登录
6.有一大一小两个长方形，它们的面积分别是200和100，它们的宽都是a，则大、小长方形拼在一起的新长方形的长是
$\frac{300}{a}$
；大长方形的长比小长方形的长长$\frac{100}{a}$
。答案
6.$\frac{300}{a}$，$\frac{100}{a}$
解析
【分析】
首先回忆长方形的面积公式：长方形面积=长×宽，变形可得长=面积÷宽。解题时第一步先根据公式分别求出大、小长方形的长；第二步，两个宽相同的长方形拼在一起时，新长方形的宽不变，长为两个长方形的长之和，求和即可得到新长方形的长；第三步，用大长方形的长减去小长方形的长，就能得到长的差值。
【解析】
根据长方形面积公式$S = 长 × 宽$，可得$长 = \frac{S}{宽}$。
1. 求大、小长方形的长：
大长方形面积为200，宽为$a$，则大长方形的长为$\frac{200}{a}$；
小长方形面积为100，宽为$a$，则小长方形的长为$\frac{100}{a}$。
2. 求拼接后新长方形的长：
两个长方形宽相同，拼接后新长方形的长为两个长的和，即$\frac{200}{a} + \frac{100}{a} = \frac{300}{a}$。
3. 求大长方形的长比小长方形长多少：
用大长方形的长减小长方形的长，即$\frac{200}{a} - \frac{100}{a} = \frac{100}{a}$。
【答案】
$\frac{300}{a}$，$\frac{100}{a}$
【知识点】
长方形面积计算；同分母分式加减
【点评】
本题属于基础题，主要考察长方形面积公式的灵活运用和同分母分式的加减运算规则，解题时注意两个长方形宽相等是拼接后长可直接加减的前提。
【难度系数】
0.8
首先回忆长方形的面积公式：长方形面积=长×宽，变形可得长=面积÷宽。解题时第一步先根据公式分别求出大、小长方形的长；第二步，两个宽相同的长方形拼在一起时，新长方形的宽不变，长为两个长方形的长之和，求和即可得到新长方形的长；第三步，用大长方形的长减去小长方形的长，就能得到长的差值。
【解析】
根据长方形面积公式$S = 长 × 宽$，可得$长 = \frac{S}{宽}$。
1. 求大、小长方形的长：
大长方形面积为200，宽为$a$，则大长方形的长为$\frac{200}{a}$；
小长方形面积为100，宽为$a$，则小长方形的长为$\frac{100}{a}$。
2. 求拼接后新长方形的长：
两个长方形宽相同，拼接后新长方形的长为两个长的和，即$\frac{200}{a} + \frac{100}{a} = \frac{300}{a}$。
3. 求大长方形的长比小长方形长多少：
用大长方形的长减小长方形的长，即$\frac{200}{a} - \frac{100}{a} = \frac{100}{a}$。
【答案】
$\frac{300}{a}$，$\frac{100}{a}$
【知识点】
长方形面积计算；同分母分式加减
【点评】
本题属于基础题，主要考察长方形面积公式的灵活运用和同分母分式的加减运算规则，解题时注意两个长方形宽相等是拼接后长可直接加减的前提。
【难度系数】
0.8
7.有两个工人甲和乙，他们每小时分别可以制作某种零件a件、b件。现要赶制一批该种零件，若甲单独完成任务需要m h，则甲、乙两人合作比甲单独完成任务提前
$\frac{mb}{a+b}$
h。答案
7.$\frac{mb}{a+b}$
解析
【分析】
解决这道题首先要明确工程问题的基本数量关系：工作总量=工作效率×工作时间。第一步先根据甲的工作效率和单独完成的时间算出总工作量；第二步算出甲乙两人合作的工作效率之和，再用总工作量除以合作效率得到合作需要的时间；最后用甲单独完成的时间减去合作的时间，通分化简后就能得到提前的时长。
【解析】
首先计算这批零件的总数量：
已知甲每小时做a件，单独完成需要m h，因此总工作量为 $ a × m = am $ 件。
