6.如果角θ满足$\sinθ+\cosθ=\sqrt{2}$，那么$\tanθ+\frac{1}{\tanθ}$的值是（）

A.－1
B.－2
C.1
D.2

因为$\sin θ +\cos θ =\sqrt{2}$,所以$(\sin θ +\cos θ)^2=1+2\sin θ \cos θ=2$,即$\sin θ \cos θ =\dfrac{1}{2}$,所以$\tan θ +\dfrac{1}{\tan θ}=\dfrac{\sin θ}{\cos θ}+\dfrac{\cos θ}{\sin θ}=\dfrac{\sin^2θ +\cos^2θ}{\sin θ \cos θ}=\dfrac{1}{\sin θ \cos θ}=2$。

7.已知角α在第二象限，则$\sinα\cosα\tanα$0.(填“＞”“＜”或“=”)

因为角$α$在第二象限,所以$\sin α＞0,\cos α＜0,\tan α＜0$,所以$\sin α \cos α \tan α＞0$。

8.已知$\frac{\sinα+\cosα}{\sinα-\cosα}=3$，则$\sin^2α - 3\sinα\cosα =$

由$\dfrac{\sin α +\cos α}{\sin α - \cos α}=3$,得$\dfrac{\tan α +1}{\tan α -1}=3$,解得$\tan α =2$,所以$\sin^2α -3\sin α \cos α =\dfrac{\tan^2α -3\tan α}{\tan^2α +1}=\dfrac{4-6}{4+1}=-\dfrac{2}{5}$。

9.已知$\tan α=2$.
(1)求$\dfrac{3\sin α +2\cos α}{\sin α - \cos α}$的值；
(2)若$α$是第三象限角，求$3\cos α - \sin α$的值.

解:(1)因为$\tan α =2$,所以$\dfrac{3\sin α +2\cos α}{\sin α - \cos α}=\dfrac{3\tan α +2}{\tan α -1}=\dfrac{3× 2+2}{2-1}=8$。
(2)因为$\tan α =2$,所以$\sin α =2\cos α$,所以$\sin^2α +\cos^2α=5\cos^2α=1$,即$\cos^2α =\dfrac{1}{5}$。
因为$α$是第三象限角,所以$\sin α＜0,\cos α＜0$,所以$\cos α =-\dfrac{\sqrt{5}}{5},\sin α =-\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$,所以$3\cos α - \sin α =-\dfrac{3\sqrt{5}}{5}-(-\dfrac{2\sqrt{5}}{5})=-\dfrac{\sqrt{5}}{5}$。

10.点$P(\sin 2026°,\cos 2026°)$位于 （）

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

因为$2\ 026°=5× 360° +226°$,且$226°$是第三象限角,所以$\sin 226°＜0,\cos 226°＜0$,即$\sin 2\ 026°＜0,\cos 2\ 026°＜0$,所以点$P(\sin 2\ 026°,\cos 2\ 026°)$位于第三象限。

11.角α的终边落在直线$y=2x$上，则$\sinα$的值为（）

A.$-\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
B.$\pm\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
C.$\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
D.$\pm\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$

当角$α$的终边在第一象限时,在角$α$的终边上取点$P(1,2)$,(在直线$y=2x$位于第一象限的部分上任意选取一点,根据三角函数的定义求解)所以$\sin α =\dfrac{2}{\sqrt{5}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$。
当角$α$的终边在第三象限时,在角$α$的终边上取点$Q(-1,-2)$,所以$\sin α =\dfrac{-2}{\sqrt{5}}=-\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$。
故$\sin α$的值为$\pm\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$。

12.(多选)已知$\sinα\cosα=\dfrac{12}{25}$，$0＜α＜\dfrac{π}{4}$，则（）

A.$\sinα+\cosα=\dfrac{7}{5}$
B.$\cosα-\sinα=\dfrac{1}{5}$
C.$\tanα=\dfrac{3}{4}$
D.$\sinα=\dfrac{4}{5}$

