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7. 解方程：
(1) $\frac{x-2}{x+2} + \frac{8}{4-x^2} = 1$；
(2) $\frac{1}{x-1} - 1 = \frac{3}{2x-2}$；
(3) $\frac{3}{x^2 - 3x} - \frac{1}{x-3} = \frac{2}{x}$；
(4) $\frac{1}{2x-1} + \frac{3}{4x-2} = \frac{1}{2}$。
(1) $\frac{x-2}{x+2} + \frac{8}{4-x^2} = 1$；
(2) $\frac{1}{x-1} - 1 = \frac{3}{2x-2}$；
(3) $\frac{3}{x^2 - 3x} - \frac{1}{x-3} = \frac{2}{x}$；
(4) $\frac{1}{2x-1} + \frac{3}{4x-2} = \frac{1}{2}$。
答案
7.解:(1)整理,得$\frac{x-2}{x+2}-\frac{8}{x^2-4}=1$,
去分母,得$(x-2)^2-8=x^2-4$,解得$x=0$。
经检验,$x=0$是原方程的根。
(2)$\frac{1}{x-1}-1=\frac{3}{2x-2}$,
去分母,得$2-2(x-1)=3$,
解得$x=\frac{1}{2}$。
经检验,$x=\frac{1}{2}$是原方程的根。
(3)$\frac{3}{x^2-3x}-\frac{1}{x-3}=\frac{2}{x}$,
去分母,得$3-x=2(x-3)$,解得$x=3$,
检验:当$x=3$时,$x(x-3)=0$,
$\therefore x=3$是原方程的增根。
$\therefore$原方程无解。
(4)$\frac{1}{2x-1}+\frac{3}{4x-2}=\frac{1}{2}$,
去分母,得$2+3=2x-1$,解得$x=3$,
经检验,$x=3$是原方程的根。
去分母,得$(x-2)^2-8=x^2-4$,解得$x=0$。
经检验,$x=0$是原方程的根。
(2)$\frac{1}{x-1}-1=\frac{3}{2x-2}$,
去分母,得$2-2(x-1)=3$,
解得$x=\frac{1}{2}$。
经检验,$x=\frac{1}{2}$是原方程的根。
(3)$\frac{3}{x^2-3x}-\frac{1}{x-3}=\frac{2}{x}$,
去分母,得$3-x=2(x-3)$,解得$x=3$,
检验:当$x=3$时,$x(x-3)=0$,
$\therefore x=3$是原方程的增根。
$\therefore$原方程无解。
(4)$\frac{1}{2x-1}+\frac{3}{4x-2}=\frac{1}{2}$,
去分母,得$2+3=2x-1$,解得$x=3$,
经检验,$x=3$是原方程的根。
解析
【分析】
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，具体步骤如下：①先对各分母因式分解，统一符号后确定最简公分母，如$4-x^2$可变形为$-(x^2-4)$简化计算；②方程两边同时乘最简公分母，去掉分母转化为整式方程，注意常数项也要乘最简公分母，避免漏乘；③按整式方程的解法（去括号、移项、合并同类项、系数化为1）求解；④必须检验：把求得的解代入最简公分母，若公分母为0则是增根，原方程无解，若公分母不为0则是原方程的根。
【解析】
(1) 整理原方程，将$\frac{8}{4-x^2}$变形为$-\frac{8}{x^2-4}$，得：$\frac{x-2}{x+2}-\frac{8}{(x+2)(x-2)}=1$
最简公分母为$(x+2)(x-2)$，去分母得：$(x-2)^2 - 8 = x^2 - 4$
展开整理得：$x^2-4x+4-8=x^2-4$，解得$x=0$
检验：当$x=0$时，$(x+2)(x-2)=-4≠0$，所以$x=0$是原方程的根。
(2) 原方程整理为$\frac{1}{x-1} - 1 = \frac{3}{2(x-1)}$，最简公分母为$2(x-1)$
