【学以致用1】函数$y=\sqrt{3}\sin(2π x - \frac{π}{4})$的振幅为，频率为，初相为。

$y=\sqrt{3} \sin(2π x-\frac{π}{4})$,振幅$A=\sqrt{3}$,周期$T=\frac{2π}{2π}=1$,则频率$f=\frac{1}{T}=\frac{1}{1}=1$,初相$\varphi=-\frac{π}{4}$。

【学以致用2】(多选)潮汐是海洋在日月引力作用下产生的周期性涨落现象.某港口一天的海水水位变化近似满足关系式$h(t)=2\sin(\frac{π}{6}t+\frac{π}{6})+5$，其中$h(t)$表示海水水位，$t$表示时间，则（）

A.函数$h(t)$的振幅为2
B.函数$h(t)$的最小正周期为12
C.函数$h(t)$的图象关于点$(4,5)$中心对称
D.当$t\in[1,6]$时，函数$h(t)$的值域为$[4,7]$

对于A,函数$h(t)=2\sin(\frac{π}{6}t+\frac{π}{6})+5$的振幅为2,故该选项正确。
对于B,函数$h(t)$的最小正周期$T=\frac{2π}{\frac{π}{6}}=12$,故该选项正确。
对于C,由$\frac{π}{6}t+\frac{π}{6}=kπ(k\in \mathbf{Z})$,得$t=6k-1(k\in \mathbf{Z})$,所以函数$h(t)$的图象的对称中心为$(6k-1,5)(k\in \mathbf{Z})$。令$6k-1=4(k\in \mathbf{Z})$,解得$k=\frac{5}{6}∉ \mathbf{Z}$,故C错误。
对于D,当$t \in [1,6]$时,$\frac{π}{6}t+\frac{π}{6} \in [\frac{π}{3},\frac{7π}{6}]$,此时$\sin(\frac{π}{6}t+\frac{π}{6}) \in [-\frac{1}{2},1]$,则函数$h(t)$的值域为$[4,7]$,故D正确。

【典例1】阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置.由物理学知识可知,某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动,其离开平衡位置的位移$y$(单位:$\mathrm{m}$)和时间$t$(单位:$\mathrm{s}$)的函数关系为$y=\sin(ω t+\varphi)(ω＞0,|\varphi|＜π)$,其部分图象如图所示.若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达位置$y_0(-1＜y_0＜1)$的时间分别为$t_1,t_2,t_3(0＜t_1＜t_2＜t_3)$,且$t_1+t_2=2$,$t_2+t_3=6$,则在一个周期内该阻尼器离开平衡位置的位移大于$\frac{1}{2}\ \mathrm{m}$的总时间为 （）


A.$\frac{1}{3}\ \mathrm{s}$
B.$\frac{2}{3}\ \mathrm{s}$
C.$1\ \mathrm{s}$
D.$\frac{4}{3}\ \mathrm{s}$
解题指导 先根据三次到达同一位置的时间,确定函数的周期,进而求得$ω$,再由题意列不等式求$t$的取值范围,最后计算总时间即可.
解析 由题意,得$\frac{1}{2}(t_1+t_2)=1,\frac{1}{2}(t_2+t_3)=3$,故函数$y=\sin(ω t+\varphi)(ω＞0,|\varphi|＜π)$的周期$T=2×(3-1)=4$,所以$ω=\frac{2π}{4}=\frac{π}{2}$,所以$y=\sin(\frac{π}{2}t+\varphi)$.(注意:$\frac{t_2+t_3}{2}-\frac{t_1+t_2}{2}=\frac{T}{2}$是解题关键)
令$\sin(\frac{π}{2}t+\varphi)＞\frac{1}{2}$,解得$4k+\frac{1}{3}-\frac{2}{π}\varphi＜t＜4k+\frac{5}{3}-\frac{2}{π}\varphi,k\in\mathbb{Z}$,故总时间为$4k+\frac{5}{3}-\frac{2}{π}\varphi-(4k+\frac{1}{3}-\frac{2}{π}\varphi)=\frac{4}{3}$,故在一个周期内该阻尼器离开平衡位置的位移大于$\frac{1}{2}\ \mathrm{m}$的总时间为$\frac{4}{3}\ \mathrm{s}$.
答案 D

D

由题意，得$\frac{1}{2}(t_1+t_2)=1$，$\frac{1}{2}(t_2+t_3)=3$，可得函数$y=\sin(ω t+\varphi)$的周期$T=2×(3-1)=4$，因此$ω=\frac{2π}{T}=\frac{π}{2}$，即$y=\sin(\frac{π}{2}t+\varphi)$。令$\sin(\frac{π}{2}t+\varphi)＞\frac{1}{2}$，解得$4k+\frac{1}{3}-\frac{2}{π}\varphi ＜ t ＜ 4k+\frac{5}{3}-\frac{2}{π}\varphi,k\in\mathbb{Z}$，同一周期内该区间的长度为$(4k+\frac{5}{3}-\frac{2}{π}\varphi)-(4k+\frac{1}{3}-\frac{2}{π}\varphi)=\frac{4}{3}$，即一个周期内该阻尼器离开平衡位置的位移大于$\frac{1}{2}\ \mathrm{m}$的总时间为$\frac{4}{3}\ \mathrm{s}$。