}△AFE(\mathrm{HL})$。
$\therefore CD=EF$。
$\because AD=AF,AB=AB$,
$\therefore \mathrm{Rt}△ABD≌\mathrm{Rt}△ABF(\mathrm{HL})$。
$\therefore BD=BF$。
$\therefore BD-CD=BF-EF$,即$BC=BE$。
解析
【分析】
要证明BC=BE，观察图形可将两条线段拆分：BC=BD-CD，BE=BF-EF，因此只需证明BD=BF、CD=EF即可。已知AD、AF分别是两个钝角三角形的高，故△ADC、△AFE、△ABD、△ABF均为直角三角形。结合已知AD=AF、AC=AE，可先通过HL判定Rt△ADC≌Rt△AFE，得到CD=EF；再利用公共边AB=AB，结合AD=AF，通过HL判定Rt△ABD≌Rt△ABF，得到BD=BF，最后对两组相等的线段作差即可推出BC=BE。
【解析】
证明：
∵AD,AF分别是钝角三角形ABC和钝角三角形ABE的高，且AD=AF，AC=AE，
∴$\mathrm{Rt}△ADC≌\mathrm{Rt}△AFE(\mathrm{HL})$。
∴$CD=EF$。
∵$AD=AF,AB=AB$，
∴$\mathrm{Rt}△ABD≌\mathrm{Rt}△ABF(\mathrm{HL})$。
∴$BD=BF$。
∴$BD-CD=BF-EF$，即$BC=BE$。
【答案】
证明如上，可证得$BC=BE$。
【知识点】
直角三角形全等判定，全等三角形的性质，线段和差计算
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是合理拆分待证的相等线段，结合已知的高、边相等的条件，两次运用HL定理证明直角三角形全等，再利用全等三角形对应边相等的性质结合线段差的等量关系推导结论，能帮助巩固全等三角形的相关知识。
【难度系数】
0.8
要证明BC=BE，观察图形可将两条线段拆分：BC=BD-CD，BE=BF-EF，因此只需证明BD=BF、CD=EF即可。已知AD、AF分别是两个钝角三角形的高，故△ADC、△AFE、△ABD、△ABF均为直角三角形。结合已知AD=AF、AC=AE，可先通过HL判定Rt△ADC≌Rt△AFE，得到CD=EF；再利用公共边AB=AB，结合AD=AF，通过HL判定Rt△ABD≌Rt△ABF，得到BD=BF，最后对两组相等的线段作差即可推出BC=BE。
【解析】
证明：
∵AD,AF分别是钝角三角形ABC和钝角三角形ABE的高，且AD=AF，AC=AE，
∴$\mathrm{Rt}△ADC≌\mathrm{Rt}△AFE(\mathrm{HL})$。
∴$CD=EF$。
∵$AD=AF,AB=AB$，
∴$\mathrm{Rt}△ABD≌\mathrm{Rt}△ABF(\mathrm{HL})$。
∴$BD=BF$。
∴$BD-CD=BF-EF$，即$BC=BE$。
【答案】
证明如上，可证得$BC=BE$。
【知识点】
直角三角形全等判定，全等三角形的性质，线段和差计算
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是合理拆分待证的相等线段，结合已知的高、边相等的条件，两次运用HL定理证明直角三角形全等，再利用全等三角形对应边相等的性质结合线段差的等量关系推导结论，能帮助巩固全等三角形的相关知识。
【难度系数】
0.8
9. 下图是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形。若正方形A，B，C，D的面积分别为2，5，1，2，则最大的正方形E的面积为（
A.9
B.10
C.11
D.12
B
）A.9
B.10
C.11
D.12
答案
9.B
解析
【分析】
本题利用勾股定理的几何意义求解，解题思路如下：首先明确规律：直角三角形中，以两条直角边为边长的正方形面积之和，等于以斜边为边长的正方形面积。观察勾股树结构：正方形A、B的面积和等于二者下方直角三角形对应斜边正方形的面积；正方形C、D的面积和等于二者下方直角三角形对应斜边正方形的面积；这两个斜边正方形又是最下方直角三角形的两条直角边对应的正方形，因此二者面积和就是最大正方形E的面积，只需将A、B、C、D的面积相加即可得到结果。
【解析】
根据勾股定理的几何意义：
1. 记正方形A、B下方直角三角形的斜边对应正方形面积为$S_1$，则$S_1 = S_A + S_B = 2 + 5 =7$；
2. 记正方形C、D下方直角三角形的斜边对应正方形面积为$S_2$，则$S_2 = S_C + S_D =1 + 2 =3$；
3. 最大正方形E是最下方直角三角形的斜边对应正方形，因此$S_E = S_1 + S_2 =7 + 3 =10$。
【答案】B
【知识点】
勾股定理的应用，正方形的面积
【点评】
本题是勾股定理几何意义的典型应用，通过勾股树的形式直观呈现了直角三角形三边的平方关系，掌握以直角三角形三边为边长的正方形面积关系即可快速解题。
