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【变式4】(1)已知$\sin x \cos x = \frac{3}{8}$，且$\frac{π}{4} ＜ x ＜ \frac{π}{2}$，则$\cos x - \sin x$的值为（
A.$\frac{1}{2}$
B.$-\frac{1}{2}$
C.$\frac{\sqrt{7}}{2}$
D.$-\frac{\sqrt{7}}{2}$
B
）A.$\frac{1}{2}$
B.$-\frac{1}{2}$
C.$\frac{\sqrt{7}}{2}$
D.$-\frac{\sqrt{7}}{2}$
答案
因为$\dfrac{π}{4}＜x＜\dfrac{π}{2}$[图2],所以$\cos x ＜ \sin x$,所以$\cos x - \sin x ＜0$。
又$(\cos x - \sin x)^2=\cos^2x -2\cos x \sin x +\sin^2x=1-2× \dfrac{3}{8}=\dfrac{1}{4}$,所以$\cos x - \sin x =-\dfrac{1}{2}$。
又$(\cos x - \sin x)^2=\cos^2x -2\cos x \sin x +\sin^2x=1-2× \dfrac{3}{8}=\dfrac{1}{4}$,所以$\cos x - \sin x =-\dfrac{1}{2}$。
(2)若$\sin x - \cos x = \frac{1}{4}$，则$\sin x \cos x =$
$\dfrac{15}{32}$
答案
由$\sin x - \cos x =\dfrac{1}{4}$,得$(\sin x - \cos x)^2=\sin^2x -2\sin x \cos x +\cos^2x=1-2\sin x \cos x =\dfrac{1}{16}$,解得$\sin x \cos x =\dfrac{15}{32}$。
1. $\sin 405° =$（
A.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$-\frac{1}{2}$
D.$-\frac{\sqrt{2}}{2}$
A
）A.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$-\frac{1}{2}$
D.$-\frac{\sqrt{2}}{2}$
答案
$\sin 405°=\sin(360°+45°)=\sin 45°=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$。
2.(多选)下列各三角函数值符号为负的是(
A.$\sin 10°$
B.$\cos(-220°)$
C.$\sin π$
D.$\cos π$
BD
)A.$\sin 10°$
B.$\cos(-220°)$
C.$\sin π$
D.$\cos π$
答案
$10°$是第一象限角,则$\sin 10°＞0$,A不符合题意;$-220°$是第二象限角,则$\cos(-220°)＜0$,B符合题意;$\sin π=0$,C不符合题意;$\cos π=-1$,D符合题意。
3.若$\tanα=-2$，则$\frac{2\sinα\cosα}{2\cos^2α - \sin^2α}$的值为（
A.$-2$
B.$-\frac{2}{3}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$2$
D
）A.$-2$
B.$-\frac{2}{3}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$2$
答案
$\dfrac{2\sin α \cos α}{2\cos^2α - \sin^2α}=\dfrac{2\tan α}{2-\tan^2α}=\dfrac{2×(-2)}{2-(-2)^2}=2$。
4.角α的终边过点$(2,-1)$，则$\frac{\sinα + \cosα}{3\sinα - \cosα} = ( )$
A.$-\frac{1}{5}$
B.$-\frac{1}{2}$
C.$-\frac{\sqrt{5}}{5}$
D.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
A.$-\frac{1}{5}$
B.$-\frac{1}{2}$
C.$-\frac{\sqrt{5}}{5}$
D.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
答案
因为角$α$的终边过点$(2,-1)$,所以$\sin α =\dfrac{-1}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=-\dfrac{1}{\sqrt{5}}=-\dfrac{\sqrt{5}}{5}$,$\cos α =\dfrac{2}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$,所以$\dfrac{\sin α +\cos α}{3\sin α -\cos α}=\dfrac{-\dfrac{\sqrt{5}}{5}+\dfrac{2\sqrt{5}}{5}}{3×(-\dfrac{\sqrt{5}}{5})-\dfrac{2\sqrt{5}}{5}}=\dfrac{\dfrac{\sqrt{5}}{5}}{-\dfrac{5\sqrt{5}}{5}}=-\dfrac{1}{5}$。
5.(多选)已知角$θ$的终边过点$(-3a,4a)(a≠0)$，则（
A.角$θ$为第二象限角
B.$\tanθ=-\dfrac{4}{3}$
C.$\sinθ+\cosθ=\dfrac{1}{5}$
D.$\sinθ\cosθ$的值与$a$的正负无关
BD
）A.角$θ$为第二象限角
B.$\tanθ=-\dfrac{4}{3}$
C.$\sinθ+\cosθ=\dfrac{1}{5}$
D.$\sinθ\cosθ$的值与$a$的正负无关
答案
当$a＜0$时,$-3a＞0,4a＜0$,此时角$θ$位于第四象限,故A错误。
$\tan θ =\dfrac{4a}{-3a}=-\dfrac{4}{3}$,故B正确。
$\sin θ =\dfrac{4a}{\sqrt{(-3a)^2+(4a)^2}}=\dfrac{4a}{5|a|}$,$\cos θ =\dfrac{-3a}{\sqrt{(-3a)^2+(4a)^2}}=\dfrac{-3a}{5|a|}$。
若$a＞0$,则$\sin θ =\dfrac{4}{5},\cos θ =-\dfrac{3}{5},\sin θ +\cos θ =\dfrac{1}{5}$;
若$a＜0$,则$\sin θ =-\dfrac{4}{5},\cos θ =\dfrac{3}{5},\sin θ +\cos θ =-\dfrac{1}{5}$。故C错误。
$\sin θ \cos θ =\dfrac{-12a^2}{25|a|^2}=-\dfrac{12}{25}$,故D正确。
$\tan θ =\dfrac{4a}{-3a}=-\dfrac{4}{3}$,故B正确。
$\sin θ =\dfrac{4a}{\sqrt{(-3a)^2+(4a)^2}}=\dfrac{4a}{5|a|}$,$\cos θ =\dfrac{-3a}{\sqrt{(-3a)^2+(4a)^2}}=\dfrac{-3a}{5|a|}$。
若$a＞0$,则$\sin θ =\dfrac{4}{5},\cos θ =-\dfrac{3}{5},\sin θ +\cos θ =\dfrac{1}{5}$;
若$a＜0$,则$\sin θ =-\dfrac{4}{5},\cos θ =\dfrac{3}{5},\sin θ +\cos θ =-\dfrac{1}{5}$。故C错误。
$\sin θ \cos θ =\dfrac{-12a^2}{25|a|^2}=-\dfrac{12}{25}$,故D正确。