因为$0＜α＜\dfrac{π}{4}$,所以$\sin α＞0,\cos α＞0,\sin α＜\cos α$,所以$\cos α - \sin α＞0,\sin α +\cos α＞0$。
因为$(\sin α +\cos α)^2=\sin^2α +\cos^2α +2\sin α \cos α=1+\dfrac{24}{25}=\dfrac{49}{25}$,所以$\sin α +\cos α =\dfrac{7}{5}$,故A正确;
因为$(\cos α - \sin α)^2=\sin^2α +\cos^2α -2\sin α \cos α=1-\dfrac{24}{25}=\dfrac{1}{25}$,所以$\cos α - \sin α =\dfrac{1}{5}$,故B正确;
联立$\begin{cases}\sin α +\cos α =\dfrac{7}{5} \\ \cos α - \sin α =\dfrac{1}{5}\end{cases}$,得$\begin{cases}\sin α =\dfrac{3}{5} \\ \cos α =\dfrac{4}{5}\end{cases}$,所以$\tan α =\dfrac{\sin α}{\cos α}=\dfrac{3}{4}$,故C正确,D错误。

13.若$\frac{1}{\cosα} - \tanα = 2$，则$\frac{1}{\cosα} + \tanα =$。

因为$\dfrac{1}{\cos α} - \tan α =\dfrac{1}{\cos α}-\dfrac{\sin α}{\cos α}=\dfrac{1-\sin α}{\cos α}=2$,所以$1-\sin α=2\cos α$,即$\sin α=1-2\cos α$,所以$\sin^2α +\cos^2α=(1-2\cos α)^2+\cos^2α=1$,整理,得$5\cos^2α -4\cos α=0$,解得$\cos α =\dfrac{4}{5}$或$\cos α=0$(舍去)。(把正切化为弦,建立方程求$\cos α$是关键)
因为$\dfrac{1}{\cos α} - \tan α=2$,所以$\tan α =\dfrac{1}{\cos α}-2$,所以$\dfrac{1}{\cos α} + \tan α =\dfrac{1}{\cos α}+\dfrac{1}{\cos α}-2=\dfrac{2}{\cos α}-2=\dfrac{2}{\dfrac{4}{5}}-2=\dfrac{1}{2}$。

14.已知角$α$的顶点为原点且始边在$x$轴非负半轴上，终边上有一点$P(x,y)$且点$P$不与坐标原点$O$重合.
(1)若点$P$的坐标是$(m,\sqrt{3})$，且$\cosα=\frac{1}{2}$，求$m$的值.
(2)若角$α$满足$\sinα+\cosα=-\frac{1}{5}$，$α\in(0,π)$，求：
①$\sinα-\cosα$的值；
②$\frac{3\sinα\cosα}{\sin^2α - 2\cos^2α}$的值.
答案 P51

解:(1)因为$P(m,\sqrt{3})$,所以点$P$在第一或第二象限。又$\cos α =\dfrac{1}{2}＞0$,所以$α$在第一象限,$m＞0$。由三角函数的定义,知$\cos α =\dfrac{m}{\sqrt{m^2+3}}=\dfrac{1}{2}$,解得$m=1$。
(2)①因为$(\sin α +\cos α)^2=\sin^2α +\cos^2α +2\sin α \cos α=1+2\sin α \cos α=\dfrac{1}{25}$,所以$\sin α \cos α =-\dfrac{12}{25}＜0$。又因为$α \in(0,π)$,所以$\sin α＞0,\cos α＜0$,所以$\sin α - \cos α＞0$,所以$(\sin α - \cos α)^2=\sin^2α -2\sin α \cos α +\cos^2α=1-2\sin α \cos α=\dfrac{49}{25}$,所以$\sin α - \cos α =\dfrac{7}{5}$。
②联立$\begin{cases}\sin α +\cos α =-\dfrac{1}{5} \\ \sin α - \cos α =\dfrac{7}{5}\end{cases}$,解得$\begin{cases}\sin α =\dfrac{3}{5} \\ \cos α =-\dfrac{4}{5}\end{cases}$,所以$\dfrac{3\sin α \cos α}{\sin^2α -2\cos^2α}=\dfrac{3× \dfrac{3}{5}× (-\dfrac{4}{5})}{(\dfrac{3}{5})^2 -2× (-\dfrac{4}{5})^2}=\dfrac{-\dfrac{36}{25}}{\dfrac{9}{25}-\dfrac{32}{25}}=\dfrac{36}{23}$。