接着计算甲乙合作的工作效率：
甲每小时做a件，乙每小时做b件，两人合作每小时共完成 $ (a + b) $ 件。
再计算甲乙合作完成任务需要的时间：
根据工作时间=工作总量÷工作效率，合作时间为 $ \frac{am}{a + b} $ h。
最后计算提前的时间：
提前的时间 = 甲单独完成的时间 - 合作完成的时间，即：
$ m - \frac{am}{a + b} = \frac{m(a + b) - am}{a + b} = \frac{ma + mb - ma}{a + b} = \frac{mb}{a + b} $
【答案】
$\frac{mb}{a+b}$
【知识点】
1. 工程问题基本关系
2. 分式加减运算
【点评】
本题属于工程类基础题型，重点考查对工作总量、效率、时间三者关系的运用，解题时注意分式化简过程中通分、合并同类项的运算准确性即可。
【难度系数】
0.7
解决这道题首先要明确工程问题的基本数量关系：工作总量=工作效率×工作时间。第一步先根据甲的工作效率和单独完成的时间算出总工作量；第二步算出甲乙两人合作的工作效率之和，再用总工作量除以合作效率得到合作需要的时间；最后用甲单独完成的时间减去合作的时间，通分化简后就能得到提前的时长。
【解析】
首先计算这批零件的总数量：
已知甲每小时做a件，单独完成需要m h，因此总工作量为 $ a × m = am $ 件。
接着计算甲乙合作的工作效率：
甲每小时做a件，乙每小时做b件，两人合作每小时共完成 $ (a + b) $ 件。
再计算甲乙合作完成任务需要的时间：
根据工作时间=工作总量÷工作效率，合作时间为 $ \frac{am}{a + b} $ h。
最后计算提前的时间：
提前的时间 = 甲单独完成的时间 - 合作完成的时间，即：
$ m - \frac{am}{a + b} = \frac{m(a + b) - am}{a + b} = \frac{ma + mb - ma}{a + b} = \frac{mb}{a + b} $
【答案】
$\frac{mb}{a+b}$
【知识点】
1. 工程问题基本关系
2. 分式加减运算
【点评】
本题属于工程类基础题型，重点考查对工作总量、效率、时间三者关系的运用，解题时注意分式化简过程中通分、合并同类项的运算准确性即可。
【难度系数】
0.7
8. 计算：
(1)$\frac{x^2 -9}{x+2} ÷ (x + \frac{9-8x}{x+2})$；
(2)
(1)$\frac{x^2 -9}{x+2} ÷ (x + \frac{9-8x}{x+2})$；
(2)
答案
8.解:(1)原式$=\frac{x+3}{x-3}$。(2)原式$=\frac{2}{m-2}$。
解析
【分析】
这是分式混合运算题，解题遵循“先括号、后乘除”的顺序：首先处理括号内的减法，把整数1通分转化为和后面分式同分母的形式，计算出括号内的结果；再对除式的分子、分母分别用完全平方公式、平方差公式因式分解，将除法转化为乘法后约分，即可得到最简结果。
【解析】
解：
1. 计算括号内的式子：
将1通分为$\frac{m+2}{m+2}$，则
$1-\frac{m}{m+2}=\frac{m+2}{m+2}-\frac{m}{m+2}=\frac{m+2-m}{m+2}=\frac{2}{m+2}$
2. 因式分解除式的分子和分母：
分子$m^2-4m+4=(m-2)^2$，分母$m^2-4=(m+2)(m-2)$，因此除式可写为$\frac{(m-2)^2}{(m+2)(m-2)}$
3. 除法变乘法后约分：
原式$=\frac{2}{m+2}÷\frac{(m-2)^2}{(m+2)(m-2)}=\frac{2}{m+2}×\frac{(m+2)(m-2)}{(m-2)^2}$
约去公因式$m+2$和$m-2$（$m≠\pm2$，保证分式有意义），得结果为$\frac{2}{m-2}$
【答案】