去分母得：$2 - 2(x-1) = 3$
展开整理得：$2-2x+2=3$，解得$x=\frac{1}{2}$
检验：当$x=\frac{1}{2}$时，$2(x-1)=-1≠0$，所以$x=\frac{1}{2}$是原方程的根。
(3) 原方程整理得：$\frac{3}{x(x-3)} - \frac{1}{x-3} = \frac{2}{x}$，最简公分母为$x(x-3)$
去分母得：$3 - x = 2(x-3)$
展开整理得：$3-x=2x-6$，解得$x=3$
检验：当$x=3$时，$x(x-3)=0$，所以$x=3$是原方程的增根，原方程无解。
(4) 原方程整理得：$\frac{1}{2x-1} + \frac{3}{2(2x-1)} = \frac{1}{2}$，最简公分母为$2(2x-1)$
去分母得：$2 + 3 = 2x - 1$
整理得：$2x=6$，解得$x=3$
检验：当$x=3$时，$2(2x-1)=10≠0$，所以$x=3$是原方程的根。
【答案】
(1)$x=0$；(2)$x=\frac{1}{2}$；(3)无解；(4)$x=3$
【知识点】
分式方程的解法，增根的检验，分式的基本性质
【点评】
本题是分式方程的常规基础题型，解题时要注意去分母时不要漏乘不含分母的项，同时要养成检验的习惯，避免把增根当成原方程的解，注意处理分母时的符号变形，减少计算错误。
【难度系数】
0.7
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，具体步骤如下：①先对各分母因式分解，统一符号后确定最简公分母，如$4-x^2$可变形为$-(x^2-4)$简化计算；②方程两边同时乘最简公分母，去掉分母转化为整式方程，注意常数项也要乘最简公分母，避免漏乘；③按整式方程的解法（去括号、移项、合并同类项、系数化为1）求解；④必须检验：把求得的解代入最简公分母，若公分母为0则是增根，原方程无解，若公分母不为0则是原方程的根。
【解析】
(1) 整理原方程，将$\frac{8}{4-x^2}$变形为$-\frac{8}{x^2-4}$，得：$\frac{x-2}{x+2}-\frac{8}{(x+2)(x-2)}=1$
最简公分母为$(x+2)(x-2)$，去分母得：$(x-2)^2 - 8 = x^2 - 4$
展开整理得：$x^2-4x+4-8=x^2-4$，解得$x=0$
检验：当$x=0$时，$(x+2)(x-2)=-4≠0$，所以$x=0$是原方程的根。
(2) 原方程整理为$\frac{1}{x-1} - 1 = \frac{3}{2(x-1)}$，最简公分母为$2(x-1)$
去分母得：$2 - 2(x-1) = 3$
展开整理得：$2-2x+2=3$，解得$x=\frac{1}{2}$
检验：当$x=\frac{1}{2}$时，$2(x-1)=-1≠0$，所以$x=\frac{1}{2}$是原方程的根。
(3) 原方程整理得：$\frac{3}{x(x-3)} - \frac{1}{x-3} = \frac{2}{x}$，最简公分母为$x(x-3)$
去分母得：$3 - x = 2(x-3)$
展开整理得：$3-x=2x-6$，解得$x=3$
检验：当$x=3$时，$x(x-3)=0$，所以$x=3$是原方程的增根，原方程无解。
(4) 原方程整理得：$\frac{1}{2x-1} + \frac{3}{2(2x-1)} = \frac{1}{2}$，最简公分母为$2(2x-1)$
去分母得：$2 + 3 = 2x - 1$
整理得：$2x=6$，解得$x=3$
检验：当$x=3$时，$2(2x-1)=10≠0$，所以$x=3$是原方程的根。
【答案】
(1)$x=0$；(2)$x=\frac{1}{2}$；(3)无解；(4)$x=3$
【知识点】
分式方程的解法，增根的检验，分式的基本性质
【点评】
本题是分式方程的常规基础题型，解题时要注意去分母时不要漏乘不含分母的项，同时要养成检验的习惯，避免把增根当成原方程的解，注意处理分母时的符号变形，减少计算错误。
【难度系数】
0.7
8. 小明解方程$\frac{1}{x} - \frac{x-2}{x}=1$的过程如下。
请指出他解答过程中的错误，并写出正确的解答过程。
