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11. 已知 $ a_1 = x + 1 $（$ x ≠ 0 $ 且 $ x ≠ -1 $），$ a_2 = \frac{1}{1 - a_1} $，$ a_3 = \frac{1}{1 - a_2} $，…，$ a_n = \frac{1}{1 - a_{n-1}} $，则 $ a_{2027} $ 的值为
$-\frac{1}{x}$
。答案
11.$-\frac{1}{x}$
解析
【分析】
本题是递推式类的代数式求值题，直接计算到第2027项过于繁琐，因此先依次计算前几项的值，观察寻找数列的循环周期，再用总项数除以周期得到余数，根据余数即可确定$a_{2027}$对应周期内的第几项，代入对应项的表达式就能得出结果。
【解析】
首先计算前几项找规律：
已知$a_1 = x + 1$，
$a_2 = \frac{1}{1 - a_1} = \frac{1}{1 - (x+1)} = \frac{1}{-x} = -\frac{1}{x}$，
$a_3 = \frac{1}{1 - a_2} = \frac{1}{1 - (-\frac{1}{x}) = \frac{1}{\frac{x+1}{x}} = \frac{x}{x+1}$，
$a_4 = \frac{1}{1 - a_3} = \frac{1}{1 - \frac{x}{x+1}} = \frac{1}{\frac{1}{x+1}} = x + 1$，
可以发现：$a_4 = a_1$，即数列每3项为一个周期循环，周期为3。
接下来计算2027除以3的余数：$2027 ÷ 3 = 675 \dots \dots 2$，余数为2，说明$a_{2027} = a_2$。
所以$a_{2027} = -\frac{1}{x}$。
【答案】
$-\frac{1}{x}$
【知识点】
分式化简，规律探究，周期数列
【点评】
本题重点考查分式的运算能力和规律探索能力，解题的核心是先通过计算前几项找到数列的循环周期，大幅简化计算过程，避免了逐项推导的繁琐。
【难度系数】
0.7
本题是递推式类的代数式求值题，直接计算到第2027项过于繁琐，因此先依次计算前几项的值，观察寻找数列的循环周期，再用总项数除以周期得到余数，根据余数即可确定$a_{2027}$对应周期内的第几项，代入对应项的表达式就能得出结果。
【解析】
首先计算前几项找规律：
已知$a_1 = x + 1$，
$a_2 = \frac{1}{1 - a_1} = \frac{1}{1 - (x+1)} = \frac{1}{-x} = -\frac{1}{x}$，
$a_3 = \frac{1}{1 - a_2} = \frac{1}{1 - (-\frac{1}{x}) = \frac{1}{\frac{x+1}{x}} = \frac{x}{x+1}$，
$a_4 = \frac{1}{1 - a_3} = \frac{1}{1 - \frac{x}{x+1}} = \frac{1}{\frac{1}{x+1}} = x + 1$，
可以发现：$a_4 = a_1$，即数列每3项为一个周期循环，周期为3。
接下来计算2027除以3的余数：$2027 ÷ 3 = 675 \dots \dots 2$，余数为2，说明$a_{2027} = a_2$。
所以$a_{2027} = -\frac{1}{x}$。
【答案】
$-\frac{1}{x}$
【知识点】
分式化简，规律探究，周期数列
【点评】
本题重点考查分式的运算能力和规律探索能力，解题的核心是先通过计算前几项找到数列的循环周期，大幅简化计算过程，避免了逐项推导的繁琐。
【难度系数】
0.7
12. 已知$A=\dfrac{m-1}{m}, B=\dfrac{m}{m+1}$，其中$m＞0$。
(1) 求$A-B$；
(2) 由(1)中的结果判断$A$与$B$的大小关系，并说明理由；
(3) 利用(2)中的结论比较大小：$\dfrac{2024}{2025}\_\_\_\_\_\_\dfrac{2025}{2026}$（填“＞”“＜”或“=”）。
(1) 求$A-B$；
(2) 由(1)中的结果判断$A$与$B$的大小关系，并说明理由；
(3) 利用(2)中的结论比较大小：$\dfrac{2024}{2025}\_\_\_\_\_\_\dfrac{2025}{2026}$（填“＞”“＜”或“=”）。
答案
12.解:(1)$∵A=\frac{m-1}{m},B=\frac{m}{m+1}$,
$∴A-B=\frac{m-1}{m}-\frac{m}{m+1}=\frac{m^2-1-m^2}{m(m+1)}=-\frac{1}{m(m+1)}$。