$\frac{2}{m-2}$
【知识点】
分式混合运算，因式分解，分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心考查运算顺序和因式分解的应用，解题关键是正确通分计算括号内的式子，准确对多项式因式分解后约分，运算时要注意隐含的分式有意义的条件。
【难度系数】
0.7
这是分式混合运算题，解题遵循“先括号、后乘除”的顺序：首先处理括号内的减法，把整数1通分转化为和后面分式同分母的形式，计算出括号内的结果；再对除式的分子、分母分别用完全平方公式、平方差公式因式分解，将除法转化为乘法后约分，即可得到最简结果。
【解析】
解：
1. 计算括号内的式子：
将1通分为$\frac{m+2}{m+2}$，则
$1-\frac{m}{m+2}=\frac{m+2}{m+2}-\frac{m}{m+2}=\frac{m+2-m}{m+2}=\frac{2}{m+2}$
2. 因式分解除式的分子和分母：
分子$m^2-4m+4=(m-2)^2$，分母$m^2-4=(m+2)(m-2)$，因此除式可写为$\frac{(m-2)^2}{(m+2)(m-2)}$
3. 除法变乘法后约分：
原式$=\frac{2}{m+2}÷\frac{(m-2)^2}{(m+2)(m-2)}=\frac{2}{m+2}×\frac{(m+2)(m-2)}{(m-2)^2}$
约去公因式$m+2$和$m-2$（$m≠\pm2$，保证分式有意义），得结果为$\frac{2}{m-2}$
【答案】
$\frac{2}{m-2}$
【知识点】
分式混合运算，因式分解，分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心考查运算顺序和因式分解的应用，解题关键是正确通分计算括号内的式子，准确对多项式因式分解后约分，运算时要注意隐含的分式有意义的条件。
【难度系数】
0.7
9. 先化简，再求值：
$(1 - \frac{1}{a}) ÷ \frac{a^2 -1}{a^2 +2a +1}$，其中a是不等式组$\begin{cases} a -2 ≥ 2 -a, \\ 2a -1 ＜ a +3 \end{cases}$的最小整数解。
$(1 - \frac{1}{a}) ÷ \frac{a^2 -1}{a^2 +2a +1}$，其中a是不等式组$\begin{cases} a -2 ≥ 2 -a, \\ 2a -1 ＜ a +3 \end{cases}$的最小整数解。
答案
9.解:原式$=\frac{a-1}{a} · \frac{(a+1)^2}{(a+1)(a-1)}=\frac{a+1}{a}$。
$\begin{cases} a-2≥2-a,① \\ 2a-1＜a+3,② \end{cases}$
解不等式①,得$a≥2$。
解不等式②,得$a＜4$。
则不等式组的解集为$2≤a＜4$。
$∴a=2$。
当$a=2$时,原式$=\frac{2+1}{2}=\frac{3}{2}$。
$\begin{cases} a-2≥2-a,① \\ 2a-1＜a+3,② \end{cases}$
解不等式①,得$a≥2$。
解不等式②,得$a＜4$。
则不等式组的解集为$2≤a＜4$。
$∴a=2$。
当$a=2$时,原式$=\frac{2+1}{2}=\frac{3}{2}$。
解析
【分析】
这是分式化简求值与一元一次不等式组结合的综合题，解题思路分三步：第一步化简分式，先计算括号内的分式减法，再将除法转化为乘法，对分子分母因式分解后约分化为最简形式；第二步解不等式组，分别求解两个不等式，得到公共解集后找出其中的最小整数解，同时需验证该整数解能让原式所有分母不为0，保证分式有意义；第三步将符合条件的a的值代入最简分式计算最终结果。
【解析】
1. 化简分式：
原式$=\frac{a-1}{a} ÷ \frac{(a+1)(a-1)}{(a+1)^2}$
