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11. 为庆祝“六一”国际儿童节，某儿童游乐场推出了甲、乙两种消费卡。设消费次数为$x$时，所需费用为$y$元，且$y$与$x$的函数关系如图所示。根据图中信息，解答下列问题：
(1)分别求出选择甲、乙两种消费卡消费时，$y$关于$x$的函数解析式；
(2)求点$B$的坐标，并说明点$B$的实际意义；
(3)洋洋爸爸准备拿240元钱用于洋洋在该游乐场的消费，选择哪种消费卡较合算？
(1)分别求出选择甲、乙两种消费卡消费时，$y$关于$x$的函数解析式；
(2)求点$B$的坐标，并说明点$B$的实际意义；
(3)洋洋爸爸准备拿240元钱用于洋洋在该游乐场的消费，选择哪种消费卡较合算？
答案
11.解:(1)设选择甲种消费卡消费时,y关于x的函数解析式为$y=kx$,
∵点$(5,100)$在该函数图象上,
∴$100=5k$,解得$k=20$。
即选择甲种消费卡消费时,y关于x的函数解析式为$y=20x$。
设选择乙种消费卡消费时,y关于x的函数解析式为$y=ax+b$,
∵点$(0,100)$,$(20,300)$在该函数图象上,
∴$\begin{cases}b=100,\\20a+b=300,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=10,\\b=100。\end{cases}$
即选择乙种消费卡消费时,y关于x的函数解析式为$y=10x+100$。
(2)令$20x=10x+100$,解得$x=10$,
当$x=10$时,$20x=200$,
∴点B的坐标为$(10,200)$。
点B的实际意义是:当去游乐场消费的次数为10时,选择甲或乙消费卡消费一样,消费的金额都是200元。
(3)当$y=240$时,
选择甲时:$240=20x$,得$x=12$,
选择乙时:$10x+100=240$,得$x=14$,
∵$14＞12$,
∴洋洋爸爸准备拿240元钱用于洋洋在该游乐场的消费,选择乙种消费卡较合算。
∵点$(5,100)$在该函数图象上,
∴$100=5k$,解得$k=20$。
即选择甲种消费卡消费时,y关于x的函数解析式为$y=20x$。
设选择乙种消费卡消费时,y关于x的函数解析式为$y=ax+b$,
∵点$(0,100)$,$(20,300)$在该函数图象上,
∴$\begin{cases}b=100,\\20a+b=300,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=10,\\b=100。\end{cases}$
即选择乙种消费卡消费时,y关于x的函数解析式为$y=10x+100$。
(2)令$20x=10x+100$,解得$x=10$,
当$x=10$时,$20x=200$,
∴点B的坐标为$(10,200)$。
点B的实际意义是:当去游乐场消费的次数为10时,选择甲或乙消费卡消费一样,消费的金额都是200元。
(3)当$y=240$时,
选择甲时:$240=20x$,得$x=12$,
选择乙时:$10x+100=240$,得$x=14$,
∵$14＞12$,
∴洋洋爸爸准备拿240元钱用于洋洋在该游乐场的消费,选择乙种消费卡较合算。
解析
【分析】
(1) 求函数解析式采用待定系数法：甲消费卡的函数图象过原点，属于正比例函数，设解析式为$y=kx$，代入图象上已知点$(5,100)$即可求出系数$k$，得到甲的函数解析式；乙消费卡的函数为一般一次函数，设解析式为$y=ax+b$，代入图象上两个已知点$(0,100)$和$(20,300)$，得到二元一次方程组，解方程组求出$a、b$的值，即可得到乙的函数解析式。
(2) 点$B$是甲、乙两个函数图象的交点，交点处两个函数的函数值相等，因此联立两个函数解析式解方程，得到的$x$为横坐标，代入解析式得到的$y$为纵坐标，即为$B$点坐标；实际意义为对应消费次数下，两种消费卡的总费用相同。
(3) 总费用固定为240元即$y=240$，分别代入甲、乙的函数解析式，求出对应的消费次数$x$，可消费次数更多的消费卡更合算。
【解析】
(1) 设选择甲种消费卡消费时，$y$关于$x$的函数解析式为$y=kx$，
∵点$(5,100)$在该函数图象上，
∴$100=5k$，解得$k=20$。
即选择甲种消费卡消费时，$y$关于$x$的函数解析式为$y=20x$。
设选择乙种消费卡消费时，$y$关于$x$的函数解析式为$y=ax+b$，
∵点$(0,100)$，$(20,300)$在该函数图象上，
