10. 某同学用“五点法”画函数$f(x)=A\sin(ω x+\varphi)(A＞0,ω＞0,|\varphi|＜\frac{π}{2})$在某一周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表所示。
| $ω x+\varphi$ | $0$ | $\frac{π}{2}$ | $π$ | $\frac{3π}{2}$ | $2π$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $x$ | $\frac{π}{24}$ | | | | $\frac{7π}{24}$ |
| $A\sin(ω x+\varphi)$ | $0$ | $8$ | | | $0$ |
(1) 将表中数据补充完整，并直接写出$f(x)$的解析式；
(2) 将$f(x)$的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数$g(x)$的图象，求$g(x)$在$[0,π]$上的单调区间。
(提示：(1)由最值求出$A$，由题表中数据列出关于$ω$和$\varphi$的方程组，求得$ω,\varphi$，即可求得函数解析式；
(2)结合三角函数图象的变换求出$g(x)$，然后结合正弦函数的单调性即可求解)

(1)根据题表中数据可知，$A\sin\frac{π}{2}=8$，解得$A=8$.
结合题表中数据可得，$\begin{cases}\frac{π}{24}ω+\varphi=0,\\\frac{7π}{24}ω+\varphi=2π,\end{cases}$解得$\begin{cases}ω=8,\\\varphi=-\frac{π}{3}.\end{cases}$
因此可将题表中数据补充如下：
| $ω x+\varphi$ | $0$ | $\frac{π}{2}$ | $π$ | $\frac{3π}{2}$ | $2π$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $x$ | $\frac{π}{24}$ | $\frac{5π}{48}$ | $\frac{π}{6}$ | $\frac{11π}{48}$ | $\frac{7π}{24}$ |
| $A\sin(ω x+\varphi)$ | $0$ | $8$ | $0$ | $-8$ | $0$ |
解析式为$f(x)=8\sin(8x-\frac{π}{3})$.
(2)由题意，得$g(x)=f(\frac{1}{4}x)=8\sin(2x-\frac{π}{3})$.
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ(k\in\mathbf{Z})$，
得$-\frac{π}{12}+kπ≤ x≤\frac{5π}{12}+kπ(k\in\mathbf{Z})$.
令$k=0$，得$g(x)$在$[-\frac{π}{12},\frac{5π}{12}]$上单调递增，
令$k=1$，得$g(x)$在$[\frac{11π}{12},\frac{17π}{12}]$上单调递增，
所以$g(x)$在$[0,π]$上的单调递增区间为$[0,\frac{5π}{12}],[\frac{11π}{12},π]$.
由$\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{3π}{2}+2kπ(k\in\mathbf{Z})$，得$\frac{5π}{12}+kπ≤ x≤\frac{11π}{12}+kπ(k\in\mathbf{Z})$.
令$k=0$，得$g(x)$在$[\frac{5π}{12},\frac{11π}{12}]$上单调递减，
即$g(x)$在$[0,π]$上的单调递减区间为$[\frac{5π}{12},\frac{11π}{12}]$.
综上，$g(x)$在$[0,π]$上的单调递增区间为$[0,\frac{5π}{12}],[\frac{11π}{12},π]$，单调递减区间为$[\frac{5π}{12},\frac{11π}{12}]$.

11.函数$f(x)=A\cos(ω x+\varphi)(A＞0,ω＞0,|\varphi|＜\frac{π}{2})$的部分图象如图所示.

(1)求函数$f(x)$的解析式；
(2)将函数$f(x)$的图象先向右平移$\frac{π}{4}$个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$(纵坐标不变)，得到函数$g(x)$的图象，求$g(x)$在$[-\frac{π}{12},\frac{π}{6}]$上的单调性及值域.
答案 P72

(1)由题图可知，$A=2$.
设该函数的最小正周期为$T$，
所以$\frac{3}{4}T=\frac{11π}{12}-\frac{π}{6}=\frac{3π}{4}$，所以$T=π$.
因为$ω＞0$，
所以$ω=\frac{2π}{T}=2$，
即函数$f(x)=2\cos(2x+\varphi)(|\varphi|＜\frac{π}{2})$.
又$f(\frac{π}{6})=2$，
所以$2×\frac{π}{6}+\varphi=2kπ,k\in\mathbf{Z}$，
解得$\varphi=2kπ-\frac{π}{3},k\in\mathbf{Z}$.
因为$|\varphi|＜\frac{π}{2}$，
所以令$k=0$，得$\varphi=-\frac{π}{3}$，
所以$f(x)=2\cos(2x-\frac{π}{3})$.
(2)将函数$f(x)$的图象先向右平移$\frac{π}{4}$个单位长度，得到$f(x-\frac{π}{4})=2\cos[2(x-\frac{π}{4})-\frac{π}{3}]=2\cos(2x-\frac{5π}{6})$的图象，
再将所有点的横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$(纵坐标不变)，得到$g(x)=2\cos(4x-\frac{5π}{6})$的图象.
令$t=4x-\frac{5π}{6}$.
因为$x\in[-\frac{π}{12},\frac{π}{6}]$，所以$t=4x-\frac{5π}{6}\in[-\frac{7π}{6},-\frac{π}{6}]$，
所以当$t\in[-\frac{7π}{6},-π]$时，
函数$y=2\cos t$单调递减，
即$-\frac{7π}{6}≤4x-\frac{5π}{6}＜-π$，
解得$-\frac{π}{12}≤ x＜-\frac{π}{24}$，
所以当$x\in[-\frac{π}{12},-\frac{π}{24})$时，$g(x)$单调递减.
当$t\in[-π,-\frac{π}{6}]$时，函数$y=2\cos t$单调递增，
即$-π≤4x-\frac{5π}{6}≤-\frac{π}{6}$，
解得$-\frac{π}{24}≤ x≤\frac{π}{6}$，
所以当$x\in[-\frac{π}{24},\frac{π}{6}]$时，$g(x)$单调递增.
易得$g(x)_{\mathrm{max}}=g(\frac{π}{6})=2\cos(4×\frac{π}{6}-\frac{5π}{6})=\sqrt{3}$，
$g(x)_{\mathrm{min}}=g(-\frac{π}{24})=2\cos(-4×\frac{π}{24}-\frac{5π}{6})=-2$，
所以$g(x)\in[-2,\sqrt{3}]$.
综上所述，当$x\in[-\frac{π}{12},-\frac{π}{24})$时，$g(x)$单调递减，当$x\in[-\frac{π}{24},\frac{π}{6}]$时，$g(x)$单调递增，值域为$[-2,\sqrt{3}]$.