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【典例1】已知角$θ$的终边上有一点$P(x,3)(x≠0)$，且$\cosθ=\frac{\sqrt{10}}{10}x$，求$\sinθ+\tanθ$的值.
解题指导 由三角函数的定义可得$x$的值，分别讨论$θ$为第一象限角和第二象限角的两种情况求解即可.
答案 解:由题意,得$\frac{\sqrt{10}}{10}x=\frac{x}{\sqrt{x^2+9}},x≠0$,
所以$x=\pm1$,所以$θ$是第一或第二象限角.(不讨论角$θ$所在象限,出现漏解致错)
当$θ$为第一象限角时,$\sinθ=\frac{3}{\sqrt{1^2+3^2}}=\frac{3\sqrt{10}}{10},\tanθ=3$,则$\sinθ+\tanθ=\frac{3\sqrt{10}+30}{10}$;
当$θ$为第二象限角时,$\sinθ=\frac{3}{\sqrt{(-1)^2+3^2}}=\frac{3\sqrt{10}}{10},\tanθ=-3$,则$\sinθ+\tanθ=\frac{3\sqrt{10}-30}{10}$.
解题指导 由三角函数的定义可得$x$的值，分别讨论$θ$为第一象限角和第二象限角的两种情况求解即可.
答案 解:由题意,得$\frac{\sqrt{10}}{10}x=\frac{x}{\sqrt{x^2+9}},x≠0$,
所以$x=\pm1$,所以$θ$是第一或第二象限角.(不讨论角$θ$所在象限,出现漏解致错)
当$θ$为第一象限角时,$\sinθ=\frac{3}{\sqrt{1^2+3^2}}=\frac{3\sqrt{10}}{10},\tanθ=3$,则$\sinθ+\tanθ=\frac{3\sqrt{10}+30}{10}$;
当$θ$为第二象限角时,$\sinθ=\frac{3}{\sqrt{(-1)^2+3^2}}=\frac{3\sqrt{10}}{10},\tanθ=-3$,则$\sinθ+\tanθ=\frac{3\sqrt{10}-30}{10}$.
答案
解：由三角函数的定义，点$P(x,3)$到原点的距离$r=\sqrt{x^2+9}$，
因此$\cosθ=\frac{x}{r}=\frac{x}{\sqrt{x^2+9}}$。
结合题设$\cosθ=\frac{\sqrt{10}}{10}x$，可得：
$\frac{\sqrt{10}}{10}x=\frac{x}{\sqrt{x^2+9}},\quad x≠0$
两边同除以非零实数$x$，整理得$\frac{1}{10}=\frac{1}{x^2+9}$，解得$x^2=1$，即$x=\pm1$，
因此$θ$是第一象限角或第二象限角。
当$θ$为第一象限角，即$x=1$时：
$r=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，
$\sinθ=\frac{3}{r}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
$\tanθ=\frac{3}{1}=3$，
则$\sinθ+\tanθ=\frac{3\sqrt{10}}{10}+3=\frac{3\sqrt{10}+30}{10}$。
当$θ$为第二象限角，即$x=-1$时：
$r=\sqrt{(-1)^2+3^2}=\sqrt{10}$，
$\sinθ=\frac{3}{r}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
$\tanθ=\frac{3}{-1}=-3$，
则$\sinθ+\tanθ=\frac{3\sqrt{10}}{10}-3=\frac{3\sqrt{10}-30}{10}$。
综上，$\sinθ+\tanθ$的值为$\frac{3\sqrt{10}+30}{10}$或$\frac{3\sqrt{10}-30}{10}$。
因此$\cosθ=\frac{x}{r}=\frac{x}{\sqrt{x^2+9}}$。
结合题设$\cosθ=\frac{\sqrt{10}}{10}x$，可得：
$\frac{\sqrt{10}}{10}x=\frac{x}{\sqrt{x^2+9}},\quad x≠0$
两边同除以非零实数$x$，整理得$\frac{1}{10}=\frac{1}{x^2+9}$，解得$x^2=1$，即$x=\pm1$，
因此$θ$是第一象限角或第二象限角。
当$θ$为第一象限角，即$x=1$时：
$r=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，
$\sinθ=\frac{3}{r}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
$\tanθ=\frac{3}{1}=3$，
则$\sinθ+\tanθ=\frac{3\sqrt{10}}{10}+3=\frac{3\sqrt{10}+30}{10}$。
当$θ$为第二象限角，即$x=-1$时：
$r=\sqrt{(-1)^2+3^2}=\sqrt{10}$，
$\sinθ=\frac{3}{r}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