【难度系数】
0.85
本题利用勾股定理的几何意义求解，解题思路如下：首先明确规律：直角三角形中，以两条直角边为边长的正方形面积之和，等于以斜边为边长的正方形面积。观察勾股树结构：正方形A、B的面积和等于二者下方直角三角形对应斜边正方形的面积；正方形C、D的面积和等于二者下方直角三角形对应斜边正方形的面积；这两个斜边正方形又是最下方直角三角形的两条直角边对应的正方形，因此二者面积和就是最大正方形E的面积，只需将A、B、C、D的面积相加即可得到结果。
【解析】
根据勾股定理的几何意义：
1. 记正方形A、B下方直角三角形的斜边对应正方形面积为$S_1$，则$S_1 = S_A + S_B = 2 + 5 =7$；
2. 记正方形C、D下方直角三角形的斜边对应正方形面积为$S_2$，则$S_2 = S_C + S_D =1 + 2 =3$；
3. 最大正方形E是最下方直角三角形的斜边对应正方形，因此$S_E = S_1 + S_2 =7 + 3 =10$。
【答案】B
【知识点】
勾股定理的应用，正方形的面积
【点评】
本题是勾股定理几何意义的典型应用，通过勾股树的形式直观呈现了直角三角形三边的平方关系，掌握以直角三角形三边为边长的正方形面积关系即可快速解题。
【难度系数】
0.85
10. 如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点。已知点A，B是两格点，如果点C也是图中的格点，且使得$△ ABC$为等腰三角形，那么符合条件的点C的个数是（
A.10
B.6
C.7
D.8
D
）A.10
B.6
C.7
D.8
答案
10.D
解析
【分析】
要解决网格中等腰三角形的格点计数问题，我们采用分类讨论的思路：首先明确等腰三角形的三种情况：①以A为顶角顶点，AB为腰，即AC=AB；②以B为顶角顶点，AB为腰，即BC=AB；③以C为顶角顶点，AB为底边，即AC=BC。我们在网格中分别找出符合这三类情况的格点C，再排除三点共线无法构成三角形的情况，最后统计总数即可。
【解析】
设每个小方格的边长为1，首先用勾股定理计算AB的长度：A、B两点的水平距离为2，竖直距离为2，因此$AB=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
1. 当A为顶角顶点，AC=AB时：在网格中查找所有到A的距离为$2\sqrt{2}$的格点，排除点B本身，共得到3个符合条件的格点C，且均不与A、B共线；
2. 当B为顶角顶点，BC=AB时：在网格中查找所有到B的距离为$2\sqrt{2}$的格点，排除点A本身，共得到3个符合条件的格点C，且均不与A、B共线；
3. 当C为顶角顶点，AC=BC时：点C在AB的垂直平分线上，在网格中找到垂直平分线上的格点，共得到2个符合条件的格点C，且均不与A、B共线。
综上，符合条件的点C总个数为$3+3+2=8$。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的判定，勾股定理，分类讨论思想
【点评】
本题是网格几何的常考题型，核心考查分类讨论思想的应用，解题时要注意三类情况都考虑到，同时排除三点共线的无效情况，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.7
要解决网格中等腰三角形的格点计数问题，我们采用分类讨论的思路：首先明确等腰三角形的三种情况：①以A为顶角顶点，AB为腰，即AC=AB；②以B为顶角顶点，AB为腰，即BC=AB；③以C为顶角顶点，AB为底边，即AC=BC。我们在网格中分别找出符合这三类情况的格点C，再排除三点共线无法构成三角形的情况，最后统计总数即可。
【解析】
设每个小方格的边长为1，首先用勾股定理计算AB的长度：A、B两点的水平距离为2，竖直距离为2，因此$AB=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
1. 当A为顶角顶点，AC=AB时：在网格中查找所有到A的距离为$2\sqrt{2}$的格点，排除点B本身，共得到3个符合条件的格点C，且均不与A、B共线；
2. 当B为顶角顶点，BC=AB时：在网格中查找所有到B的距离为$2\sqrt{2}$的格点，排除点A本身，共得到3个符合条件的格点C，且均不与A、B共线；
3. 当C为顶角顶点，AC=BC时：点C在AB的垂直平分线上，在网格中找到垂直平分线上的格点，共得到2个符合条件的格点C，且均不与A、B共线。
综上，符合条件的点C总个数为$3+3+2=8$。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的判定，勾股定理，分类讨论思想
【点评】
本题是网格几何的常考题型，核心考查分类讨论思想的应用，解题时要注意三类情况都考虑到，同时排除三点共线的无效情况，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.7
