【学以致用2】(1)sin 2cos 3tan 4 的值 （）

A.小于0
B.大于0
C.等于0
D.不存在

因为$\dfrac{π}{2}＜2＜3＜π＜4＜\dfrac{3π}{2}$[图1],所以$\sin 2＞0,\cos 3＜0,\tan 4＞0$,所以$\sin 2\cos 3\tan 4＜0$。

(2)已知角α为第四象限角，则点$P(\tan α, \sin α)$在（）

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

因为角$α$为第四象限角,所以$\tan α＜0,\sin α＜0$,故点$P(\tan α,\sin α)$在第三象限。

【学以致用3】(1)$\sin(-1\ 395°)\cos30°=(\quad)$

A.$\frac{\sqrt{6}}{4}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{4}$
C.$-\frac{\sqrt{6}}{4}$
D.$-\frac{\sqrt{3}}{4}$

由诱导公式一,得$\sin(-1\ 395°)\cos 30°=\sin(-1\ 395° +4× 360°)\cos 30°=\sin 45°\cos 30°=\dfrac{\sqrt{2}}{2}×\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{6}}{4}$。

(2)$\sin(-\dfrac{23π}{6})=$

由诱导公式一,得$\sin (-\dfrac{23π}{6})=\sin (-\dfrac{23π}{6}+4π)=\sin \dfrac{π}{6}=\dfrac{1}{2}$。

▶名师点拨
(1)“同角”有两层含义，一是“角相同”；二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)，关系式都成立，即与角的表达形式无关.如$\sin^23α+\cos^23α=1$成立，但是$\sin^2α+\cos^2β=1$就不一定成立.
(2)$\sin^2α$是$(\sinα)^2$的简写，读作“$\sinα$的平方”，不能将$\sin^2α$写成$\sinα^2$，前者是$α$的正弦的平方，后者是$α^2$的正弦，两者是不同的，需要弄清它们的区别，并能正确书写.
(3)注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的，$\sin^2α+\cos^2α=1$对一切$α\in\mathbb{R}$恒成立，而$\tanα=\frac{\sinα}{\cosα}$仅对$α≠\frac{π}{2}+kπ,k\in\mathbb{Z}$成立.
▶知识拓展
同角三角函数的基本关系的常见变形
(1)平方关系变形：$\sin^2α+\cos^2α=1⇒$
$\begin{cases}\sin^2α=1-\cos^2α \\\cos^2α=1-\sin^2α \\\sinα=\pm\sqrt{1-\cos^2α} \\\cosα=\pm\sqrt{1-\sin^2α} \\(\sinα+\cosα)^2=1+2\sinα\cosα\end{cases}$
(2)商数关系变形：$\tanα=\frac{\sinα}{\cosα}⇒$
$\begin{cases}\sinα=\tanα\cosα \\\cosα=\frac{\sinα}{\tanα}\end{cases}$
注意：使用变形公式$\sinα=\pm\sqrt{1-\cos^2α}$，$\cosα=\pm\sqrt{1-\sin^2α}$时，“±”由$α$的终边所在的象限来确定，而对于其他形式的变形公式则不必考虑符号问题.
【学以致用4】已知$\sinα=\frac{3}{4}$，$α$是第二象限角，则$\tanα=$.

由$\sin α =\dfrac{3}{4}$,$α$是第二象限角,得$\cos α = -\sqrt{1-\sin^2α}=-\dfrac{\sqrt{7}}{4}$,所以$\tan α =\dfrac{\sin α}{\cos α}=-\dfrac{3}{\sqrt{7}}=-\dfrac{3\sqrt{7}}{7}$。