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1. 下列关于$x$的方程中,是分式方程的是 （
A.$\frac{3+x}{2} - 3 = \frac{2+x}{5}$
B.$\frac{2x -1}{7} = \frac{x}{2}$
C.$\frac{x}{π} + 1 = \frac{2 - x}{3}$
D.$\frac{1}{2 + x} = 1 - \frac{2}{x}$
D
）A.$\frac{3+x}{2} - 3 = \frac{2+x}{5}$
B.$\frac{2x -1}{7} = \frac{x}{2}$
C.$\frac{x}{π} + 1 = \frac{2 - x}{3}$
D.$\frac{1}{2 + x} = 1 - \frac{2}{x}$
答案
1.D
解析
【分析】
要判断哪个选项是分式方程，首先需明确分式方程的核心判定依据：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。解题时只需逐一排查每个选项的分母是否含有未知数x即可，注意π是固定的常数，不属于未知数，不要出现误判。
【解析】
根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程为分式方程，逐一分析各选项：
A选项：方程的分母为2和5，均为常数，不含未知数，属于整式方程，不符合要求；
B选项：方程的分母为7和2，均为常数，不含未知数，属于整式方程，不符合要求；
C选项：方程的分母为π和3，π是固定常数，不是未知数，因此分母不含未知数，属于整式方程，不符合要求；
D选项：方程的分母为2+x和x，都含有未知数x，符合分式方程的定义，符合要求。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的定义
【点评】
本题是基础概念类考题，易错点是易误将π当作未知数从而错选C，准确掌握分式方程的判定标准就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
要判断哪个选项是分式方程，首先需明确分式方程的核心判定依据：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。解题时只需逐一排查每个选项的分母是否含有未知数x即可，注意π是固定的常数，不属于未知数，不要出现误判。
【解析】
根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程为分式方程，逐一分析各选项：
A选项：方程的分母为2和5，均为常数，不含未知数，属于整式方程，不符合要求；
B选项：方程的分母为7和2，均为常数，不含未知数，属于整式方程，不符合要求；
C选项：方程的分母为π和3，π是固定常数，不是未知数，因此分母不含未知数，属于整式方程，不符合要求；
D选项：方程的分母为2+x和x，都含有未知数x，符合分式方程的定义，符合要求。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的定义
【点评】
本题是基础概念类考题，易错点是易误将π当作未知数从而错选C，准确掌握分式方程的判定标准就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
2. 解分式方程$\frac{2}{x-1}+\frac{x+2}{1-x}=3$时，去分母后变形为 （
A.$2+(x+2)=3(x-1)$
B.$2-x+2=3(x-1)$
C.$2-(x+2)=3(1-x)$
D.$2-(x+2)=3(x-1)$
D
）A.$2+(x+2)=3(x-1)$
B.$2-x+2=3(x-1)$
C.$2-(x+2)=3(1-x)$
D.$2-(x+2)=3(x-1)$
答案
2.D
解析
【分析】
解这道题的思路是先明确分式方程去分母的步骤：首先观察分式的分母，发现x-1和1-x互为相反数，先统一分母确定最简公分母，再根据等式的性质，给方程两边同时乘最简公分母，过程中要注意两点：一是不要漏乘不含分母的项，二是注意符号的变化，避免出错。
【解析】
首先对原方程的第二个分式变形：
因为$1-x=-(x-1)$，所以原方程$\frac{2}{x-1}+\frac{x+2}{1-x}=3$可化为：
$\frac{2}{x-1}-\frac{x+2}{x-1}=3$
此时最简公分母为$x-1$，给方程两边同时乘以$x-1$（隐含条件$x≠1$）去分母：
左边第一项$\frac{2}{x-1}×(x-1)=2$，左边第二项$-\frac{x+2}{x-1}×(x-1)=-(x+2)$，右边$3×(x-1)=3(x-1)$
因此去分母后变形为$2-(x+2)=3(x-1)$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
分式方程去分母、分式符号法则、等式的性质
【点评】
本题是分式方程求解的基础题型，主要考查去分母的操作规范，易错点有两个：一是忽略第二个分式分母与最简公分母的相反数关系，导致符号错误；二是去分母时漏乘右边不含分母的常数项，做题时需逐一核对每一项的变形。