∴$\begin{cases}b=100\\20a+b=300\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=10\\b=100\end{cases}$。
即选择乙种消费卡消费时，$y$关于$x$的函数解析式为$y=10x+100$。
(2) 令$20x=10x+100$，解得$x=10$，
当$x=10$时，$20x=20×10=200$，
∴点$B$的坐标为$(10,200)$。
点$B$的实际意义是：当去游乐场消费的次数为10次时，选择甲或乙消费卡消费的费用相同，均为200元。
(3) 当$y=240$时，
选择甲消费卡：$240=20x$，解得$x=12$；
选择乙消费卡：$10x+100=240$，解得$x=14$。
∵$14＞12$，
∴洋洋爸爸准备拿240元钱用于消费时，选择乙种消费卡较合算。
【答案】
(1) 甲：$y=20x$；乙：$y=10x+100$
(2) $B(10,200)$，实际意义：当消费次数为10次时，两种消费卡费用相同，均为200元
(3) 选择乙种消费卡较合算
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数的应用，一次函数交点问题
【点评】
本题结合日常消费场景考查一次函数的实际应用，解题核心是熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法，能够通过联立解析式求交点，结合实际需求对比不同方案的优劣，体现了数学知识在生活中的实用价值。
【难度系数】
0.7
(1) 求函数解析式采用待定系数法：甲消费卡的函数图象过原点，属于正比例函数，设解析式为$y=kx$，代入图象上已知点$(5,100)$即可求出系数$k$，得到甲的函数解析式；乙消费卡的函数为一般一次函数，设解析式为$y=ax+b$，代入图象上两个已知点$(0,100)$和$(20,300)$，得到二元一次方程组，解方程组求出$a、b$的值，即可得到乙的函数解析式。
(2) 点$B$是甲、乙两个函数图象的交点，交点处两个函数的函数值相等，因此联立两个函数解析式解方程，得到的$x$为横坐标，代入解析式得到的$y$为纵坐标，即为$B$点坐标；实际意义为对应消费次数下，两种消费卡的总费用相同。
(3) 总费用固定为240元即$y=240$，分别代入甲、乙的函数解析式，求出对应的消费次数$x$，可消费次数更多的消费卡更合算。
【解析】
(1) 设选择甲种消费卡消费时，$y$关于$x$的函数解析式为$y=kx$，
∵点$(5,100)$在该函数图象上，
∴$100=5k$，解得$k=20$。
即选择甲种消费卡消费时，$y$关于$x$的函数解析式为$y=20x$。
设选择乙种消费卡消费时，$y$关于$x$的函数解析式为$y=ax+b$，
∵点$(0,100)$，$(20,300)$在该函数图象上，
∴$\begin{cases}b=100\\20a+b=300\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=10\\b=100\end{cases}$。
即选择乙种消费卡消费时，$y$关于$x$的函数解析式为$y=10x+100$。
(2) 令$20x=10x+100$，解得$x=10$，
当$x=10$时，$20x=20×10=200$，
∴点$B$的坐标为$(10,200)$。
点$B$的实际意义是：当去游乐场消费的次数为10次时，选择甲或乙消费卡消费的费用相同，均为200元。
(3) 当$y=240$时，
选择甲消费卡：$240=20x$，解得$x=12$；
选择乙消费卡：$10x+100=240$，解得$x=14$。
∵$14＞12$，
∴洋洋爸爸准备拿240元钱用于消费时，选择乙种消费卡较合算。
【答案】
(1) 甲：$y=20x$；乙：$y=10x+100$
(2) $B(10,200)$，实际意义：当消费次数为10次时，两种消费卡费用相同，均为200元
(3) 选择乙种消费卡较合算
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数的应用，一次函数交点问题
【点评】
本题结合日常消费场景考查一次函数的实际应用，解题核心是熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法，能够通过联立解析式求交点，结合实际需求对比不同方案的优劣，体现了数学知识在生活中的实用价值。
【难度系数】
0.7