$\tanθ=\frac{3}{-1}=-3$，
则$\sinθ+\tanθ=\frac{3\sqrt{10}}{10}-3=\frac{3\sqrt{10}-30}{10}$。
综上，$\sinθ+\tanθ$的值为$\frac{3\sqrt{10}+30}{10}$或$\frac{3\sqrt{10}-30}{10}$。
【变式1】已知角α的终边经过点P(-12a，5a)(a≠0)，则2sinα+cosα的值为
$-\dfrac{2}{13}$或$\dfrac{2}{13}$
。答案
因为$x=-12a,y=5a,a≠0$,所以$r=13|a|$。(直接得出$r=13a$,忽略对$a$的讨论致错)
①当$a＞0$时,$r=13a$,则$\sin α =\dfrac{5}{13},\cos α =-\dfrac{12}{13}$,则$2\sin α +\cos α =2× \dfrac{5}{13}+(-\dfrac{12}{13})=-\dfrac{2}{13}$;
②当$a＜0$时,$r=-13a$,则$\sin α =-\dfrac{5}{13},\cos α =\dfrac{12}{13}$,则$2\sin α +\cos α =2× (-\dfrac{5}{13})+\dfrac{12}{13}=\dfrac{2}{13}$。
综上,$2\sin α +\cos α$的值为$-\dfrac{2}{13}$或$\dfrac{2}{13}$。
①当$a＞0$时,$r=13a$,则$\sin α =\dfrac{5}{13},\cos α =-\dfrac{12}{13}$,则$2\sin α +\cos α =2× \dfrac{5}{13}+(-\dfrac{12}{13})=-\dfrac{2}{13}$;
②当$a＜0$时,$r=-13a$,则$\sin α =-\dfrac{5}{13},\cos α =\dfrac{12}{13}$,则$2\sin α +\cos α =2× (-\dfrac{5}{13})+\dfrac{12}{13}=\dfrac{2}{13}$。
综上,$2\sin α +\cos α$的值为$-\dfrac{2}{13}$或$\dfrac{2}{13}$。
【典例2】计算下列各式的值：
(1)$\tan 405° - \sin 450° + \cos 750°$；
(2)$\sin \frac{25π}{3} + \tan(-\frac{15π}{4})$。
解题指导 先利用诱导公式化简，再根据特殊角的三角函数值计算即可。
答案 解:(1)$\tan 405° - \sin 450° + \cos 750° = \tan(360° + 45°) - \sin(360° + 90°) + \cos(2 × 360° + 30°) = \tan 45° - \sin 90° + \cos 30° = 1 - 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$。
(2)$\sin \frac{25π}{3} + \tan(-\frac{15π}{4}) = \sin(\frac{π}{3} + 4 × 2π) + \tan(\frac{π}{4} - 2 × 2π) = \sin \frac{π}{3} + \tan \frac{π}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2} + 1$。
(1)$\tan 405° - \sin 450° + \cos 750°$；
(2)$\sin \frac{25π}{3} + \tan(-\frac{15π}{4})$。
解题指导 先利用诱导公式化简，再根据特殊角的三角函数值计算即可。
答案 解:(1)$\tan 405° - \sin 450° + \cos 750° = \tan(360° + 45°) - \sin(360° + 90°) + \cos(2 × 360° + 30°) = \tan 45° - \sin 90° + \cos 30° = 1 - 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$。
(2)$\sin \frac{25π}{3} + \tan(-\frac{15π}{4}) = \sin(\frac{π}{3} + 4 × 2π) + \tan(\frac{π}{4} - 2 × 2π) = \sin \frac{π}{3} + \tan \frac{π}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2} + 1$。
答案
解：
(1) 利用诱导公式一化简：
$\tan405° = \tan(360° + 45°) = \tan45° = 1$
$\sin450° = \sin(360° + 90°) = \sin90° = 1$
$\cos750° = \cos(2×360° + 30°) = \cos30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$
代入原式得：
$\tan405° - \sin450° + \cos750° = 1 - 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