【难度系数】
0.75
解这道题的思路是先明确分式方程去分母的步骤：首先观察分式的分母，发现x-1和1-x互为相反数，先统一分母确定最简公分母，再根据等式的性质，给方程两边同时乘最简公分母，过程中要注意两点：一是不要漏乘不含分母的项，二是注意符号的变化，避免出错。
【解析】
首先对原方程的第二个分式变形：
因为$1-x=-(x-1)$，所以原方程$\frac{2}{x-1}+\frac{x+2}{1-x}=3$可化为：
$\frac{2}{x-1}-\frac{x+2}{x-1}=3$
此时最简公分母为$x-1$，给方程两边同时乘以$x-1$（隐含条件$x≠1$）去分母：
左边第一项$\frac{2}{x-1}×(x-1)=2$，左边第二项$-\frac{x+2}{x-1}×(x-1)=-(x+2)$，右边$3×(x-1)=3(x-1)$
因此去分母后变形为$2-(x+2)=3(x-1)$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
分式方程去分母、分式符号法则、等式的性质
【点评】
本题是分式方程求解的基础题型，主要考查去分母的操作规范，易错点有两个：一是忽略第二个分式分母与最简公分母的相反数关系，导致符号错误；二是去分母时漏乘右边不含分母的常数项，做题时需逐一核对每一项的变形。
【难度系数】
0.75
3. 某书店分别用600元和800元两次购进《百科全书》，第二次购进的数量比第一次多40套，且两次购书时，每套书的进价相同。若设书店第一次购进《百科全书》$x$套，由题意列方程正确的是（
A.$\dfrac{600}{x}=\dfrac{800}{x-40}$
B.$\dfrac{600}{x-40}=\dfrac{800}{x}$
C.$\dfrac{600}{x}=\dfrac{800}{x+40}$
D.$\dfrac{600}{x+40}=\dfrac{800}{x}$
C
）A.$\dfrac{600}{x}=\dfrac{800}{x-40}$
B.$\dfrac{600}{x-40}=\dfrac{800}{x}$
C.$\dfrac{600}{x}=\dfrac{800}{x+40}$
D.$\dfrac{600}{x+40}=\dfrac{800}{x}$
答案
3.C
解析
【分析】
解这道题的核心是抓住“两次购书时每套书的进价相同”这一等量关系。首先先明确两次购进的数量：已知第一次购进$x$套，第二次比第一次多40套，可推出第二次的购进数量；再根据“单价=总进价÷购进数量”分别表示出两次的购书单价，最后根据单价相等即可列出方程。
【解析】
1. 确定两次购进的数量：设第一次购进《百科全书》$x$套，由第二次购进数量比第一次多40套，可得第二次购进$(x+40)$套。
2. 表示两次的购书单价：第一次总进价为600元，单价为$\dfrac{600}{x}$元/套；第二次总进价为800元，单价为$\dfrac{800}{x+40}$元/套。
3. 根据两次进价相同列等式：$\dfrac{600}{x}=\dfrac{800}{x+40}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
分式方程的应用、销售问题数量关系
【点评】
本题属于分式方程实际应用的基础题型，解题关键是找准题中的不变量，结合常用的数量关系列式即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
解这道题的核心是抓住“两次购书时每套书的进价相同”这一等量关系。首先先明确两次购进的数量：已知第一次购进$x$套，第二次比第一次多40套，可推出第二次的购进数量；再根据“单价=总进价÷购进数量”分别表示出两次的购书单价，最后根据单价相等即可列出方程。
【解析】
1. 确定两次购进的数量：设第一次购进《百科全书》$x$套，由第二次购进数量比第一次多40套，可得第二次购进$(x+40)$套。
2. 表示两次的购书单价：第一次总进价为600元，单价为$\dfrac{600}{x}$元/套；第二次总进价为800元，单价为$\dfrac{800}{x+40}$元/套。
3. 根据两次进价相同列等式：$\dfrac{600}{x}=\dfrac{800}{x+40}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
分式方程的应用、销售问题数量关系
【点评】
本题属于分式方程实际应用的基础题型，解题关键是找准题中的不变量，结合常用的数量关系列式即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
4. 实验室的一个容器内盛有150 g食盐水，其中含盐10 g。如何处理能将该容器内食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍。晓华根据这一情景中的数量关系列出方程 $3×\frac{10}{150}=\frac{10}{150-x}$，则未知数x表示的意义是 （
A.增加的水量
B.蒸发掉的水量
C.加入的食盐量
D.减少的食盐量
B
）A.增加的水量
B.蒸发掉的水量