$=\frac{a-1}{a} · \frac{(a+1)^2}{(a+1)(a-1)}$
约分后得：原式$=\frac{a+1}{a}$
2. 解不等式组$\begin{cases} a -2 ≥ 2 -a,① \\ 2a -1 ＜ a +3,② \end{cases}$
解不等式①：移项得$2a≥4$，解得$a≥2$
解不等式②：移项得$a＜4$
因此不等式组的解集为$2≤a＜4$，其中最小整数解为$a=2$，且$a=2$时原分式所有分母均不为0，符合要求。
3. 代入求值：
将$a=2$代入$\frac{a+1}{a}$，得$\frac{2+1}{2}=\frac{3}{2}$
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
分式混合运算、解一元一次不等式组、不等式组的整数解
【点评】
本题属于基础综合题，同时考查分式运算规则和不等式组的求解能力，解题时需注意：一是分式运算要严格遵循运算法则，约分要彻底；二是代入的整数值必须保证原分式所有分母不为0，避免出现无意义的情况。
【难度系数】
0.7
这是分式化简求值与一元一次不等式组结合的综合题，解题思路分三步：第一步化简分式，先计算括号内的分式减法，再将除法转化为乘法，对分子分母因式分解后约分化为最简形式；第二步解不等式组，分别求解两个不等式，得到公共解集后找出其中的最小整数解，同时需验证该整数解能让原式所有分母不为0，保证分式有意义；第三步将符合条件的a的值代入最简分式计算最终结果。
【解析】
1. 化简分式：
原式$=\frac{a-1}{a} ÷ \frac{(a+1)(a-1)}{(a+1)^2}$
$=\frac{a-1}{a} · \frac{(a+1)^2}{(a+1)(a-1)}$
约分后得：原式$=\frac{a+1}{a}$
2. 解不等式组$\begin{cases} a -2 ≥ 2 -a,① \\ 2a -1 ＜ a +3,② \end{cases}$
解不等式①：移项得$2a≥4$，解得$a≥2$
解不等式②：移项得$a＜4$
因此不等式组的解集为$2≤a＜4$，其中最小整数解为$a=2$，且$a=2$时原分式所有分母均不为0，符合要求。
3. 代入求值：
将$a=2$代入$\frac{a+1}{a}$，得$\frac{2+1}{2}=\frac{3}{2}$
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
分式混合运算、解一元一次不等式组、不等式组的整数解
【点评】
本题属于基础综合题，同时考查分式运算规则和不等式组的求解能力，解题时需注意：一是分式运算要严格遵循运算法则，约分要彻底；二是代入的整数值必须保证原分式所有分母不为0，避免出现无意义的情况。
【难度系数】
0.7
10.黄河是甘肃水能资源最丰富的河流。一艘轮船在黄河上顺流航行20 km由甲地到达乙地，然后又返回甲地。已知水流速度为每小时2 km，轮船在静水中的速度为每小时x km。
(1)轮船从甲地到乙地需用多少时间？返回时需用多少时间？
(2)从甲地到乙地所用时间比返回时所用时间少多少小时？
(1)轮船从甲地到乙地需用多少时间？返回时需用多少时间？
(2)从甲地到乙地所用时间比返回时所用时间少多少小时？
答案
10.解:(1)轮船从甲地到乙地需用$\frac{20}{x+2}$小时，返回时需用$\frac{20}{x-2}$小时。
(2)根据题意,得
$\frac{20}{x-2}-\frac{20}{x+2}=\frac{20(x+2)-20(x-2)}{(x+2)(x-2)}=\frac{80}{(x+2)(x-2)}=\frac{80}{x^2-4}$,
则从甲地到乙地所用时间比返回时所用时间少$\frac{80}{x^2-4}$小时。
(2)根据题意,得