(2) 利用诱导公式一化简：
$\sin\frac{25π}{3} = \sin(\frac{π}{3} + 4×2π) = \sin\frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\tan(-\frac{15π}{4}) = \tan(\frac{π}{4} - 2×2π) = \tan\frac{π}{4} = 1$
代入原式得：
$\sin\frac{25π}{3} + \tan(-\frac{15π}{4}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + 1$
(1) 利用诱导公式一化简：
$\tan405° = \tan(360° + 45°) = \tan45° = 1$
$\sin450° = \sin(360° + 90°) = \sin90° = 1$
$\cos750° = \cos(2×360° + 30°) = \cos30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$
代入原式得：
$\tan405° - \sin450° + \cos750° = 1 - 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
(2) 利用诱导公式一化简：
$\sin\frac{25π}{3} = \sin(\frac{π}{3} + 4×2π) = \sin\frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\tan(-\frac{15π}{4}) = \tan(\frac{π}{4} - 2×2π) = \tan\frac{π}{4} = 1$
代入原式得：
$\sin\frac{25π}{3} + \tan(-\frac{15π}{4}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + 1$
【变式2】计算：$\sin 810° + \tan 765° + \tan 1125° - \cos 360°$
答案
解:$\sin 810° +\tan 765° +\tan 1\ 125° -\cos 360°=\sin(2× 360° +90°)+\tan(2× 360° +45°)+\tan(3× 360° +45°)-\cos(360° +0°)=\sin 90° +\tan 45° +\tan 45° -\cos 0°=1+1+1-1=2$。
【典例3】（1）已知$\frac{\cosα + 2\sinα}{\cosα - \sinα} = -1$，则$\sin^2α - 3\cos^2α =$（）
A.$\frac{1}{5}$
B.$-\frac{1}{5}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$-\frac{3}{5}$
A.$\frac{1}{5}$
B.$-\frac{1}{5}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$-\frac{3}{5}$
答案
A
解析
1. 由已知等式$\frac{\cosα + 2\sinα}{\cosα - \sinα} = -1$，两边同乘$\cosα - \sinα$得：
$\cosα + 2\sinα = -\cosα + \sinα$，整理得$\sinα = -2\cosα$，即$\tanα = -2$。
2. 利用同角三角函数基本关系$\sin^2α + \cos^2α = 1$，将目标式变形：
$\sin^2α - 3\cos^2α = \frac{\sin^2α - 3\cos^2α}{\sin^2α + \cos^2α}$，分子分母同除以$\cos^2α$得：
原式$=\frac{\tan^2α - 3}{\tan^2α + 1}$，代入$\tanα=-2$，计算得$\frac{(-2)^2 - 3}{(-2)^2 + 1} = \frac{1}{5}$。
$\cosα + 2\sinα = -\cosα + \sinα$，整理得$\sinα = -2\cosα$，即$\tanα = -2$。
2. 利用同角三角函数基本关系$\sin^2α + \cos^2α = 1$，将目标式变形：
$\sin^2α - 3\cos^2α = \frac{\sin^2α - 3\cos^2α}{\sin^2α + \cos^2α}$，分子分母同除以$\cos^2α$得：
原式$=\frac{\tan^2α - 3}{\tan^2α + 1}$，代入$\tanα=-2$，计算得$\frac{(-2)^2 - 3}{(-2)^2 + 1} = \frac{1}{5}$。
(2)若 $\tan θ = -5$，则 $\dfrac{1 + 3\sin θ \cos θ}{\sin^2 θ - \cos^2 θ} =$ 。
解题指导 (1)利用同角三角函数的基本关系，由$\dfrac{\cos α + 2\sin α}{\cos α - \sin α} = -1$求出$\tan α$，将$\sin^2 α - 3\cos^2 α$转化为$\dfrac{\sin^2 α - 3\cos^2 α}{\sin^2 α + \cos^2 α}$，再将弦化为切，然后代入求解。