C.加入的食盐量
D.减少的食盐量
答案
4.B
解析
【分析】
解决这道题首先要明确浓度的计算公式：含盐率=盐的质量÷盐水的总质量。要判断未知数x的意义，需要分别分析方程左右两边的含义：左边是目标含盐率（原含盐率的3倍），右边是调整后盐水的含盐率，对比调整前后盐的质量、盐水总质量的变化，就能推导x的意义。
首先观察方程右侧的分子仍为10，说明调整后盐的质量和原来相同，没有增加或减少食盐；分母为150-x，说明调整后盐水总质量比原来减少了x，盐水总质量减少、溶质质量不变的操作是蒸发水分，因此x代表蒸发掉的水量。
【解析】
首先明确浓度公式：$\mathrm{含盐率}=\frac{\mathrm{盐的质量}}{\mathrm{盐水的总质量}}$
1. 原含盐率为$\frac{10}{150}$，目标含盐率是原来的3倍，即方程左侧$3×\frac{10}{150}$表示调整后的目标含盐率。
2. 观察方程右侧$\frac{10}{150-x}$：
分子仍为10，说明调整前后盐的质量不变，排除加入食盐（C选项）、减少食盐（D选项）的操作；
分母为$150-x$，说明调整后盐水总质量比原来减少了$x$，若为增加水量（A选项），分母应为$150+x$，不符合；只有蒸发水分时，盐的质量不变，盐水总质量减少，减少的质量就是蒸发掉的水量，即x为蒸发掉的水量。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 浓度计算
2. 一元一次方程的实际应用
【点评】
本题是溶液浓度问题的基础题型，解题核心是抓住浓度公式中溶质、溶剂、溶液三个量的变化关系，通过对比方程中各部分的含义即可快速判断未知量的意义，解题时注意不要混淆变量对应的操作。
【难度系数】
0.8
解决这道题首先要明确浓度的计算公式：含盐率=盐的质量÷盐水的总质量。要判断未知数x的意义，需要分别分析方程左右两边的含义：左边是目标含盐率（原含盐率的3倍），右边是调整后盐水的含盐率，对比调整前后盐的质量、盐水总质量的变化，就能推导x的意义。
首先观察方程右侧的分子仍为10，说明调整后盐的质量和原来相同，没有增加或减少食盐；分母为150-x，说明调整后盐水总质量比原来减少了x，盐水总质量减少、溶质质量不变的操作是蒸发水分，因此x代表蒸发掉的水量。
【解析】
首先明确浓度公式：$\mathrm{含盐率}=\frac{\mathrm{盐的质量}}{\mathrm{盐水的总质量}}$
1. 原含盐率为$\frac{10}{150}$，目标含盐率是原来的3倍，即方程左侧$3×\frac{10}{150}$表示调整后的目标含盐率。
2. 观察方程右侧$\frac{10}{150-x}$：
分子仍为10，说明调整前后盐的质量不变，排除加入食盐（C选项）、减少食盐（D选项）的操作；
分母为$150-x$，说明调整后盐水总质量比原来减少了$x$，若为增加水量（A选项），分母应为$150+x$，不符合；只有蒸发水分时，盐的质量不变，盐水总质量减少，减少的质量就是蒸发掉的水量，即x为蒸发掉的水量。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 浓度计算
2. 一元一次方程的实际应用
【点评】
本题是溶液浓度问题的基础题型，解题核心是抓住浓度公式中溶质、溶剂、溶液三个量的变化关系，通过对比方程中各部分的含义即可快速判断未知量的意义，解题时注意不要混淆变量对应的操作。
【难度系数】
0.8
5.若对于任意不为零的实数$a$,$b$,都有$a\bigstar b=\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}$,则方程$x\bigstar (2-x)=\dfrac{6}{x^2-2x}$的解是
$x=4$
。答案
5.$x=4$
解析
【分析】
解题第一步要准确理解新定义的$\bigstar$运算规则，将方程左边的新定义运算转化为常规的分式表达式；第二步，将原方程转化为熟悉的分式方程，先明确分式有意义的条件，即所有分母不能为0，排除增根的可能取值；第三步，对分式方程去分母转化为整式方程求解，最后一定要检验解是否满足分母不为0的要求，确认是原方程的解还是增根。
【解析】
首先根据新定义运算规则$a\bigstar b=\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}$，可得：
$x\bigstar (2-x)=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{2-x}$
原方程可转化为：
$\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{2-x}=\dfrac{6}{x^2-2x}$
先确定分式有意义的条件：$x≠0$，$2-x≠0$即$x≠2$，$x^2-2x=x(x-2)≠0$，即$x≠0$且$x≠2$。
将方程左边变形：$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x-2}=\dfrac{6}{x(x-2)}$
方程两边同时乘以最简公分母$x(x-2)$（$x≠0$且$x≠2$，公分母不为0），去分母得：