(2)$A＜B$,理由如下:
$∵m＞0,∴m(m+1)＞0$。
$∴-\frac{1}{m(m+1)}＜0$,即$A-B＜0$。
$∴A＜B$。
(3)$＜$
$∴A-B=\frac{m-1}{m}-\frac{m}{m+1}=\frac{m^2-1-m^2}{m(m+1)}=-\frac{1}{m(m+1)}$。
(2)$A＜B$,理由如下:
$∵m＞0,∴m(m+1)＞0$。
$∴-\frac{1}{m(m+1)}＜0$,即$A-B＜0$。
$∴A＜B$。
(3)$＜$
解析
【分析】
(1)求A-B直接将A、B的表达式代入，按照异分母分式减法的运算规则，先找最简公分母通分，再合并分子化简即可；(2)比较两个代数式的大小可采用作差法：若差为负，则被减数小于减数，若差为正，则被减数大于减数，结合m＞0的条件判断A-B的符号即可得出A、B的大小关系；(3)观察待比较的两个分数，与(2)中A、B的结构完全对应，直接套用(2)的一般结论即可快速得出结果。
【解析】
(1) 将$A=\dfrac{m-1}{m}$，$B=\dfrac{m}{m+1}$代入$A-B$，得：
$\begin{aligned}A-B&=\dfrac{m-1}{m}-\dfrac{m}{m+1}\\&=\dfrac{(m-1)(m+1)}{m(m+1)}-\dfrac{m^2}{m(m+1)}\\&=\dfrac{m^2-1-m^2}{m(m+1)}\\&=-\dfrac{1}{m(m+1)}\end{aligned}$
(2) $A＜B$，理由如下：
$\because m＞0$，$\therefore m+1＞0$，则$m(m+1)＞0$，
$\therefore -\dfrac{1}{m(m+1)}＜0$，即$A-B＜0$，
$\therefore A＜B$。
(3) 观察可得$\dfrac{2024}{2025}=\dfrac{m-1}{m}$（此时$m=2025$），$\dfrac{2025}{2026}=\dfrac{m}{m+1}$（此时$m=2025$），结合(2)的结论$\dfrac{m-1}{m}＜\dfrac{m}{m+1}$，可得$\dfrac{2024}{2025}＜\dfrac{2025}{2026}$。
【答案】
(1) $-\dfrac{1}{m(m+1)}$；(2) $A＜B$；(3) $＜$
【知识点】
分式的减法运算，作差法比较大小，分式符号判断
【点评】
本题属于分式相关的基础综合题，核心考察异分母分式运算和作差法比较大小的方法，第三问是一般结论到具体问题的迁移应用，能有效检验学生对基础方法的掌握程度。
【难度系数】
0.85
(1)求A-B直接将A、B的表达式代入，按照异分母分式减法的运算规则，先找最简公分母通分，再合并分子化简即可；(2)比较两个代数式的大小可采用作差法：若差为负，则被减数小于减数，若差为正，则被减数大于减数，结合m＞0的条件判断A-B的符号即可得出A、B的大小关系；(3)观察待比较的两个分数，与(2)中A、B的结构完全对应，直接套用(2)的一般结论即可快速得出结果。
【解析】
(1) 将$A=\dfrac{m-1}{m}$，$B=\dfrac{m}{m+1}$代入$A-B$，得：
$\begin{aligned}A-B&=\dfrac{m-1}{m}-\dfrac{m}{m+1}\\&=\dfrac{(m-1)(m+1)}{m(m+1)}-\dfrac{m^2}{m(m+1)}\\&=\dfrac{m^2-1-m^2}{m(m+1)}\\&=-\dfrac{1}{m(m+1)}\end{aligned}$
(2) $A＜B$，理由如下：
$\because m＞0$，$\therefore m+1＞0$，则$m(m+1)＞0$，
$\therefore -\dfrac{1}{m(m+1)}＜0$，即$A-B＜0$，
$\therefore A＜B$。
(3) 观察可得$\dfrac{2024}{2025}=\dfrac{m-1}{m}$（此时$m=2025$），$\dfrac{2025}{2026}=\dfrac{m}{m+1}$（此时$m=2025$），结合(2)的结论$\dfrac{m-1}{m}＜\dfrac{m}{m+1}$，可得$\dfrac{2024}{2025}＜\dfrac{2025}{2026}$。
【答案】
(1) $-\dfrac{1}{m(m+1)}$；(2) $A＜B$；(3) $＜$
【知识点】
分式的减法运算，作差法比较大小，分式符号判断
【点评】
本题属于分式相关的基础综合题，核心考察异分母分式运算和作差法比较大小的方法，第三问是一般结论到具体问题的迁移应用，能有效检验学生对基础方法的掌握程度。
【难度系数】
0.85
