【变式1】(1)(多选)已知某电流强度$ I $(单位：A)随时间$ t $(单位：s)变化的函数$ I = A \sin(ω t + \varphi)(A＞0,ω＞0,|\varphi|＜\frac{π}{2}) $的部分图象如图所示，则（）

A.$ A=60 $
B.$ ω=\frac{50π}{3} $
C.$ \varphi=\frac{π}{6} $
D.在一个周期内，电流强度不超过30 A的时长为$ \frac{2}{25} $ s

由题图可知,$A=60$,故A正确。
由$\frac{T}{4}=\frac{1}{10}-\frac{7}{100}=\frac{3}{100}$,得$T=\frac{3}{25}$,所以$ω=\frac{2π}{T}=\frac{50π}{3}$,故B正确。
由$60\sin(\frac{50π}{3}× \frac{1}{10}+\varphi)=-60$,得$\frac{5π}{3}+\varphi=\frac{3π}{2}+2kπ(k\in \mathbf{Z})$,得$\varphi=-\frac{π}{6}+2kπ(k\in \mathbf{Z})$。
因为$|\varphi|＜\frac{π}{2}$,所以$\varphi=-\frac{π}{6}$,故C错误。
由$60\sin(\frac{50π}{3}t-\frac{π}{6})≤ 30$,得$\sin(\frac{50π}{3}t-\frac{π}{6})≤ \frac{1}{2}$,得$\frac{5π}{6}+2kπ≤ \frac{50π}{3}t-\frac{π}{6}≤ \frac{13π}{6}+2kπ(k\in \mathbf{Z})$,得$\frac{3}{50}+\frac{3}{25}k≤ t≤ \frac{7}{50}+\frac{3}{25}k(k\in \mathbf{Z})$,
所以在一个周期内,电流强度不超过30 A的时长为$\frac{7}{50}-\frac{3}{50}=\frac{2}{25}(\mathrm{s})$,故D正确。

(2)如图,已知某弹簧振子的位移y(单位:cm)与时间t(单位:s)满足$y=A\sin(ω t+\varphi)(ω＞0)$,初始时将弹簧振子下压至$-4$ cm后松开,经过测量发现弹簧振子每10 s往复振动5次,则在第 45 s 时,弹簧振子的位移是cm.

由题意,得$A=4$且最小正周期$T=\frac{10}{5}=2$,即$\frac{2π}{ω}=2$,故$ω=π$,所以$y=4\sin(π t+\varphi)$。
因为当$t=0$时,$y=-4$,
所以$4\sin \varphi=-4$,即$\varphi=-\frac{π}{2}+2kπ,k\in \mathbf{Z}$。
不妨令$\varphi=-\frac{π}{2}$,得$y=4\sin(π t-\frac{π}{2})=-4\cos π t$。
当$t=45$时,$y=-4\cos 45π=4$。

【典例2】某游乐园计划推出“畅游欢乐季”活动，需要为每位游客准备一份物资.为避免物资浪费或不足，运营团队需要提前规划每月物资储备.经统计，该游乐园的游客人数每月呈周期性变化，并且有以下规律：
①每年相同的月份，游客人数基本相同；
②2月份游客人数最少，8月份游客人数最多，相差约400人；
③2月份游客约为100人，随后逐月增加直到8月份达到最多.
(1)若一年中游客人数与月份$ x $之间的关系
为$ f(x)=A\sin(ω x + \varphi)+B(A＞0,ω＞0,|\varphi|＜π),x\in\mathbf{N}^* $且$ x≤12 $.试求出函数$ f(x) $的解析式.
(2)请问哪几个月份要准备不少于400份的物资？
解题指导 (1)由规律①求出$ ω $，由规律②③求出$ A,\varphi,B $，进而得到$ f(x) $的解析式.
(2)由(1)及已知条件列出不等式$ f(x)≥400 $，并化简，进而求出结果.
答案 解:(1)由规律①可知，这个函数的周期是12，所以$ T=\frac{2π}{ω}=12 $，故$ ω=\frac{π}{6} $.
由规律②③可知，$ f(2) $最小，$ f(8) $最大，且$ f(2)=100,f(8)=500 $，
则$\begin{cases}-A+B=100,\\A+B=500,\end{cases}$解得$\begin{cases}A=200,\\B=300.\end{cases}$
(规律①给定了周期，规律②③给定了最大值、最小值，由此就可以求函数解析式中的参数)
由$ \sin(8×\frac{π}{6}+\varphi)=1 $，解得$ \varphi=-\frac{5π}{6}+2kπ,k\in\mathbf{Z} $.
又因为$ |\varphi|＜π $，故$ \varphi=-\frac{5π}{6} $，
所以函数$ f(x) $的解析式为$ f(x)=200\sin(\frac{π}{6}x-\frac{5π}{6})+300,x\in\mathbf{N}^* $且$ x≤12 $.
(2)令$ 200\sin(\frac{π}{6}x-\frac{5π}{6})+300≥400 $，得$ \sin(\frac{π}{6}x-\frac{5π}{6})≥\frac{1}{2} $，即$ 2kπ+\frac{π}{6}≤\frac{π}{6}x-\frac{5π}{6}≤2kπ+\frac{5π}{6},k\in\mathbf{Z} $，解得$ 12k+6≤ x≤12k+10,k\in\mathbf{Z} $.
因为$ x\in\mathbf{N}^* $且$ x≤12 $，所以$ x=6,7,8,9,10 $，
所以在6月、7月、8月、9月、10月这5个月份要准备不少于400份的物资.

解：
(1) 由规律①可知，函数的周期为12，
即 $T=\frac{2π}{ω}=12$，结合 $ω＞0$，解得 $ω=\frac{π}{6}$。
由规律②③可知，$f(2)$ 取最小值100，$f(8)$ 取最大值 $100+400=500$，
因此列方程组：
$\begin{cases}-A + B = 100 \\A + B = 500\end{cases}$
解得 $A=200$，$B=300$。
将 $x=8$ 代入，此时 $\sin(\frac{π}{6}×8 + \varphi)=1$，
即 $\frac{4π}{3}+\varphi = \frac{π}{2} + 2kπ,\ k\in\mathbb{Z}$，整理得 $\varphi = -\frac{5π}{6} + 2kπ,\ k\in\mathbb{Z}$。
又 $|\varphi|＜π$，取 $k=0$ 得 $\varphi=-\frac{5π}{6}$。
综上，函数解析式为：
$f(x)=200\sin(\frac{π}{6}x - \frac{5π}{6})+300,\ x\in\mathbf{N}^* \mathrm{ 且 } x≤12$
(2) 令 $f(x)≥400$，代入解析式得：
$200\sin(\frac{π}{6}x - \frac{5π}{6})+300≥400$
化简得：
$\sin(\frac{π}{6}x - \frac{5π}{6})≥\frac{1}{2}$
由正弦函数性质得：
$2kπ + \frac{π}{6} ≤ \frac{π}{6}x - \frac{5π}{6} ≤ 2kπ + \frac{5π}{6},\ k\in\mathbb{Z}$
整理得：
$12k + 6 ≤ x ≤ 12k + 10,\ k\in\mathbb{Z}$
结合 $x\in\mathbf{N}^*$ 且 $1≤ x≤12$，取 $k=0$，得 $x=6,7,8,9,10$。
答：6月、7月、8月、9月、10月这5个月份要准备不少于400份的物资。