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13. 观察下列等式：
第1个等式：$\frac{1}{1}×\frac{2}{1+1}÷\frac{1}{1+1^2}=2$；第2个等式：$\frac{1}{2}×\frac{2}{2+1}÷\frac{1}{2+2^2}=2$；
第3个等式：$\frac{1}{3}×\frac{2}{3+1}÷\frac{1}{3+3^2}=2$；第4个等式：$\frac{1}{4}×\frac{2}{4+1}÷\frac{1}{4+4^2}=2$；
第5个等式：$\frac{1}{5}×\frac{2}{5+1}÷\frac{1}{5+5^2}=2$；……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第8个等式：$\underline{\hspace{10cm}}$，
第2026个等式：$\underline{\hspace{10cm}}$；
(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的等式表示)，并加以证明。
第1个等式：$\frac{1}{1}×\frac{2}{1+1}÷\frac{1}{1+1^2}=2$；第2个等式：$\frac{1}{2}×\frac{2}{2+1}÷\frac{1}{2+2^2}=2$；
第3个等式：$\frac{1}{3}×\frac{2}{3+1}÷\frac{1}{3+3^2}=2$；第4个等式：$\frac{1}{4}×\frac{2}{4+1}÷\frac{1}{4+4^2}=2$；
第5个等式：$\frac{1}{5}×\frac{2}{5+1}÷\frac{1}{5+5^2}=2$；……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第8个等式：$\underline{\hspace{10cm}}$，
第2026个等式：$\underline{\hspace{10cm}}$；
(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的等式表示)，并加以证明。
答案
13.解:(1)$\frac{1}{8}×\frac{2}{8+1}÷\frac{1}{8+8^2}=2$
$\frac{1}{2026}×\frac{2}{2026+1}÷\frac{1}{2026+2026^2}=2$
(2)第$n$个等式:$\frac{1}{n}×\frac{2}{n+1}÷\frac{1}{n+n^2}=2$。
证明: 左边$=\frac{1}{n}×\frac{2}{n+1}×(n+n^2)=\frac{2}{n^2+n}×(n+n^2)=2=$右边,
故猜想成立。
$\frac{1}{2026}×\frac{2}{2026+1}÷\frac{1}{2026+2026^2}=2$
(2)第$n$个等式:$\frac{1}{n}×\frac{2}{n+1}÷\frac{1}{n+n^2}=2$。
证明: 左边$=\frac{1}{n}×\frac{2}{n+1}×(n+n^2)=\frac{2}{n^2+n}×(n+n^2)=2=$右边,
故猜想成立。
解析
【分析】
解决本题首先观察已知的5个等式，梳理等式结构与等式序号的对应关系：所有等式结构固定，右边均为2，左边对应位置的数字恰好等于等式的序号k，即第k个等式的固定结构为$\frac{1}{k}×\frac{2}{k+1}÷\frac{1}{k+k^2}=2$。第(1)问只需将k分别替换为8、2026，代入结构即可写出对应等式；第(2)问先将k替换为n写出第n个等式，再利用分式乘除运算法则化简左边，验证其结果等于2即可证明猜想成立。
【解析】
(1) 根据规律，将序号替换为8，得到第8个等式为$\frac{1}{8}×\frac{2}{8+1}÷\frac{1}{8+8^2}=2$；将序号替换为2026，得到第2026个等式为$\frac{1}{2026}×\frac{2}{2026+1}÷\frac{1}{2026+2026^2}=2$。
(2) 猜想第n个等式（n为正整数）为$\frac{1}{n}×\frac{2}{n+1}÷\frac{1}{n+n^2}=2$，证明如下：