请指出他解答过程中的错误，并写出正确的解答过程。
答案
8.解:小明的解法有三处错误,步骤①去分母有误;步骤②去括号有误;步骤⑥少检验。
正确解法为:
方程两边都乘$x$,得$1-(x-2)=x$。
去括号,得$1-x+2=x$。
移项,得$-x-x=-1-2$。
合并同类项,得$-2x=-3$。
系数化为1,得$x=\frac{3}{2}$。
经检验,$x=\frac{3}{2}$是原方程的根。
正确解法为:
方程两边都乘$x$,得$1-(x-2)=x$。
去括号,得$1-x+2=x$。
移项,得$-x-x=-1-2$。
合并同类项,得$-2x=-3$。
系数化为1,得$x=\frac{3}{2}$。
经检验,$x=\frac{3}{2}$是原方程的根。
解析
【分析】
要判断解分式方程的步骤是否正确，首先回忆分式方程的求解规范：第一步去分母时，需要给方程两边的每一项都乘最简公分母，不能漏乘不含分母的项；去括号时，若括号前是负号，括号内的每一项都要变号；最后由于去分母过程可能产生增根，求出整式方程的解后必须检验是否为原分式方程的根。对照小明的步骤逐一排查即可找到错误，再按正确步骤求解即可。
【解析】
首先指出小明的三处错误：
1. 步骤①去分母有误，等号右侧的常数项1漏乘了x；
2. 步骤②去括号有误，括号前是负号，括号内的-2未变号，错误写成-2；
3. 步骤⑥缺少检验步骤，分式方程必须检验解是否为增根。
正确解答过程：
方程两边都乘$x$（$x≠0$），得$1-(x-2)=x$。
去括号，得$1-x+2=x$。
移项，得$-x-x=-1-2$。
合并同类项，得$-2x=-3$。
系数化为1，得$x=\frac{3}{2}$。
检验：当$x=\frac{3}{2}$时，$x≠0$，因此$x=\frac{3}{2}$是原分式方程的根。
【答案】
小明的解法有三处错误,步骤①去分母有误;步骤②去括号有误;步骤⑥少检验。
正确解法为:
方程两边都乘$x$,得$1-(x-2)=x$。
去括号,得$1-x+2=x$。
移项,得$-x-x=-1-2$。
合并同类项,得$-2x=-3$。
系数化为1,得$x=\frac{3}{2}$。
经检验,$x=\frac{3}{2}$是原方程的根。
【知识点】
分式方程的解法；去括号法则；分式方程验根
【点评】
本题是分式方程求解的基础题，核心易错点集中在去分母漏乘项、去括号符号错误、忘记验根三个方面，解题时牢记分式方程的求解步骤和注意事项即可轻松得分。
【难度系数】
0.7
要判断解分式方程的步骤是否正确，首先回忆分式方程的求解规范：第一步去分母时，需要给方程两边的每一项都乘最简公分母，不能漏乘不含分母的项；去括号时，若括号前是负号，括号内的每一项都要变号；最后由于去分母过程可能产生增根，求出整式方程的解后必须检验是否为原分式方程的根。对照小明的步骤逐一排查即可找到错误，再按正确步骤求解即可。
【解析】
首先指出小明的三处错误：
1. 步骤①去分母有误，等号右侧的常数项1漏乘了x；
2. 步骤②去括号有误，括号前是负号，括号内的-2未变号，错误写成-2；
3. 步骤⑥缺少检验步骤，分式方程必须检验解是否为增根。
正确解答过程：
方程两边都乘$x$（$x≠0$），得$1-(x-2)=x$。
去括号，得$1-x+2=x$。
移项，得$-x-x=-1-2$。
合并同类项，得$-2x=-3$。
系数化为1，得$x=\frac{3}{2}$。
检验：当$x=\frac{3}{2}$时，$x≠0$，因此$x=\frac{3}{2}$是原分式方程的根。
【答案】
小明的解法有三处错误,步骤①去分母有误;步骤②去括号有误;步骤⑥少检验。
正确解法为:
方程两边都乘$x$,得$1-(x-2)=x$。
去括号,得$1-x+2=x$。
移项,得$-x-x=-1-2$。
合并同类项,得$-2x=-3$。
系数化为1,得$x=\frac{3}{2}$。
经检验,$x=\frac{3}{2}$是原方程的根。
【知识点】
分式方程的解法；去括号法则；分式方程验根
【点评】
本题是分式方程求解的基础题，核心易错点集中在去分母漏乘项、去括号符号错误、忘记验根三个方面，解题时牢记分式方程的求解步骤和注意事项即可轻松得分。
【难度系数】
0.7
