【变式3】已知$\frac{\sinα}{\sinα - \cosα}=2$，求：
(1)$\tanα$的值；
(2)$\sin^2α + 3\sinα\cosα$的值。

解:(1)由$\dfrac{\sin α}{\sin α - \cos α}=2$,化简,得$\sin α =2\cos α$,所以$\tan α =2$。
(2)由(1)知$\tan α =2$,所以$\sin^2α +3\sin α \cos α =\dfrac{\sin^2α +3\sin α \cos α}{\sin^2α +\cos^2α}=\dfrac{\tan^2α +3\tan α}{\tan^2α +1}=\dfrac{4+6}{4+1}=2$。

【典例4】(1)(多选)已知$θ \in (0,π), \sinθ + \cosθ = \dfrac{1}{5}$,则下列结论正确的是 ()

A.$θ \in (\dfrac{π}{2},π)$
B.$\sinθ - \cosθ = \dfrac{7}{5}$
C.$\cosθ = -\dfrac{3}{5}$
D.$\tanθ = -\dfrac{3}{4}$

ABC

1. 对已知条件$\sinθ + \cosθ = \frac{1}{5}$两边平方，得$(\sinθ + \cosθ)^2 = \frac{1}{25}$，由同角三角函数平方关系$\sin^2θ+\cos^2θ=1$，化简得$1 + 2\sinθ\cosθ = \frac{1}{25}$，即$2\sinθ\cosθ = -\frac{24}{25}＜0$。
2. 因为$θ\in(0,π)$，$\sinθ＞0$，结合$2\sinθ\cosθ＜0$可得$\cosθ＜0$，因此$θ\in(\frac{π}{2},π)$，A正确。
3. 计算$(\sinθ - \cosθ)^2 = 1 - 2\sinθ\cosθ = 1 + \frac{24}{25} = \frac{49}{25}$，由$θ\in(\frac{π}{2},π)$知$\sinθ - \cosθ＞0$，开方得$\sinθ - \cosθ = \frac{7}{5}$，B正确。
4. 联立方程组$\begin{cases}\sinθ + \cosθ = \frac{1}{5}\\\sinθ - \cosθ = \frac{7}{5}\end{cases}$，两式相加得$2\sinθ=\frac{8}{5}$即$\sinθ=\frac{4}{5}$，两式相减得$2\cosθ=-\frac{6}{5}$即$\cosθ=-\frac{3}{5}$，C正确。
5. 计算$\tanθ=\frac{\sinθ}{\cosθ}=\frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}}=-\frac{4}{3}≠-\frac{3}{4}$，D错误。

(2)已知$\cosα+\sinα=\frac{\sqrt{7}}{4},α\in(\frac{π}{2},\frac{3π}{2})$，则$\frac{\sinα}{1-\tanα}$的值为________。
解题指导(1)由平方关系求得$\sinθ\cosθ$，从而确定$\cosθ＜0$并推出$θ$的范围，再由平方关系求得$\sinθ-\cosθ$，用方程组思想求得$\sinθ,\cosθ$，最后由商数关系求得$\tanθ$。
(2)将已知条件两边平方，求得$\sinα\cosα$的值，从而判断$\sinα$和$\cosα$的符号，再由$(\cosα+\sinα)^2+(\cosα-\sinα)^2=2$，求得$\cosα-\sinα$的值，再等价变形$\frac{\sinα}{1-\tanα}=\frac{\sinα\cosα}{\cosα-\sinα}$，代入即可。
解析(1)由$\sinθ+\cosθ=\frac{1}{5}$，得$(\sinθ+\cosθ)^2=\sin^2θ+2\sinθ\cosθ+\cos^2θ=1+2\sinθ\cosθ=\frac{1}{25}$，所以$\sinθ\cosθ=-\frac{12}{25}$。
又$θ\in(0,π)$，所以$\sinθ＞0,\cosθ＜0$，所以$θ\in(\frac{π}{2},π)$，A正确。
因为$\sinθ＞0,\cosθ＜0$，所以$\sinθ-\cosθ＞0$，所以$\sinθ-\cosθ=\sqrt{(\sinθ-\cosθ)^2}=\sqrt{1-2\sinθ\cosθ}=\sqrt{1-2×(-\frac{12}{25})}=\frac{7}{5}$，B正确。
由$\cosθ+\sinθ=\frac{1}{5},\sinθ-\cosθ=\frac{7}{5}$可得，$\sinθ=\frac{4}{5},\cosθ=-\frac{3}{5}$，C正确。
$\tanθ=\frac{\sinθ}{\cosθ}=-\frac{4}{3}$，D不正确。
(2)由$\sinα+\cosα=\frac{\sqrt{7}}{4}$，得$(\sinα+\cosα)^2=\sin^2α+2\sinα\cosα+\cos^2α=\frac{7}{16}$，即$\sinα\cosα=-\frac{9}{32}＜0$。
又$α\in(\frac{π}{2},\frac{3π}{2})$，所以$\sinα＞0,\cosα＜0$，所以$\cosα-\sinα＜0$。(根据$\sinα\cosα=-\frac{9}{32}＜0$，判断$\cosα-\sinα$的符号，防止产生增根)
由$(\cosα+\sinα)^2+(\cosα-\sinα)^2=2$，解得$\cosα-\sinα=-\frac{5}{4}$，
所以$\frac{\sinα}{1-\tanα}=\frac{\sinα}{1-\frac{\sinα}{\cosα}}=\frac{\sinα\cosα}{\cosα-\sinα}=\frac{-\frac{9}{32}}{-\frac{5}{4}}=\frac{9}{40}$。
答案(1)ABC (2)$\frac{9}{40}$

$\boldsymbol{\frac{9}{40}}$

解：
由$\sinα + \cosα = \frac{\sqrt{7}}{4}$，两边平方得：
$(\sinα + \cosα)^2 = \sin^2α + 2\sinα\cosα + \cos^2α = \frac{7}{16}$
由同角三角函数平方关系$\sin^2α + \cos^2α = 1$，代入得$1 + 2\sinα\cosα = \frac{7}{16}$，解得$\sinα\cosα = -\frac{9}{32} ＜ 0$。
又$α \in (\frac{π}{2}, \frac{3π}{2})$，结合$\sinα\cosα ＜ 0$，可知$\sinα ＞ 0$，$\cosα ＜ 0$，因此$\cosα - \sinα ＜ 0$。
由恒等式$(\cosα + \sinα)^2 + (\cosα - \sinα)^2 = 2$，代入已知得：
$\frac{7}{16} + (\cosα - \sinα)^2 = 2$
解得$(\cosα - \sinα)^2 = \frac{25}{16}$，结合$\cosα - \sinα ＜ 0$，得$\cosα - \sinα = -\frac{5}{4}$。
对目标式变形：
$\frac{\sinα}{1 - \tanα} = \frac{\sinα}{1 - \frac{\sinα}{\cosα}} = \frac{\sinα · \cosα}{\cosα - \sinα}$
代入$\sinα\cosα = -\frac{9}{32}$，$\cosα - \sinα = -\frac{5}{4}$，得：
$\frac{\sinα}{1 - \tanα} = \frac{-\frac{9}{32}}{-\frac{5}{4}} = \frac{9}{40}$
最终