先将左边的除法转化为乘法，得左边$=\frac{1}{n}×\frac{2}{n+1}×(n+n^2)$，计算前两个分式的乘积得$\frac{2}{n(n+1)}=\frac{2}{n^2+n}$，代入得左边$=\frac{2}{n^2+n}×(n+n^2)=2$，和右边相等，因此猜想成立。
【答案】
(1)$\frac{1}{8}×\frac{2}{8+1}÷\frac{1}{8+8^2}=2$；$\frac{1}{2026}×\frac{2}{2026+1}÷\frac{1}{2026+2026^2}=2$
(2)第$n$个等式:$\frac{1}{n}×\frac{2}{n+1}÷\frac{1}{n+n^2}=2$，证明成立。
【知识点】
数式规律探究；分式乘除运算；代数式验证
【点评】
本题是规律探究类基础题型，解题核心是找准等式各部分和序号的对应关系，再结合分式运算验证规律，既考查学生的观察归纳能力，也考查分式运算的基础掌握情况。
【难度系数】
0.7
解决本题首先观察已知的5个等式，梳理等式结构与等式序号的对应关系：所有等式结构固定，右边均为2，左边对应位置的数字恰好等于等式的序号k，即第k个等式的固定结构为$\frac{1}{k}×\frac{2}{k+1}÷\frac{1}{k+k^2}=2$。第(1)问只需将k分别替换为8、2026，代入结构即可写出对应等式；第(2)问先将k替换为n写出第n个等式，再利用分式乘除运算法则化简左边，验证其结果等于2即可证明猜想成立。
【解析】
(1) 根据规律，将序号替换为8，得到第8个等式为$\frac{1}{8}×\frac{2}{8+1}÷\frac{1}{8+8^2}=2$；将序号替换为2026，得到第2026个等式为$\frac{1}{2026}×\frac{2}{2026+1}÷\frac{1}{2026+2026^2}=2$。
(2) 猜想第n个等式（n为正整数）为$\frac{1}{n}×\frac{2}{n+1}÷\frac{1}{n+n^2}=2$，证明如下：
先将左边的除法转化为乘法，得左边$=\frac{1}{n}×\frac{2}{n+1}×(n+n^2)$，计算前两个分式的乘积得$\frac{2}{n(n+1)}=\frac{2}{n^2+n}$，代入得左边$=\frac{2}{n^2+n}×(n+n^2)=2$，和右边相等，因此猜想成立。
【答案】
(1)$\frac{1}{8}×\frac{2}{8+1}÷\frac{1}{8+8^2}=2$；$\frac{1}{2026}×\frac{2}{2026+1}÷\frac{1}{2026+2026^2}=2$
(2)第$n$个等式:$\frac{1}{n}×\frac{2}{n+1}÷\frac{1}{n+n^2}=2$，证明成立。
【知识点】
数式规律探究；分式乘除运算；代数式验证
【点评】
本题是规律探究类基础题型，解题核心是找准等式各部分和序号的对应关系，再结合分式运算验证规律，既考查学生的观察归纳能力，也考查分式运算的基础掌握情况。
【难度系数】
0.7
地球的半径
希腊数学家埃拉托色尼(约公元前274—前194年)在夏至这一天的正午,于埃及的赛伊尼(今阿斯旺水坝附近)看到深井的水面上映出整个太阳的亮影,于是他确信此时阳光是垂直射到井底的。同样,还是在夏至这一天的正午,他在赛伊尼正北方向距离805千米的亚历山大城直立一杆,却观测到了日影。他根据杆长和影长,算出杆和太阳光线之间的夹角是$7°12'$,并由此计算出了地球的半径。
希腊数学家埃拉托色尼(约公元前274—前194年)在夏至这一天的正午,于埃及的赛伊尼(今阿斯旺水坝附近)看到深井的水面上映出整个太阳的亮影,于是他确信此时阳光是垂直射到井底的。同样,还是在夏至这一天的正午,他在赛伊尼正北方向距离805千米的亚历山大城直立一杆,却观测到了日影。他根据杆长和影长,算出杆和太阳光线之间的夹角是$7°12'$,并由此计算出了地球的半径。
答案
解：
将角度进行单位换算：
$7°12' = 7° + \frac{12}{60}° = 7.2°$
由太阳光线平行的性质，可得赛伊尼、亚历山大城两点对应的地心夹角为$7.2°$，两点间的距离805 km是地球大圆上对应$7.2°$圆心角的弧长。
