4.已知函数$f(x)=\sin2x-\sqrt{3}\cos2x$，则下列结论正确的是（）

A.$f(x)$的最小正周期是$2π$
B.$f(x)$的图象关于$x=\frac{π}{6}$对称
C.将$f(x)$的图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位长度，可以得到函数$g(x)=2\sin2x$的图象
D.$f(x)$在区间$[0,\frac{π}{2}]$上的最小值为$-\sqrt{3}$

$f(x)=\sin 2x-\sqrt{3}\cos 2x=2\sin(2x-\frac{π}{3})$.
选项A，最小正周期$T=\frac{2π}{2}=π$，故该选项错误.
选项B，正弦函数图象的对称轴满足$2x-\frac{π}{3}=\frac{π}{2}+kπ$，$k\in\mathbf{Z}$，解得$x=\frac{5π}{12}+\frac{kπ}{2},k\in\mathbf{Z}$.将$x=\frac{π}{6}$代入，得$k=-\frac{1}{2}$，不是整数，所以$f(x)$的图象不关于$x=\frac{π}{6}$对称，故该选项错误.
选项C，将$f(x)$的图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位长度，所得的图象对应的函数为$f(x+\frac{π}{3})=2\sin[2(x+\frac{π}{3})-\frac{π}{3}]=2\sin(2x+\frac{π}{3})≠ g(x)=2\sin 2x$，故该选项错误.
选项D，$x\in[0,\frac{π}{2}]$，$2x-\frac{π}{3}\in[-\frac{π}{3},\frac{2π}{3}]$，所以$\sin(2x-\frac{π}{3})\in[-\frac{\sqrt{3}}{2},1]$，所以$f(x)\in[-\sqrt{3},2]$，所以最小值为$-\sqrt{3}$，该选项正确.

5.把函数 $y=\cos(x+\dfrac{4π}{3})$ 的图象向右平移$a$个单位长度，所得的图象对应的函数是偶函数，则$a$的最小正值是。

把函数$y=\cos(x+\frac{4π}{3})$的图象向右平移$a$个单位长度，
所得的图象对应的函数是$y=\cos(x-a+\frac{4π}{3})$.
因为$y=\cos(x-a+\frac{4π}{3})$是偶函数，
所以$-a+\frac{4π}{3}=kπ,k\in\mathbf{Z}$，解得$a=\frac{4π}{3}-kπ,k\in\mathbf{Z}$，则当$k=1$时，$a$取得最小正值，最小正值是$\frac{π}{3}$.

6.已知$f(x)=2\sin(2x-\dfrac{π}{4})$.
(1)(一题多解)说明该函数图象可由$y=\sin x$的图象经过怎样平移和伸缩变换得到.
(2)填写下表并用“五点法”画出$f(x)$在$[\dfrac{π}{8},\dfrac{9π}{8}]$上的简图.

(1)(一题多解)方法1：先向右平移$\frac{π}{4}$个单位长度，再将所得各点的横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$，最后将所得各点的纵坐标变为原来的2倍.
方法2：先将各点的横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$，再向右平移$\frac{π}{8}$个单位长度，最后将所得各点的纵坐标变为原来的2倍.
(先平移后伸缩，平移的是$|\varphi|$个单位长度；先伸缩后平移，平移的是$\left|\frac{\varphi}{ω}\right|$个单位长度)
(2)列表如下：
| $2x-\frac{π}{4}$ | $0$ | $\frac{π}{2}$ | $π$ | $\frac{3π}{2}$ | $2π$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $x$ | $\frac{π}{8}$ | $\frac{3π}{8}$ | $\frac{5π}{8}$ | $\frac{7π}{8}$ | $\frac{9π}{8}$ |
| $y=2\sin(2x-\frac{π}{4})$ | $0$ | $2$ | $0$ | $-2$ | $0$ |
描点作图如下：

7.已知函数$f(x)=\sqrt{2}\sin(ω x+\frac{π}{4})(ω＞0)$的最小正周期为$π$.
(1)求$ω$的值和函数$f(x)$图象的对称轴；
(2)当$x\in[0,\frac{π}{2}]$时，求$f(x)$的值域；
(3)若$f(α)=\frac{\sqrt{2}}{3}$，求$\sin^2(2α-\frac{π}{4})$的值.