$\frac{20}{x-2}-\frac{20}{x+2}=\frac{20(x+2)-20(x-2)}{(x+2)(x-2)}=\frac{80}{(x+2)(x-2)}=\frac{80}{x^2-4}$,
则从甲地到乙地所用时间比返回时所用时间少$\frac{80}{x^2-4}$小时。
解析
【分析】
解决本题首先回忆行程问题的核心公式：时间=路程÷速度。第一问先明确顺流、逆流的实际速度计算规则：顺流航行的实际速度为静水速度加水流速度，逆流航行的实际速度为静水速度减水流速度，再将路程、速度代入时间公式即可分别求出两段行程的用时。第二问求时间差，只需用逆流用时减去顺流用时，再通过分式通分、化简得到最终结果即可。
【解析】
(1) 顺流航行时，轮船的实际速度为每小时$(x+2)$km，总路程为20km，根据时间=路程÷速度，可得从甲地到乙地的用时为：$\frac{20}{x+2}$小时；
逆流航行时，轮船的实际速度为每小时$(x-2)$km，同理可得返回甲地的用时为：$\frac{20}{x-2}$小时。
(2) 求去程比返程少用的时间，用返程时间减去去程时间，列式计算如下：
$\begin{aligned}\frac{20}{x-2}-\frac{20}{x+2}&=\frac{20(x+2)-20(x-2)}{(x+2)(x-2)}\\&=\frac{20x+40-20x+40}{x^2-4}\\&=\frac{80}{x^2-4}\end{aligned}$
因此从甲地到乙地所用时间比返回时少$\frac{80}{x^2-4}$小时。
【答案】
(1) 轮船从甲地到乙地需用$\frac{20}{x+2}$小时，返回时需用$\frac{20}{x-2}$小时；
(2) 从甲地到乙地所用时间比返回时所用时间少$\frac{80}{x^2-4}$小时。
【知识点】
行程问题基本公式，顺逆流速度计算，分式加减运算
【点评】
本题结合实际航行场景出题，既考查了行程问题的基础数量关系，也涵盖了分式的化简运算，解题时要注意区分顺流和逆流的实际速度，分式运算时要正确通分化简，同时要注意$x＞2$的隐含条件，保证速度和分式分母有意义。
【难度系数】
0.8
解决本题首先回忆行程问题的核心公式：时间=路程÷速度。第一问先明确顺流、逆流的实际速度计算规则：顺流航行的实际速度为静水速度加水流速度，逆流航行的实际速度为静水速度减水流速度，再将路程、速度代入时间公式即可分别求出两段行程的用时。第二问求时间差，只需用逆流用时减去顺流用时，再通过分式通分、化简得到最终结果即可。
【解析】
(1) 顺流航行时，轮船的实际速度为每小时$(x+2)$km，总路程为20km，根据时间=路程÷速度，可得从甲地到乙地的用时为：$\frac{20}{x+2}$小时；
逆流航行时，轮船的实际速度为每小时$(x-2)$km，同理可得返回甲地的用时为：$\frac{20}{x-2}$小时。
(2) 求去程比返程少用的时间，用返程时间减去去程时间，列式计算如下：
$\begin{aligned}\frac{20}{x-2}-\frac{20}{x+2}&=\frac{20(x+2)-20(x-2)}{(x+2)(x-2)}\\&=\frac{20x+40-20x+40}{x^2-4}\\&=\frac{80}{x^2-4}\end{aligned}$
因此从甲地到乙地所用时间比返回时少$\frac{80}{x^2-4}$小时。
【答案】
(1) 轮船从甲地到乙地需用$\frac{20}{x+2}$小时，返回时需用$\frac{20}{x-2}$小时；
(2) 从甲地到乙地所用时间比返回时所用时间少$\frac{80}{x^2-4}$小时。
【知识点】
行程问题基本公式，顺逆流速度计算，分式加减运算
【点评】
本题结合实际航行场景出题，既考查了行程问题的基础数量关系，也涵盖了分式的化简运算，解题时要注意区分顺流和逆流的实际速度，分式运算时要正确通分化简，同时要注意$x＞2$的隐含条件，保证速度和分式分母有意义。
【难度系数】
0.8