地球大圆总圆心角为$360°$，因此地球的大圆周长近似为：
$C = 805 × \frac{360°}{7.2°} = 40250\ \mathrm{km}$
根据圆的周长公式$C=2π R$，代入计算得：
$R = \frac{C}{2π} \approx \frac{40250}{2×3.14} \approx 6400\ \mathrm{km}$
答：计算得到地球的半径约为6400千米。
将角度进行单位换算：
$7°12' = 7° + \frac{12}{60}° = 7.2°$
由太阳光线平行的性质，可得赛伊尼、亚历山大城两点对应的地心夹角为$7.2°$，两点间的距离805 km是地球大圆上对应$7.2°$圆心角的弧长。
地球大圆总圆心角为$360°$，因此地球的大圆周长近似为：
$C = 805 × \frac{360°}{7.2°} = 40250\ \mathrm{km}$
根据圆的周长公式$C=2π R$，代入计算得：
$R = \frac{C}{2π} \approx \frac{40250}{2×3.14} \approx 6400\ \mathrm{km}$
答：计算得到地球的半径约为6400千米。
解析
【分析】
解题时先梳理逻辑：首先太阳光线是平行光线，因此亚历山大城测得的杆与太阳光的夹角，等于赛伊尼、亚历山大城两地和地心连线的夹角（即两地对应的地心角）；其次两地为正南正北方向，属于同一条经线，它们的距离就是地球大圆上对应上述地心角的弧长。接下来先把角度换算为十进制度数，再根据圆心角和对应弧长的正比例关系算出地球大圆的总周长，最后用圆的周长公式反推地球半径即可。
【解析】
1. 角度单位换算：
$7°12' = 7° + \frac{12}{60}° = 7.2°$
2. 由太阳光线平行的性质可得，赛伊尼、亚历山大城两点对应的地心夹角为$7.2°$，两地距离805km就是地球大圆上对应$7.2°$圆心角的弧长。
3. 计算地球大圆周长：
圆的总圆心角为$360°$，因此周长$C = 805 × \frac{360°}{7.2°} = 40250\ \mathrm{km}$
4. 根据圆的周长公式$C=2π R$变形得$R=\frac{C}{2π}$，代入数值计算：
$R = \frac{40250}{2×3.14} \approx 6400\ \mathrm{km}$
【答案】
地球的半径约为6400千米
【知识点】
角度单位换算；弧长与圆心角关系；圆周长计算
【点评】
本题是数学知识在实际测量中的典型应用，核心是通过平行光线的性质建立测量夹角和地心角的关联，结合圆的基础性质求解，能很好地锻炼学生将理论知识应用于实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
解题时先梳理逻辑：首先太阳光线是平行光线，因此亚历山大城测得的杆与太阳光的夹角，等于赛伊尼、亚历山大城两地和地心连线的夹角（即两地对应的地心角）；其次两地为正南正北方向，属于同一条经线，它们的距离就是地球大圆上对应上述地心角的弧长。接下来先把角度换算为十进制度数，再根据圆心角和对应弧长的正比例关系算出地球大圆的总周长，最后用圆的周长公式反推地球半径即可。
【解析】
1. 角度单位换算：
$7°12' = 7° + \frac{12}{60}° = 7.2°$
2. 由太阳光线平行的性质可得，赛伊尼、亚历山大城两点对应的地心夹角为$7.2°$，两地距离805km就是地球大圆上对应$7.2°$圆心角的弧长。
3. 计算地球大圆周长：
圆的总圆心角为$360°$，因此周长$C = 805 × \frac{360°}{7.2°} = 40250\ \mathrm{km}$
4. 根据圆的周长公式$C=2π R$变形得$R=\frac{C}{2π}$，代入数值计算：
$R = \frac{40250}{2×3.14} \approx 6400\ \mathrm{km}$
【答案】
地球的半径约为6400千米
【知识点】
角度单位换算；弧长与圆心角关系；圆周长计算
【点评】
本题是数学知识在实际测量中的典型应用，核心是通过平行光线的性质建立测量夹角和地心角的关联，结合圆的基础性质求解，能很好地锻炼学生将理论知识应用于实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