(1)因为函数的最小正周期$T=\frac{2π}{ω}=π$，所以$ω=2$.
令$2x+\frac{π}{4}=\frac{π}{2}+kπ(k\in\mathbf{Z})$，则$x=\frac{π}{8}+\frac{kπ}{2}(k\in\mathbf{Z})$，
所以函数$f(x)$图象的对称轴为$x=\frac{π}{8}+\frac{kπ}{2}(k\in\mathbf{Z})$.
(2)当$x\in[0,\frac{π}{2}]$时，$2x+\frac{π}{4}\in[\frac{π}{4},\frac{5π}{4}]$，
所以$\sin(2x+\frac{π}{4})\in[-\frac{\sqrt{2}}{2},1]$，所以$f(x)\in[-1,\sqrt{2}]$.
(3)$f(α)=\sqrt{2}\sin(2α+\frac{π}{4})=\frac{\sqrt{2}}{3}$，
所以$\sin(2α+\frac{π}{4})=\frac{1}{3}$，
所以$\sin^2(2α-\frac{π}{4})=\sin^2(2α+\frac{π}{4}-\frac{π}{2})=\cos^2(2α+\frac{π}{4})=1-\sin^2(2α+\frac{π}{4})=\frac{8}{9}$.

8.(多选)已知函数$f(x)=2\cos(2x-\frac{π}{6})$，则下列说法正确的是 （）

A.$f(x)$的最小正周期$T=2π$
B.$f(x)$的图象关于点$(\frac{5π}{6},0)$中心对称
C.$f(x)$在$(\frac{π}{12},\frac{7π}{12})$上单调递增
D.$f(x)$的图象关于直线$x=-\frac{5π}{12}$对称

$f(x)$的最小正周期$T=\frac{2π}{2}=π$，故A错误.
令$2x-\frac{π}{6}=kπ+\frac{π}{2},k\in\mathbf{Z}$，得$x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{3},k\in\mathbf{Z}$，
即$f(x)$的图象关于$(\frac{kπ}{2}+\frac{π}{3},0)(k\in\mathbf{Z})$对称.
取$k=1$，得对称中心为$(\frac{5π}{6},0)$，故B正确.
令$2kπ≤2x-\frac{π}{6}≤2kπ+π,k\in\mathbf{Z}$，
解得$kπ+\frac{π}{12}≤ x≤ kπ+\frac{7π}{12},k\in\mathbf{Z}$.
取$k=0$，得$\frac{π}{12}≤ x≤\frac{7π}{12}$，即$f(x)$在$(\frac{π}{12},\frac{7π}{12})$上单调递减，故C错误.
令$2x-\frac{π}{6}=kπ,k\in\mathbf{Z}$，解得$x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{12},k\in\mathbf{Z}$，
即$f(x)$的图象关于直线$x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{12},k\in\mathbf{Z}$对称.
取$k=-1$，得对称轴为直线$x=(-1)×\frac{π}{2}+\frac{π}{12}=-\frac{5π}{12}$，
即$f(x)$的图象关于直线$x=-\frac{5π}{12}$对称，故D正确.

9.函数$f(x)=A\sin(ω x + \varphi)(A＞0,ω＞0,|\varphi|＜\frac{π}{2},x\in\mathbb{R})$的部分图象如图所示，则$y=f(x)$的函数解析式为________；若$g(x)=[f(x)]^2 + f(x)$，则$g(x)$的最大值为________。

$f(x)=2\sin(2x+\frac{π}{3})$；$6$
由题图可得，$A=2$.
设$f(x)$的最小正周期为$T$.
由$\frac{1}{4}T=\frac{π}{3}-\frac{π}{12}=\frac{π}{4}$，得$T=π$，则$ω=\frac{2π}{T}=2$，
即$f(x)=2\sin(2x+\varphi)$.
又由$f(\frac{π}{12})=2\sin(2×\frac{π}{12}+\varphi)=2\sin(\frac{π}{6}+\varphi)=2$，
即$\sin(\frac{π}{6}+\varphi)=1$，
得$\frac{π}{6}+\varphi=\frac{π}{2}+2kπ,k\in\mathbf{Z}$，解得$\varphi=\frac{π}{3}+2kπ,k\in\mathbf{Z}$.
又因为$|\varphi|＜\frac{π}{2}$，所以$\varphi=\frac{π}{3}$，所以$f(x)=2\sin(2x+\frac{π}{3})$.
$g(x)=[f(x)]^2+f(x)=[f(x)+\frac{1}{2}]^2-\frac{1}{4}$.
由$-2≤ f(x)≤2$，得当$f(x)=2$时，$g(x)$取得最大值，最大值为$6$.