$(x-2)+x=6$
合并同类项得：$2x-2=6$
移项计算得：$2x=8$，解得$x=4$。
检验：将$x=4$代入最简公分母$x(x-2)=4×(4-2)=8≠0$，所以$x=4$是原分式方程的解。
【答案】
$x=4$
【知识点】
新定义运算，分式方程求解，分式有意义的条件
【点评】
本题将新定义运算与分式方程结合考查，核心是正确转化新运算为常规运算，求解分式方程时要注意验根，这是这类题目的常见易错点。
【难度系数】
0.7
解题第一步要准确理解新定义的$\bigstar$运算规则，将方程左边的新定义运算转化为常规的分式表达式；第二步，将原方程转化为熟悉的分式方程，先明确分式有意义的条件，即所有分母不能为0，排除增根的可能取值；第三步，对分式方程去分母转化为整式方程求解，最后一定要检验解是否满足分母不为0的要求，确认是原方程的解还是增根。
【解析】
首先根据新定义运算规则$a\bigstar b=\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}$，可得：
$x\bigstar (2-x)=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{2-x}$
原方程可转化为：
$\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{2-x}=\dfrac{6}{x^2-2x}$
先确定分式有意义的条件：$x≠0$，$2-x≠0$即$x≠2$，$x^2-2x=x(x-2)≠0$，即$x≠0$且$x≠2$。
将方程左边变形：$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x-2}=\dfrac{6}{x(x-2)}$
方程两边同时乘以最简公分母$x(x-2)$（$x≠0$且$x≠2$，公分母不为0），去分母得：
$(x-2)+x=6$
合并同类项得：$2x-2=6$
移项计算得：$2x=8$，解得$x=4$。
检验：将$x=4$代入最简公分母$x(x-2)=4×(4-2)=8≠0$，所以$x=4$是原分式方程的解。
【答案】
$x=4$
【知识点】
新定义运算，分式方程求解，分式有意义的条件
【点评】
本题将新定义运算与分式方程结合考查，核心是正确转化新运算为常规运算，求解分式方程时要注意验根，这是这类题目的常见易错点。
【难度系数】
0.7
6.数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题:一组人平分10元钱,每人分得若干;若再加上6人,平分40元钱,则第二次每人所得与第一次相同,求第一次分钱的人数。设第一次分钱的人数为x人,则可列方程为
$\dfrac{10}{x}=\dfrac{40}{x+6}$
。答案
6.$\dfrac{10}{x}=\dfrac{40}{x+6}$
解析
【分析】
解题的核心是找到题目中的等量关系：两次分钱每人所得的金额相等。平均分的情况下，每人分得的钱数=总钱数÷总人数，我们只需要分别表示出第一次和第二次每人分得的钱数，再根据二者相等的关系列出等式即可。
【解析】
1. 确定等量关系：第二次每人分得的钱数 = 第一次每人分得的钱数。
2. 表示第一次人均分得的钱数：第一次总钱数为10元，分钱人数为x人，因此每人分得$\dfrac{10}{x}$元。
3. 表示第二次人均分得的钱数：第二次分钱人数比第一次多6人，即人数为$(x+6)$人，总钱数为40元，因此每人分得$\dfrac{40}{x+6}$元。
4. 根据等量关系列方程，可得$\dfrac{10}{x}=\dfrac{40}{x+6}$。
【答案】
$\dfrac{10}{x}=\dfrac{40}{x+6}$
【知识点】
1. 实际问题抽象分式方程
2. 平均数计算
【点评】
本题是基础的方程应用题，解题关键是准确提取题干中的等量关系，熟练掌握“人均量=总量÷份数”的数量关系即可快速解题，主要考查学生分析题意、寻找等量关系的能力。
【难度系数】
0.8
解题的核心是找到题目中的等量关系：两次分钱每人所得的金额相等。平均分的情况下，每人分得的钱数=总钱数÷总人数，我们只需要分别表示出第一次和第二次每人分得的钱数，再根据二者相等的关系列出等式即可。
【解析】
1. 确定等量关系：第二次每人分得的钱数 = 第一次每人分得的钱数。
2. 表示第一次人均分得的钱数：第一次总钱数为10元，分钱人数为x人，因此每人分得$\dfrac{10}{x}$元。
3. 表示第二次人均分得的钱数：第二次分钱人数比第一次多6人，即人数为$(x+6)$人，总钱数为40元，因此每人分得$\dfrac{40}{x+6}$元。
4. 根据等量关系列方程，可得$\dfrac{10}{x}=\dfrac{40}{x+6}$。
【答案】
$\dfrac{10}{x}=\dfrac{40}{x+6}$
【知识点】
1. 实际问题抽象分式方程
2. 平均数计算
【点评】
本题是基础的方程应用题，解题关键是准确提取题干中的等量关系，熟练掌握“人均量=总量÷份数”的数量关系即可快速解题，主要考查学生分析题意、寻找等量关系的能力。
【难度系数】
0.8