(2)将“1”化为“$\sin^2 θ + \cos^2 θ$”，然后分子、分母同除以$\cos^2 θ$，代入求解。
解析 (1)由$\dfrac{\cos α + 2\sin α}{\cos α - \sin α} = \dfrac{1 + 2\tan α}{1 - \tan α} = -1$，解得$\tan α = -2$，所以$\sin^2 α - 3\cos^2 α = \dfrac{\sin^2 α - 3\cos^2 α}{\sin^2 α + \cos^2 α} = \dfrac{\tan^2 α - 3}{\tan^2 α + 1} = \dfrac{4 - 3}{4 + 1} = \dfrac{1}{5}$（把分母看作1，并将1化为$\sin^2 α + \cos^2 α$，转化为齐次式，再同除以$\cos^2 α$求解）。
(2)$\dfrac{1 + 3\sin θ \cos θ}{\sin^2 θ - \cos^2 θ} = \dfrac{\sin^2 θ + \cos^2 θ + 3\sin θ \cos θ}{\sin^2 θ - \cos^2 θ} = \dfrac{\tan^2 θ + 1 + 3\tan θ}{\tan^2 θ - 1} = \dfrac{25 + 1 - 15}{25 - 1} = \dfrac{11}{24}$。
答案 (1)A (2)$\dfrac{11}{24}$
解题指导 (1)利用同角三角函数的基本关系，由$\dfrac{\cos α + 2\sin α}{\cos α - \sin α} = -1$求出$\tan α$，将$\sin^2 α - 3\cos^2 α$转化为$\dfrac{\sin^2 α - 3\cos^2 α}{\sin^2 α + \cos^2 α}$，再将弦化为切，然后代入求解。
(2)将“1”化为“$\sin^2 θ + \cos^2 θ$”，然后分子、分母同除以$\cos^2 θ$，代入求解。
解析 (1)由$\dfrac{\cos α + 2\sin α}{\cos α - \sin α} = \dfrac{1 + 2\tan α}{1 - \tan α} = -1$，解得$\tan α = -2$，所以$\sin^2 α - 3\cos^2 α = \dfrac{\sin^2 α - 3\cos^2 α}{\sin^2 α + \cos^2 α} = \dfrac{\tan^2 α - 3}{\tan^2 α + 1} = \dfrac{4 - 3}{4 + 1} = \dfrac{1}{5}$（把分母看作1，并将1化为$\sin^2 α + \cos^2 α$，转化为齐次式，再同除以$\cos^2 α$求解）。
(2)$\dfrac{1 + 3\sin θ \cos θ}{\sin^2 θ - \cos^2 θ} = \dfrac{\sin^2 θ + \cos^2 θ + 3\sin θ \cos θ}{\sin^2 θ - \cos^2 θ} = \dfrac{\tan^2 θ + 1 + 3\tan θ}{\tan^2 θ - 1} = \dfrac{25 + 1 - 15}{25 - 1} = \dfrac{11}{24}$。
答案 (1)A (2)$\dfrac{11}{24}$
答案
$\boldsymbol{\frac{11}{24}}$
解析
解：
由同角三角函数的基本关系$1=\sin^2θ+\cos^2θ$，代入原式得：
$\frac{1 + 3\sinθ\cosθ}{\sin^2θ - \cos^2θ} = \frac{\sin^2θ + \cos^2θ + 3\sinθ\cosθ}{\sin^2θ - \cos^2θ}$
已知$\tanθ = \frac{\sinθ}{\cosθ}=-5$，可得$\cosθ≠0$，将分子、分母同时除以$\cos^2θ$，得：
$\mathrm{原式} = \frac{\tan^2θ + 1 + 3\tanθ}{\tan^2θ - 1}$
将$\tanθ=-5$代入上式：
$\mathrm{原式} = \frac{(-5)^2 + 1 + 3×(-5)}{(-5)^2 - 1} = \frac{25+1-15}{25-1} = \frac{11}{24}$
最终
由同角三角函数的基本关系$1=\sin^2θ+\cos^2θ$，代入原式得：
$\frac{1 + 3\sinθ\cosθ}{\sin^2θ - \cos^2θ} = \frac{\sin^2θ + \cos^2θ + 3\sinθ\cosθ}{\sin^2θ - \cos^2θ}$
已知$\tanθ = \frac{\sinθ}{\cosθ}=-5$，可得$\cosθ≠0$，将分子、分母同时除以$\cos^2θ$，得：
$\mathrm{原式} = \frac{\tan^2θ + 1 + 3\tanθ}{\tan^2θ - 1}$
将$\tanθ=-5$代入上式：
$\mathrm{原式} = \frac{(-5)^2 + 1 + 3×(-5)}{(-5)^2 - 1} = \frac{25+1-15}{25-1} = \frac{11}{24}$
最终
